Две основные задачи динамики материальной точки

Две основные задачи динамики материальной точки

Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки (1.5), (1.10), (1.12) и (1.14), можно решить две основные задачи динамики точки, которые формулируют следующим образом.

Первая задача. Определить силы, действующие на точку, если известны масса точки и закон ее движения.

Решение этой задачи заключается, в основном, в определении ускорения точки по заданным уравнениям ее движения, т.е. в их дифференцировании.

Можно предложить такую последовательность решения задачи:

1) выбрать систему координат, в которой удобно решать данную задачу (декартовую или естественную);

2) изобразить в выбранной системе координат материальную точку в текущем положении;

3) приложить к точке активные силы и реакции связей;

4) записать основное уравнение динамики в проекциях на оси выбранной системы координат;

5) найти проекции ускорения точки на оси выбранной системы координат путем дифференцирования уравнений ее движения;

6) определить искомые параметры с помощью системы составленных уравнений.

Вторая задача. Определить закон движения точки, если заданы масса точки и действующие на нее силы.

Решение этой задачи требует интегрирования дифференциальных уравнений движения точки.

Методика решения второй задачи на примере декартовой системы координат состоит в следующем. Чтобы определить уравнения движения точки , необходимо дважды проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений 2-го порядка. В результате получим уравнения движения точки, содержащие, кроме времени, шесть произвольных постоянных. Уравнения движения точки и проекции ее скорости на оси координат имеют вид:

(1.15)

где – это так называемые постоянные интегрирования, которые находят из начальных условий. Начальные условия – значение скорости (проекций скорости) и положения (координат) точки в момент времени, обычно принимаемый равным нулю, которые должны быть предварительно заданы:

(1.16)

После определения постоянных интегрирования уравнения действительного движения точки окончательно получим в виде:

(1.17)

Решение второй задачи динамики можно выполнить в такой последовательности:

1) выбрать систему координат (декартовую или естественную), в которой удобно решать данную задачу;

2) изобразить в выбранной системе координат материальную точку в текущем положении;

3) приложить к точке активные силы и реакции отброшенных связей (если точка несвободна);

4) записать основное уравнение динамики в проекциях на оси выбранной системы координат;

5) проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений и найти их общие решения;

6) определить, использую заданные начальные условия, постоянные интегрирования;

7) подставить постоянные интегрирования в общие решения и получить действительные уравнения движения точки.

 

Дифференциальные уравнения движения точки

 

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил , ,.., . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Про­ектируя обе части равенства на эти оси и учитывая,что и т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

, , .

Рис.4

 

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при

.

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

 

Рис.10

 

Составим основное уравнение динамики для точки , где абсолютное ускорение . Поэтому уравнение будет таким или .

Но - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции. Поэтому основное уравнение динамики для относительного движения запишем так

. (7)

Спроектировав это векторное равенство на подвижные оси x ₁, y ₁, z ₁, имея в виду, что проекции вектора ускорения на оси – есть вторые производные от соответствующих координат по времени, получим дифференциальные уравнения относительного движения

(8)

Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями абсолютного движения, замечаем, что относительное движение материальной точки определяется такими же методами, что и абсолютное, надо лишь кроме обычных сил учесть переносную силу инерции и кориолисову силу инерции.

Если переносное движение поступательное, равномерное и прямолинейное, т.е. подвижная система инерциальная, то ускорение и . Значит и дифференциальное уравнение (8) будет точно совпадать с дифференциальным уравнением абсолютного движения. Следовательно, движение точки во всех инерциальных системах описывается аналогичными законами (отличаются только постоянными интегрирования, зависящими от начальных условий).

Поэтому невозможно установить, наблюдая за движением точки, движется система поступательно, равномерно и прямолинейно или находится в покое. Этот вывод впервые был сделан Г.Галилеем и называется его именем – принцип относительности Галилея.

 

Масса системы. Центр масс.

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

.

В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:

, , . (1)

В полученные равенства входят только массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки С (x _C, y _C, z _C) действительно харак­теризует распределение масс в теле или в любой механической си­стеме, если под , понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

Геометрическая точка С, координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.

Положение центра масс определяется его радиус-вектором

,

где -радиус-векторы точек, образующих систему.

Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тя­жести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тя­жести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находя­щегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная си­стема под действием каких-нибудь сил или нет.

 

Рис.43

Аналогично происходит движение паровоза или автомобиля. Сила давления пара или газа в двигателе является силой внутренней и сама но себе не может переместить центр масс системы.Движение происхо­дит потому, что двигатель передает соответствующим колесам, назы­ваемыми ведущими, вращающий мо­мент. При этом точка касания В ве­дущего колеса (рис.43) стремится скользить влево. Тогда на колесо будет действовать сила трения, направленная вправо. Эта внешняя сила и позволит центру тяжести паровоза или автомобиля дви­гаться вправо. Когда этой силы нет или когда она недостаточна для преодоления сопротивления, испытываемого ведомыми колесами, движения вправо не будет; ведущие колеса будут при этом вра­щаться на месте (буксовать).

