Динамика материальной точки и твердого тела

 

Законы Ньютона. Масса. Сила. Виды сил в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Силы упругости. Закон Гука. Силы трения. Инерциальные системы отсчета. Механический принцип относительности. Преобразования Галилея. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Понятие абсолютно твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Момент силы и момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера.

 

Основные формулы

 

· Импульс (количество движения) материальной точки

.

·Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки). .

· Сила трения скольжения ,

где - коэффициент трения скольжения; - сила нормального давления.

· Сила упругости

,

где – деформация; - коэффициент упругости.

· Потенциальная энергия упругодеформированного тела

 

,

 

где - масса точки; - расстояние от нее до оси вращения.

· Напряжение при упругой деформации

,

где - растягивающая (сжимающая) сила; - площадь поперечного сечения.

· Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

,

где - модуль Юнга, - относительное удлинение (сжатие).

· Закон всемирного тяготения

,

где - сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами и ; - расстояние между точками; - гравитационная постоянная.

· Сила тяжести

,

где - масса тела; - ускорение свободного падения.

· Напряженность поля тяготения

,

где - сила тяготения, действующая на материальную точку массой , помещенную в данную точку поля.

· Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами и , находящихся на расстоянии друг от друга

.

· Потенциал поля тяготения

,

где П- потенциальная энергия материальной точки массой , помещенной в данную точку поля.

· Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью

или ,

где - единичные векторы координатных осей.

· Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения

,

где m – масса точки; r- расстояние от нее до оси вращения.

· Момент инерции системы (тела) относительно некоторой оси вращения

 

,

 

где расстояние материальной точки массой до оси вращения. В случае равномерного распределения масс .

· Теорема Штейнера

,

где - момент инерции тела относительно произвольной оси; - момент инерции относительно оси, параллельной данной и, проходящей через центр масс тела; - масса тела; -расстояние между осями.

· Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

,

где - момент инерции тела относительно оси ; - угловая скорость тела.

· Момент силы относительно неподвижной точки

,

где -радиус- вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы . Модуль момента силы

,

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

· Работа при вращении тела

,

где - угол поворота тела; - момент силы относительно оси .

 

Семестровые задания

 

2.1. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁ = 100г и m₂ = 120г. Найти ускорение, с которым движутся грузики, если масса блока равна 400 г? Трением в блоке пренебречь.

2.2. На барабан массой m = 9 кг намотан шнур, к концам которого привязан груз массой m₁ = 2 кг. Определить ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

2.3. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концам которого привязан груз массой m = 9,8 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а =2,04 м/с².

2.4. Тонкий однородный стержень длиной = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением e = 3 рад/с² около оси, проходящей перпен-дикулярно стерж­ню через его середину. Определить вращающий момент М.

2.5.Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,5 кг. Определить силы Т₁ и Т₂ на­тяжения шнурa по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по обо­ду.

2.6. Шар массойm = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравне­ние вращения шараимеет вид j=A+Bt²+Ct³, где В = 4 рад/с², С = I рад/с³. Найти закон измене­ния момента сил, действующих на шар. Определить момент сил в момент времени t = 2 с.

2.7. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению j = At+Bt³, где А = 2рад/с, В = 0,2 рад/с³. Определить вращающиймо­мент М, действующий на стержень через время t = 2с после начала враще-ния, еслимомент инерции стержня = 0,048 кг×м².

2.8. Вал маccойm = 100 кг и радиусомR = 5 cм вращал­ся с частотойn = 8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40Н, под действием которой вал остановился через t =10 с. Определить коэффициент трения f.

2.9. На обод маховика диаметром D = 60 cм намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Опреде­лить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжеcти груза, за вре­мя t = 3c приобрел угловую скорость w = 9 рад/с.

2.10. Определить момент силыМ, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12с^-1, чтобы он остановился в течение времени t=8c. Диаметр блока D = 30 cм. Массу блока m = 6кг считать равно­мерно распределенной по ободу.

2.11. Шарик массой m = 60 г, привязанный к концу нити длиной = l,2 м, вращается с частотой n₁ = 2с^-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачива­ется, приближая шарик к оси до расстояния = 0,6 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

2.12. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой т = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение e и час­тоту вращения n маховика через время t = 10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

2.13. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Н∙м. Определить массу диска, если его угловое ускорение = 12 рад/с².

2.14. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг. Найти ускорение грузов. Трением в оси блока пренебречь.

2.15. На вал массой m₁ = 20 кг намотана нить, к концу которой привязали груз массой m₂ = 1 кг. Определить ускорение груза, опускающегося под действием силы тяжести. Трением пренебречь.

2.16. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой 1 м.

2.17. Определить скорость поступательного движения сплошного цилиндра, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 20 см.

2.18. Вычислить момент инерции тонкого обода радиусом r = 30 см и массой 5 кг относительно оси, проходящей через конец диаметра перпендикулярно к плоскости обода.

2.19. Диск радиусом 30 см и массой 1 кг вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно к его плоскости, с частотой n = 20 об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск?

2.20.Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом 0,3 м находится в покое. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = =10с^-1?

 

 

Законы сохранения

 

Законы сохранения как следствие симметрии пространства и времени. Система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения. Закон сохранения импульса как фундаментальный закон природы. Реактивное движение. Уравнение Мещерско­го. Движение в центральном поле. Законы Кеплера. Энергия как универ­сальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутрен­них сил, приложенных к системе. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку. Консервативные и неконсервативные силы. Закон сохранения энергии в механике. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект.

