Корпускулярно—волновой дуализм

 

Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Соотношение неопределенностей. Волновые свойства микрочастиц и соотношение неопределенностей. Волновая функция и ее статистический смысл. Амплитуда вероятностей.

 

 

Основные формулы

 

· Связь дебройлевской длины волны частицы с импульсом р

· Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью частицы массой

где энергия частицы ( круговая частота); импульс волновое число).

· Групповая скорость свободно движущейся частицы

· Соотношение неопределенностей для координаты и импульса:

где неопределенности координат; неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат.

Для энергии и времени

где неопределенность энергии данного квантового состояния; время пребывания системы в данном состоянии.

· Вероятность нахождения частицы в объеме

где волновая функция, описывающая состояние частицы; функция, комплексно сопряженная с ; квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности нахождения частицы вблизи точки с координатой х.

 

 

Семестровые задания

 

28.1. Протон обладает кинетической энергией Т = 1кэВ. Определить дополни-тельную энергию , кото­рую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны де Бройля уменьшилась в три раза.

28.2. Определить длины волн де Бройля частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

28.3. Электрон обладает кинетической энергией Т =1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона уменьшится вдвое?

28.4. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоен­ному значению его энергии покоя. Вычислить длину волны l де Бройля для такого электрона.

28.5. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов 100 В.

28.6. Используя соотношение неопределенностей, оце­нить ширину одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона = =10 эВ.

28.7.Альфа-частица находится в бесконечно глубо­ком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ши­рину ящика, если известно, что минимальная энергия -частицы = 8 МэВ.

28.8. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки в определении импульса электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью мм.

28.9. Определить относительную неопределенность импульса движущейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля.

28.10. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром d=0,3 нм, определить неопределенность энергии данного электрона.

 

Уравнение Шредингера.

 

Временноеуравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Частица в одномерной прямо­угольной потенциальнойяме. Прохождение частицычерез потенци­альный барьер.

 

 

Основные формулы

 

· Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера

конечной ширины

где множитель, который можно приравнять к единице; высота потенциального барьера; энергия частицы.

· Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где - волновая функция, описывающая состояние частицы; - масса частицы; Е- полная энергия; - потенциальная энергия частицы.

· Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии), где – ширина потенциального ящика, = 1,2,3…

 

Семестровые задания.

 

29.1. Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия,

¦ = - кх (где к – коэффициент пропорциональности, х - смещение).

29.2. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид . Найти решение уравнения.

29.3.Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси Х со скоростью . Найти решение этого уравнения.

29.4. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной . Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме).

29.5.Электрону в потенциальном ящике шириной отвечает волновое число к= = (n = 1,2,3,…). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом к, получить выражения для собственных значений Е_n.

29.6. Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы Е_n при n ® ¥.

29.7. Электрон находится в потенциальном ящике шириной = 0,5 нм. Опередить наименьшую разность DE энергетических уровней электрона.

29.8. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной . Определить среднее значение координаты < х > электрона (0 < х < ).

29.9. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечными высокими стенками. Определить вероятность обнаружения электрона в средней трети ямы, если электрон находится в возбужденном состоянии (n=2).

29.10. В прямоугольной потенциальной яме шириной с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < ) на­ходится частица в основном состоянии. Найти вероят­ность местонахождения этой частицы в области

 

Конденсированное состояние

 

Элементы структурной кристаллографии. Методы исследования кристаллических структур. Теп­лоемкость кристаллической решетки. Фононный газ. Размерный эффект в теплопроводности кристаллов. Носители тока как квазичастицы. Энерге­тические зоны в кристаллах. Уровень Ферми. Поверхность Ферми. Метал­лы, диэлектрики и полупроводники в зонной теории. Понятие дырочной проводимости. Собственная и примесная проводимость. Явление сверх­проводимости. Куперовское спаривание. Кулоновское отталкивание и фононное притяжение. Эффект Джозефсона. Квантовые представления о свойствах ферромагнетиков. Обменное взаимодействие. Температура Кю­ри. Намагничивание ферромагнетиков.

 

Основные формулы

 

· Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

где нулевая энергия ; постоянная Планка; круговая частота колебаний осциллятора; постоянная Больцмана; термодинамическая температура.

· Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов,

где молярная газовая постоянная; характеристическая темпера-тура Эйнштейна; молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

· Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких

температур (предельный закон Дебая)

· Теплота, необходимая для нагревания тела,

где масса тела; молярная масса; и начальная и конечная температуры тела.

· Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где ширина запрещенной зоны; константа.

· Сила тока в переходе

,

где предельное значение силы обратного тока; внешнее напряжение, приложенное к переходу.

· Внутренняя контактная разность потенциалов

где и энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; заряд электрона.

 

Семестровые задания

 

30.1. Вычислить удельную теплоемкость с кристалла меди по классической теории теплоемкости.

30.2. Пользуясь классической теорией вычислить удельную теплоемкость кристалла NaCl.

30.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С кристалла бромида алюминия AlBr₃ объемом V . Плотность кристалла бромида алюминия равна 3,01×10³ кг/м³.

30.4. Масса кристалла никеля равна 20 г. Вычислить теплоемкость С при нагревании его от 0^оС до 200^оС.

30.5. Вычислить значение средней энергии классического линейного гармонического осциллятора при Т = 300 К.

30.6. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура Q_E серебра равна 165 К.

30.7. Во сколько раз изменится средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т₁ = = _E /2 до Т₂ = _E? Учесть нулевую энергию.

30.8. Определить отношение / средней энергии квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т = _E..

30.9. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на от температуры Т = _E/2.

30.10. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T₁ = =0,1 .Характеристическая температура данного кристалла равна 300 К.