 

Рис.46

 

При вращении тела вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как (рис.47)

или, окончательно,

,

где I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно главных осей инерции x ₁, y ₁, z ₁ в неподвижной точке О; , _, – проекции вектора мгновенной угловой скорости на эти оси.

Рис.47

 

3. Плоскопараллельное движение. При этом движе­нии скорости всех точек тела в каждый момент времени распреде­лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр ско­ростей Р (рис.46). Следовательно

,

где - момент инерции тела относительно названной выше оси, w- угловая скорость тела. Величина в формуле будет перемен­ной, так как положение центра Р при движе­нии тела все время меняется. Введем вместо постоянный момент инерции , относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса , где d=PC. Подставим это выражение для . Учитывая, что точка Р - мгновенный центр скоростей, и, следовательно, , где - скорость центра масс С, окончательно найдем:

.

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетиче­ская энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сло­женной скинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

4) Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает вычислить теорема Кенига.

Рассмотрим движение материальной системы как сумму двух движений (рис.48). Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения относительно поступательно движущихся вместе с центром масс осей x ₁, y ₁, z _1. Тогда скорость точек . Но переносное движение – поступательное. Поэтому переносные скорости всех точек равны, равны . Значит, и кинетическая энергия будет

Рис.48

 

По определению центра масс его радиус-вектор в подвижной системе (центр масс находится в начале координат), значит, и . Производная по времени от этой суммы также равна нулю:

.

Поэтому, окончательно, кинетическая энергия системы

(1)

Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.

В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений (переносного – поступательного вместе с центром масс С и относительного – вращения вокруг точки С), по теореме Кенига (1) получим

или ,

где I_x, I_y, I_z – главные центральные оси инерции тела.

52. Работа силы…

 

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы.

Рис.16

 

При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы (рис.16) называется скалярная величина:

,

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а -бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о ха­рактеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая , сообщающая точке касательное ускорение Составляющая же или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном дви­жение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляю­щая влиять не будет, т.е., как говорят, сила «не будет про­изводить работу».

Замечая, что , получаем:

. (1)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементар­ное перемещение или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа .

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа .

Если угол , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие , , по направлениям координатных осей (рис.17; сама сила на чертеже не показана).

Рис.17

 

Элементарное перемещение слагается из перемещений , , вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М. Тогда работу силы на перемещении можно вычислить как сумму работ её составляющих , , на перемещениях , , .

Но на перемещении совершает работу только составляющая , причем её работа равна . Работа на перемещениях и вычисляется аналогично. Окончательно находим: .

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении М ₀ М ₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

или

.

Следовательно, работа силы на любом перемещении М ₀ М ₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям пере­менных интегрирования в точках М ₀ и М ₁.

Рис.18

Если величина постоянна ( = const), то и обозначая перемеще­ние М ₀ М ₁ через получим: .

Такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F = const), а точка, к ко­торой приложена сила, движется прямолинейно (рис.18}. В этом случае и работа силы .

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 hm).

 

Работа силы упругости

при одномерном растяжении (или сжатии), характеризующемся вектором удлинения (сжатия), Если одна из координатных осей (например, Ох) выбранной системы отсчета совпадает по направлению, с вектором, то где x₁ и x₂ — координаты начала и конца вектора.

При перемещении точки упруго деформируемого тела по замкнутой траектории работа силы упругости равна нулю (А_упр = 0 при =0 или при x₁ = x₂).

Рис.26

 

Дифференцируя выражение по времени, получаем:

.

Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,

или .

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Аналогичная теорема имеетместо для моментов вектора силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .

 

Принцип Даламбера.

 

Все методы решения задач динамики, которые мы до сих пор рассматривали, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствиями этих законов. Однако, этот путь не является единственным. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач. В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.

Пусть мы имеем систему, состоящих из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил и (в которые входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к инерционной системе отсчета некоторое ускорение .

Введем в рассмотрение величину

,

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки(иногда даламберовой силой инерции).

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим общим свойством: если в каждый момент времени к фактически действующим на точку силам и прибавить силу инерции , то полученная система сил будет уравновешенной, т.е. будет

.

Это выражение выражает принцип Даламбера для одной материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой точки дает . Перенося здесь член в правую часть равенства и придем к последнему соотношению.

Повторяя проделанные высшее рассуждения по отношению к каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; что делает единообразный подход к решению задач и обычно намного упрощает соответствующие расчёты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики.

Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что на точку механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние и внутренние силы и , возникающие в результате взаимодействия точек системы друг с другом и с телами, не входящими в систему; под действием этих сил точки системы и движутся с соответствующими ускорениями . Силы же инерции, о которых говорится в принципе Даламбера, на движущиеся точки не действуют (иначе, эти точки находились бы в покое или двигались без ускорений и тогда не было бы и самих сил инерции). Введение сил инерции - это лишь приём, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причём по принципу отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но и на любую изменяемую систе6му. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

Введём обозначения:

Величины и представляют собой главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств:

, (1)

Применение уравнений (1), вытекающих из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, т.к. эти уравнения не содержат внутренних сил.