 

 

Основные формулы

 

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

,

где - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

· Работа, совершаемая постоянной силой,

,

где - проекция силы на направление перемещения; a- угол между направлениями силы и перемещения.

· Работа, совершаемая переменной силой, на пути

.

· Кинетическая энергия движущегося тела

.

· Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы

или ,

где - единичные векторы координатных осей.

· Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту .

,

где - ускорение свободного падения.

· Закон сохранения механической энергии Т + П = Е = соnst.

· Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

,

где - расстояние от оси до отдельной частицы тела; - импульс этой частицы; - момент инерции тела относительно оси ; - его угловая скорость.

· Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

; ,

где - угловое ускорение; - момент инерции тела относительно оси .

· Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

.

 

Семестровые задания

 

3.1. Шар массой m₁ = 4 кг движется со скоростью = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью =2 м/с. Считая удар прямым, центральным, а шары абсолютно упругими, найти их скорость после удара.

3.2. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью = 10 м/с, разорвалась на две части. Массы осколков равны 8 кг и 4 кг. Скорость меньшего осколка равна = 50 м/с и направлена также, как и скорость ядра до разрыва. Определить скорость и направление движения большего осколка.

3.3. Два человека на роликовых коньках стоят друг против друга. Масса первого человека 60 кг, а второго 70 кг. Первый бросает второму груз массой m = =5 кг со скоростью, горизонтальная составляющая которой = 5 м/с относительно Земли. Определить скорость первого человека после бросания груза и скорость второго после того, как он поймает груз. Трение не учитывать.

3.4. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 60 см и массой m₁=8 кг стоит человек массой m₂ = 70 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 50 см от оси скамьи. Скорость мяча = 5 м/с.

3.5. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости = 1 м и высотой h = 20 см?

3.6. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где А = 2 рад; В = 16 рад/с; С = -2 рад/с². Момент инерции J колеса равен

50 кгм². Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность N.

3.7. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию Т₁ поступательного и Т₂ вращательного движений.

3.8. Шар диаметром 6см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 оборота в секунду. Масса шара m = 0,25 кг. Найти кинетическую энергию шара.

3.9. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

3.10. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = 10 с^-1?

3.11. Горизонтальная платформа в форме диска массой m₁= 100 кг и радиусом

R = 2 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой n₁ = 10 об/мин^-1. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек массой m₂ = 60 кг перейдет от края платформы к ее цен­тру.

3.12. На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 10 мин^-1, сто­ит человек массой m = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n₂ = 12мин^-1. Определить массу m₂ платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

3.13. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью

= 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

3.14. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти на какой высоте h над поверхностью Земли движется спутник.

3.15. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность r = 3 г/см³. Ускорение свободного падения g на поверхности планеты неизвестно. Определить его.

3.16. Радиус R планеты Марс равен 3,4 Мм, его масса т = 6,4×10²³ кг. Определить напряженность G гравитационного поля на поверхности Марса.

3.17. Найти первую и вторую космические скорости вблизи поверхности Солнца.

3.18. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимается ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты равна первой космической скорости.

3.19. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью = 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными.

3.20. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h = 3200 км и начала падать. Какой путь S пройдет ракета за первую секунду своего падения?

 

§ 4. Элементы специальной теории относительности

 

Постула­ты Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Инварианты преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразование импульса и энергии.

 

Основные формулы

 

· Преобразование Лоренца

; ; ; ,

где предполагается, что система отсчета движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчета , причем оси и совпадают, а оси и и и параллельны; - скорость распространения света в вакууме.

· Релятивистское замедление хода часов

,

где - промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; - промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

· Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

,

где - длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); - длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью .

· Релятивистский закон сложения скоростей

; ; ,

где предполагается, что система отсчета движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчета , причем оси и совпадают, оси и , и параллельны.

· Интервал между событиями (инвариантная величина)

,

где - промежуток времени между событиями 1 и 2; - расстояние между точками, где произошли события.

· Масса и импульс частицы

; ,

где - масса покоя.

· Основной закон релятивистской динамики

,

где - импульс частицы.

· Полная и кинетическая энергии частицы

, .

· Связь между энергией и импульсом частицы

, .

 

 

Семестровые задания

 

4.1. Кинетическая энергия электрона равна 2 МэВ. Определить скорость электрона.

4.2. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить импульс частицы.

4.3. При какой скорости (в долях скорости света) масса любой частицы вещества в п = 3 раза больше массы покоя?

4.4. Определить импульс электрона, кинетическая энергия которого 1 ГэВ.

4.5. До какой скорости нужно разогнать электрон, чтобы его масса была в 2 раза больше массы покоя?

4.6. Электрон движется со скоростью, равной = 0,6·с. Определить импульс электрона (где с – скорость света в вакууме).

4.7. Какова масса протона в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью = 0,8·с (где с – скорость света в вакууме)?

4.8. Какую скорость (в долях скорости света) нуж­но сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия бы­ла равна удвоенной энергии покоя?

4.9. Скорость электрона = 0,8 с (где с - скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона.

4.10. Протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить им­пульс частицы (в единицах m_о×с).