Элементы механики сплошных сpeд

 

Понятие сплошной среды. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жид­кость. Уравнение Бернулли. Ламинарное и турбулентное течения жид­костей. Формула Стокса. Формула Пуазейля. Упругие напряжения.

 

 

Основные формулы

 

· Гидростатическое давление столба жидкости на глубине

,

где - плотность жидкости.

· Закон Архимеда

,

где - выталкивающая сила; - объем вытесненной жидкости.

· Уравнение неразрывности

,

где - площадь поперечного сечения трубки тока; - скорость жидкости.

· Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

где - статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; - скорость жидкости для этого же сечения; - динамическое давление жидкости для этого же сечения; - высота, на которой расположено сечение; - гидростатическое давление.

· Формула Торичелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

,

где - глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

· Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающий за время через длинную трубку,

,

где - радиус трубки; - ее длина; -разность давлений на концах трубки; -динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

· Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

,

где - динамическая вязкость жидкости; - градиент скорости; - площадь соприкасающихся слоев.

· Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,

,

где - радиус шарика; - его скорость.

 

Семестровые задания

 

5.1. В широком сосуде, наполненном глицерином ( г/см³), падает стеклянный шарик ( г/см³) с постоянной скоростью. Диаметр шарика d = =1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина.

5.2. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии h₁= 36 см от дна сосуда и на расстоянии h₂= 9 см от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии от сосуда струя воды падает на стол.

5.3. В высокий цилиндрический сосуд, наполненный глицерином, бросают алюминиевый шарик диаметром d = 6 мм. Определить, при какой скорости па-дение шарика станет равномерным.

5.4. Определить время истечения несжимаемой жидкости из открытого цилиндрического сосуда высотой H = 4,9 м, если диаметр небольшого отверстия в дне сосуда в 30 раз меньше диаметра сосуда.

5.5. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить скорость , в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра d₁ широкой части.

5.6. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью = 2 м/с. Определить скорость нефти в узкой части трубы, если разность р давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

5.7. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, прило­жена сила

F =15 H. Определить скорость истечения воды из нако­нечника спринцовки, если площадь поршня равна 12 см².

5.8. Давление р ветра, на стену равно 200 Па. Определить скорость ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность воздуха равна 1,29 кг/м³.

5.9. Бак высотой h = 1,5 м наполнен до краев водой. На расстоя­нии d = 1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия?

5.10. Бак высотой Н = 2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высо­те h должно быть проделано отвер­стие в стенке бака, чтобы место паде­ния струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном от бака рас­стоянии?

Гармонические колебания

 

Общие характеристики гармо­нических колебаний. Колебания груза на пружине, математический ма­ятник, физический маятник. Сложение колебаний. Векторная диаграм­ма. Свободные затухающие колебания. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях. Резонанс. Автоколебания.

 

 

Основные формулы

 

· Уравнение гармонических колебаний

,

где - смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А- амплитуда колебаний; - круговая (циклическая) частота; - частота; Т- период колебаний; - начальная фаза.

· Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,

,

.

· Кинетическая энергия колеблющейся точки массой

.

· Потенциальная энергия

.

· Полная энергия

.

· Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой

или ,

где - коэффициент упругости ().

· Период колебаний пружинного маятника

.

· Период колебаний физического маятника

,

где - момент инерции маятника относительно оси колебаний; - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; -приведенная длина физического маятника; - ускорение свободного падения.

· Период колебаний математического маятника

,

где - длина маятника.

· Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:

; ,

где - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; - коэффициент затухания ( в случае механических колебаний и в случае электромагнитных колебаний); - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ²- частота затухающих колебаний; - амплитуда затухающих колебаний.

· Декремент затухания

,

где и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

· Логарифмический декремент затухания

,

где - время релаксации; - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

· Добротность колебательной системы

.

· Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний:

; ,

где - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс ().

