Моменты количества движения точки относительно центра и оси.

Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv. Т. о., k _o = [ r · mυ ], где r — радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О, a k_z равняется проекции вектора k_o на ось z, проходящую через точку О. Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m_o (F) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk_o/dt = m_o (F). Когда m_о (F) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется Площадей закону.

Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. K_o = Σ k_oi, K_z = Σ k_zi. Вектор K_o может быть определён его проекциями K_x, K_y, K_z на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω, K _x = — I _xzω, K _y = — I _yzω, K _z = I _zω, где l_z — осевой, а I_xz, l_yz — центробежные моменты инерции.

Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K_o = I _zω.

Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента M_o^e. Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dK_o/dt = M_o^e. Аналогичным уравнением связаны моменты K_z и M_z^e. Если M_o^e = 0 или M_z^e = 0, то соответственно K_o или K_z будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д.

 

Билет 20

Общее уравнение динамики.

Общее уравнение динамики – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

 

Потенциальная сила. Работа потенциальной силы на конечном перемещении.

 

Потенциальная сила - сила, работа которой зависит только от начального и конечного положения точки её приложения и не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения этой точки

Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории движущейся точки не зависит.

Основным свойством потенциального силового поля и является то, что работа сил поля при движении в нем материальной точки зависит только от начального и конечного положений этой точки и ни от вида ее траектории, ни от закона движения не зависит.

 

 

Билет 21

Принцип виртуальных (возможных) перемещений.

Существуют две различные формулировки принципа возможных перемещений. В одной формулировке утверждается, что для равновесия материальной системы необходимо, чтобы равнялась нулю сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к системе, на любом возможном перемещении.
В другой формулировке, наоборот, говорится, что система должна находиться в равновесии, чтобы сумма элементарных работ всех сил равнялась нулю. Такое определение этого принципа дается, например, в работе: “Виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с идеальными связями и находящейся в равновесии, равна нулю”.
Математически принцип возможных перемещений представляется в виде:
, (1)
где - скалярное произведение вектора силы и вектора виртуального перемещения.

 

 

Мощность пары сил

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Мощность пары сил:

,

где омега _Z – проекция угловой скорости на ось вращения.

 

Билет 22

1.Прнцип виртуальных перемещений
Рассмотрим виртуальное перемещение точки системы с номером i. Виртуальным перемещением δr_i называется мысленное бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связями без их разрушения в данное фиксированное мгновение времени.

Если связь одна и описывается уравнением (2), физически ясно, что связь не нарушится, когда вектор виртуального перемещения

(3)

будет лежать в плоскости, касательной к поверхности связи, зафиксированной в данное мгновение времени. Математически это условие выражается как

(4)

где grad f - градиент функции (2) при фиксированном t, перпендикулярный поверхности связи в месте нахождения точки, равный

(5)

Учитывая выражения (3) и (5), раскрываем скалярное произведение в (4), получаем уравнение, которому должны удовлетворять проекции δx_i, δy_i, δz_i виртуального перемещения δr_i, чтобы связь не нарушалась:

(6)

В вариационном исчислении бесконечно малые величины δr_i, δx_i, δy_i, δz_i называются вариациями функций r_i, x_i, y_i, z_i. Изменения координат точек или уравнений связи при неизменном времени находятся синхронным варьированием, которое осуществляется согласно левым частям формул (4) и (6).

То есть проекции δx_i, δy_i, δz_i виртуального перемещения точки δr обращают в нуль первую вариацию уравнения связи при условии, что время не варьируется (синхронное варьирование):

(7)

Следовательно, виртуальное перемещение точки не характеризует ее движение, а определяет связь или, в общем случае, связи, наложенные на точку системы. Таким образом, виртуальные перемещения позволяют учесть эффект механических связей, не вводя реакции связей, как мы это делали раньше, и получать уравнения равновесия или движения системы в аналитическом виде, не содержащие неизвестных реакций связей.

2.Элементарная работа
Элементарная работа сил, действующих на абсолютно твердое тело, равна алгебраической сумме двух слагаемых: работы главного вектора этих сил на элементарном поступательном перемещении тела вместе с произвольно выбранным полюсом и работы главного момента сил, взятого относительно полюса, на элементарном вращательном перемещении тела вокруг полюса. [ 1 ]

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы. [ 2 ]

Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения системы. [ 3 ]

Элементарная работа силы при вращении тела, на которое сила действуе

 

Билет 23

1. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах.

Запишем принцип, выражая виртуальную работу активных сил системы в обобщенных координатах:

Так как на систему наложены голономные связи, вариации обобщенных координат не зависят между собой и не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому последнее равенство выполнится только тогда, когда коэффициенты при δ_j (j = 1 ÷ s) одновременно обращаются в нуль, то есть

(12)

Таким образом, для равновесия материальной системы с голономными стационарными идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы одновременно равнялись нулю все обобщенные силы системы по всем обобщенным координатам.

Если силы, действующие на систему, являются потенциальными, то согласно (11) уравнения равновесия принимают вид

2.Работа силы на конечном перемещении
Работа силы на конечном перемещении определяется как интегральная сумма элементарных Работа и при перемещении M ₀ M ₁ выражается криволинейным интегралом:

или

 

Билет 24

1.уравнение Лагранжа второго рода.

Для вывода уравнений запишем принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах в виде -Q_j^u = Q_j (j = 1 ÷ s).

Принимая во внимание, что Ф_i = -m_ia_i = -m_idV_i / dt, получаем:

(1)

Далее обобщенные силы инерции в левой части нужно выразить через кинетическую энергию(для систем с голономными связями обобщенные силы инерции равны):

(2)

Подставляя (2) в (1) получаем дифференциальное уравнение движения системы в обобщенных координатах, которое названо уравнением Лагранжа второго рода:

(3)

то есть, материальная система с голономными связями описывается уравнениями Лагранжа второго рода по всем s обобщенным координатам.

Отметим важные особенности полученных уравнений.

1. Уравнения (3) - это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно s неизвестных функций q_j(t), полностью определяющих движение системы.

2. Число уравнений равно числу степеней свободы, то есть движение любой голономной системы описывается наименьшим числом уравнений.

3. В уравнения (3) не нужно включать реакции идеальных связей, что позволяет, находя закон движения несвободной системы, выбором обобщенных координат исключить задачу определения неизвестных реакций связей.

4. Уравнения Лагранжа второго рода позволяют указать единую последовательность действий для решения многих задач динамики, которую часто называют формализмом Лагранжа.

 

2. Условие относительного покоя материальной точки получают из динамического уравнения Кориолиса, подставив в это уравнение значения относительного ускорения и кориолисовой силы инерции равные нулю:

или