Инерциальная система отсчета. Принцип относительности классической динамики.

Система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся.

Во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму (инвариантны); в этом состоит суть механического принципа относительности или принципа относительности Галилея.

 

 

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.

основное уравнение динамики

можно записать так или так . Проецируя уравнение на оси координат получаем так как , , , то

 

 

Естественные уравнения движения свободной материальной точки.

ma_t=åF_it; ma_n=åF_in; ma_b=åF_ib (a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е. (r – радиус кривизны траектории в текущей точке).

 

 

Прямая и обратная задачи динамики.

Первая или прямая задача: Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу. Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси координат

Зная проекции силы на оси координат, определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:

Вторая или обратная задача:

Известна масса точки и действующая на точку сила, необходимо определить закон движение этой точки.

,имеем шесть произвольных постоянных: Каждая из координат движущейся точки после интегрирования системы уравнений зависит от времени и всех шести произвольных постоянных, т.е.

К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия:

,

,

Используя эти начальные условия можно получить шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных .

 

 

Теорема об изменении количества движения материальной точки.

Изменение количества движения материальной точки равно импульсу сил, приложенных к точке.

 

 

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки.

Производная от вектор момента количества движения относительно центра О равна сумме моментов сил, приложенных к точке относительно того же центра О.

Работа и мощность силы.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.

,

 

 

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе сил, приложенных к точке.

 

Принцип Даламбера для материальной точки и системы материальных точек.

Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид: ,

- равнодействующая активных сил, - равнодействующая сил реакции связей.

Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. .

Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид:

Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

 

44. Общее уравнение динамики (Принцип Даламбера-Лагранжа).

Пусть имеется механическая система, на которую наложены идеальные связи. Приложим ко всем материальным точкам системы реально действующие на них активные силы и реакции связей. Добавим к данным силам соответствующие силы инерции. Тогда согласно принципу Даламбера получим:

, где

Умножим скалярно данное уравнение на возможное перемещение точки k

или

Записывая аналогичные уравнения для всех точек системы, складывая их почленно и учитывая, что сумма элементарных работ реакций связей для систем с идеальными связями равна нулю, получаем общее уравнение динамики