 

 

Семестровые задания

 

6.1. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 3×10^-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, равна 1,5×10^-3 Н. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний равен 2с и начальная фаза 60⁰.

6.2. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, пол-ная энергия Е = 3×10^-7Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25×10^-5 Н?

6.3. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с², период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

6.4. Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с, начальная фаза . Написать уравнение этого колебания. Найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и при t = 1,5 с.

6.5. Материальная точка массой 10 г колеблется по уравнению x = Asin(wt+j), где А = 5 см, , . Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колеблющейся точки.

6.6. Найти максимальную скорость и максимальное ускорение колеблющейся точки, если ее амплитуда 5 см, а период 4 с.

6.7. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом

R = 50 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

6.8. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение х₀ = 4 см, а скорость = 10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу j₀ колебаний, если их период Т=2с.

6.9. Определить частоту n простых гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

6.10. Определить потенциальную энергию П математического маятника с массой m = 20 г в положении, соответствующем углу отклонения нити от вертикали a = 10⁰, если частота колебаний маятника n = 0,5 с^-1. Потенциальную энергию маятника в положении равновесия считать равной нулю.

 

 

Волновые процессы

 

Основные характеристики волнового движения. Уравнение волны. Плоская синусоидальная волна. Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость. Эффект Доплера. Звук. Ультразвук.

 

 

Основные формулы

 

·Связь длины волны , периода колебаний и частоты

; ,

где - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).

· Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ,

x

где x( - смещение точек среды с координатой в момент времени ; А- амплитуда волны; - циклическая (круговая) частота; - волновое число ( - длина волны; - фазовая скорость; Т- период колебаний); -начальная фаза колебаний.

· Связь между разностью фаз и разностью хода

.

· Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн

; ,

где = 0,1,2,….

· Фазовая и групповая u скорости, а также связь между ними

; .

· Уравнение стоячей волны

x(.

· Координаты пучностей и узлов

; .

· Эффект Доплера в акустике

,

где - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; - частота звука, посылаемого источником; - скорость движения приемника; _ист- скорость движения источника; - скорость распространения звука. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак - в случае их взаимного удаления.

 

 

Семестровые задания

 

7.1. Задано уравнение плоской волны (х, t) = A cos ( t- kx), где А = 0,5 см; =628 c ^-1; k = 2 м^-1. Определить: 1) частоту колеба­ний и длину волны ; 2)фазовую скорость ; 3) максимальные значения скорости и ускорения колебаний частиц среды.

7.2. Волна распространяется от источника колебаний вдоль прямой. Смещение точки для момента времени 0,5 Т составляет 5 см. Точка удалена от источника колебаний на расстояние . Определить амплитуду А колебаний.

7.3. Источник совершает незатухающие колебания по закону . Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 0,6 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний. Ско-рость распространения колебаний =300 м/с.

7.4. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 0,5 кГц и амплиту­ду А = =0,25мм, распространяются в упругой среде. Длина волны = 70 см Найти: 1)скорость распространения волн; 2) макси­мальную скорость частиц среды.

7.5. Определить разность фаз двух точек, отстоящих друг от друга на расстоянии 20 см, если волна распространяется со скоростью =2,4 м/с при частоте Гц.

7.6. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на х = ¾ , в момент, когда от на­чала колебаний прошло время t= 0,9Т.

7.7. Волна с периодом Т = 1,2 с и амплитудой колебаний А = 2 см распрост-раняется со скоростью = 15 м/с. Чему равно смещение (х, t) точки, находя-щейся на расстоянии х = 45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло вре­мя = 4 с?

7.8. Две точки находятся на расстоянии х = 50 см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью = 50 м/с. Период Т коле-баний равен 0,05 с. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

7.9. Определить разность фаз колебаний источника волн, нахо­дящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на х = 2 м от источника. Частота v колебаний равна 5 Гц; волны распространя­ются со скоростью = 40 м/с.

7.10. Волна распространяется в упругой среде со скоростью = 100 м/с. Наи-меньшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту v колебаний.