В проекциях на оси координат эти равенства дают уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики. Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражение главного вектора и главного момента сил инерций.

 

Рис. 63

 

Таким образом, возможным перемещением системы мы будем называть любую совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми наложенными на систему связями. Возможное перемещение любой точки системы будем изображать элементарным вектором , направленным в сторону перемещения.

В общем случае для точек и тел системы может существовать множество возможных различных перемещений (перемещения и мы не считаем разными). Однако для каждой системы, в зависимости от характера наложенных на нее связей, можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение будет получаться как геометрическая сумма. Например, шарик, лежащий на какой-нибудь плоскости (или поверхности), можно переместить вдоль этой плоскости по множеству направлений. Однако любое его возможное перемещение можно получить как сумму двух перемещений и вдоль лежащих в этой плоскости взаимно перпендикулярных осей ().

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы.Так, рассмотренный выше шарик на плоскости (или на поверхности), если его считать материальной точкой, имеет 2 степени свободы. У кривошипно-шатунного механизма будет, очевидно, одна степень свободы.

У свободной материальной точки – 3 степени свободы (независимыми будут 3 перемещения вдоль взаимно перпендикулярных осей). Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы (независимыми перемещениями будут: 3 поступательных перемещения вдоль осей координат и 3 вращательных вокруг этих осей).

К этому следует добавить несколько замечаний.

Первое. Само название таких перемещений показывает, что они только возможны, но не обязательны; что этих перемещений из данного положения системы может быть много; что среди них только одно есть действительное (Если связи – не стационарные, изменяются с течением времени, то действительное перемещение может не быть одним из возможных); что эти перемещения происходят не под действием сил, приложенных к системе, а, так сказать, по нашему желанию.

Второе. За счет малости таких перемещений направляются они по касательной к траектории и имеют, таким образом, направление, совпадающее с вектором скорости. Эту скорость в данном случае также называют возможной скоростью, а не действительной.

Третье. При наличии связей между точками материальной системы, возможные перемещения этих точек связаны между собой определенными зависимостями, уравнениями связей.

На рис.64 дано несколько примеров возможных перемещений точек некоторых материальных систем.

Из этих примеров следует, что возможным перемещением всего тела, вращающегося вокруг оси, является малый угол поворота . И возможные перемещения точек его можно определить с помощью этого угла. Так, например, ; ; (рис.64, а и 64, б).

Рис.64

 

Так как направления возможных перемещений имеют направления скоростей, то перемещения точек звена АВ (рис.64, в) определяются с помощью мгновенного центра скоростей этого звена. А возможное перемещение всего тела при плоскопараллельном движении – есть поворот на малый угол вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей. Этот угол можно определить.

Так как , то а перемещение ползуна В: и точки С: . То есть перемещения всех точек механизма можно определить через одно возможное перемещение, перемещение звена ОА, через угол .

Аналогично, поворотом на малый угол вокруг мгновенного центра скоростей , определяются возможные перемещения точек колеса, которое может катиться без скольжения понеподвижной прямой (рис.64, г).

Работу сил, приложенных к материальной системе, на возможном перемещении будем называть возможной работой.

Если рассмотреть различные типы материальных систем, можно обнаружить, что элементарная работа реакций многих связей на возможном перемещении окажется равной нулю. Такие связи, сумма возможных работ реакций которых на любом возможном перемещении равна нулю, называются идеальными связями. К таким связям относятся, например, все связи без трения.

Связи, которые не изменяются со временем, называются стационарными.

Есть связи, которые называют или удерживающими, или односторонними, в зависимости от того препятствуют они перемещению точки во взаимно противоположных направлениях или только в одном.

У некоторых материальных систем встречаются и довольно сложные связи, ограничивающие или только положение системы, координаты ее точек, или еще и скорость их, производные от координат по времени. Первые называют голономными, геометрическими, связями; вторые – неголономными, кинематическими, неинтегрируемыми. Мы в дальнейшем будем рассматривать системы только с голономными связями.

Рис.65

 

Дадим системе какое-нибудь возможное перемещение. Все точки ее получат перемещения , , ,…, .

Затем вычислим работу всех сил на этих перемещениях.

Так как силы, приложенные к каждой точке уравновешиваются и , то сумма работ этих сил на перемещении будет равна нулю: . Значит и сумма работ всех сил, приложенных ко всем точкам, будет равна нулю

.

Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю. Значит,

(1)

Этот результат, уравнение работ, называют общим уравнением статики.

При равновесии материальной системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных, задаваемых, сил на любом возможном перемещении системы из положения равновесия равна нулю.

Конечно, если у системы есть неидеальные связи, например, с трением, или упругие, вроде пружины, то в уравнение работ надо добавить возможную работу реакций этих связей.

Принцип возможных перемещений можно записать в другой форме.

Если возможные перемещения точек определить с помощью возможных скоростей: где время - произвольная бесконечно малая величина, то уравнение работ (1) запишется так , а, поделив его на получим

, (2)

где