Понятие о плоско параллельном движении твердого тела

В случае плоскопараллельного движения все точки тела, рас­положенные на прямой, перпендикулярной к определенной непод­вижной плоскости I (рис.), совершают одинаковое движение. Поэтому изучение плоскопараллельного движения твердого тела может быть сведено к изучению движения плоской фигуры, обра­зованной сечением тела плоскостью //, параллельной неподвижной плоскости /, при условии, что расстояние между пло­скостями I u II постоянно (рис.).

Примером плоскопараллельного дви­жения могут служить движение шатуна кривошипно-шатунного механизма, дви­жение- колеса на прямолинейном участке пути и др.

Рассмотрим перемещение плоской фи­гуры на рис. из положения I в поло­жение II.

Положение плоской фигуры на (рис. a) определяется отрез­ком M₁B₁. Этот отрезок можно переместить из положения I в по­ложение II следующим образом: перенести его параллельно са­мому себе в положение M₂B^/₂ (при этом фигура совершит посту­пательное перемещение), а затем повернуть отрезок вокруг точки М₂ против часовой стрелки на угол φ (фигура при этом совершит вращательное движение и займет положение II). Можно посту­пить иначе: сначала сообщить фигуре поступательное перемещение до положения отрезка В ₂М ^/₂, а затем повернуть вокруг точки В₂ против часовой стрелки опять на угол φ.

 

Точку, вокруг которой фигура совершает поворот, называют полюсом. В первом случае полюсом была точка М₂, во втором — В₂. Очевидно, что за полюс может быть принята произвольная точка фигуры.

Итак, плоскопараллельное движение можно разложить на два составляющих движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг этого полюса. Поступательная часть плоскопараллельного движения зависит от выбора полюса. Как видно из (рис. а,)поступательное перемещение M₁M₂ при выборе за полюс точки М₂ не равно поступательному переме­щению В₁В₂ при выборе за полюс точки В₂.

 

Рассматривая вращательную часть плоскопараллельного дви­жения, нетрудно установить, что угол поворота не зависит от выбора полюса.

Разложение плоскопараллельного движения можно исполь­зовать для определения скоростей точек тела. Так как плоскопа­раллельное движение фигуры может быть представлено как сумма двух движений — поступательного и вращательного, то скорость любой точки тела (рис. б) равна геометрической сумме: скорости v_M движения полюса М и скорости вращательного движе­ния v_BM вокруг полюса М

v_B = v_M + v_BM.

Скорость вращательного движения определяется по формуле

v_BM = ω MB,

где ω — угловая скорость вращения; MB — радиус вращения точки В относительного полюса М.

Скорость вращательного движения v_BM направлена перпенди­кулярно к радиусу вращения MB. Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то угловая скоростью называется угловой скоростью плоской фигуры.

В плоскости движущейся фигуры при плоскопараллельном движении в данный момент времени всегда есть точка, скорость которой равна нулю. Действительно, примем за полюс точку В (рис. в), восстановим из нее перпендикуляр к вектору скорости v_B и отложим на этом перпендикуляре отрезок ВС = v_B/ω в сторону, где относительные вращательные скорости направлены противоположно скорости выбранного полюса v_B. Абсолютная скорость точки С определится как геометрическая сумма двух рав­ных и противоположно направленных векторов: скорости поступательного движения v_B и скорости вращательного движения v_CB, причем

v_CB = ω ВС = ω _* v_B/ω= v_B.

Таким образом, абсолютная скорость точки С равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скорости или мгно­венным центром вращения плоской фигуры. Если эту точку С принять за полюс, то скорость произвольной точки М (рис. в) определится по формуле

v_m = v_c + v_MC,

но v_c = 0 и v_M = v_MC, или v_M = ωМС, т. е. скорость любой точки плоской' фигуры определяется как вращательная относи­тельно мгновенного центра скоростей.

При определении мгновенного центра скоростей возможны сле­дующие три случая:

1-й случай. Известны направления скоростей двух то­чек тела А и В. Мгновенный центр скоростей располо­жен на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек к векторам их скоростей (рис. а).

 

2- й случай. При перекатывании тела без скольжения по неподвижной поверх­ности мгновенный центр скоростей на­ходится в точке Р касания катящейся фигуры с поверхно­стью (рис. б).

3-й случай. Если скорости двух точек А и В параллельны между собой и од­новременно перпен­дикулярны к линии, соединяющей эти точки, то мгновенный центр лежит на пере­сечении линий, соединяющих данные точки и концы их скоростей (рис. в, г).

 

 

 

и нормальное ускорение также не равно нулю

а_п = v ²/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.

a^→ = a_t^→ + a_n^→ а = √а_t² + a_n²

Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

 

Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 0
at = v/t [м/с^2]	at = v – v0 /t [м/с^2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t^2 / 2[м]	S = v0 * t + at * t^2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 3. Кинематика

 

Основные понятия

 

В кинематике изучается механическое движение материаль­ных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти дви­жения. Кинематику часто называют геометрией движения.

Механическое движение происходит в пространстве и во вре­мени. Пространство, в котором происходит движение тел, рас­сматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются си­стеме аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), простран­ство и время зависят от скорости движения. При обычных скоро­стях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в класси­ческой механике, сохраняют силу.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы опреде­лить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то не­подвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с систе­мой отсчета.

В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему коорди­натных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера дви­жение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz (рис. 115). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.). Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, котораяхарактеризует быстроту и направление дви­жения точки в данный момент времени.

В зависимости от скорости движение точки может быть равно­мерным и неравномерным. При равномерном движении скорость постоянна по величине, при неравномерном — переменна. Изме­нение скорости во времени характеризуется ускорением. Скорость и ускорение точки являются векторными величинами.

 

Уравнение движения точки

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необ­ходимо уметь определить ее положение в назначенной системе от­счета (системе координат) в любой момент времени.

 

 

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в за­висимости от времени, называются уравнениями движения. В механики применяют два способа задания движения - естественный и координатный.

-- Естественный способ задания движения точки. Положение точки на заданной траек­тории в любой момент времени одно­значно определяется расстоянием s. Значит, если кроме траектории, на которой отмечено нача­ло отсчета О, задана зависимость

s = f(t) (1)

между расстоянием s и временем t, то в любой момент времени можно точно определить положение точки на траектории. Уравнение 1 на­зывается законом движения точки по заданной траектории.

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением s = 0,5t²(s - м, t - с):

в момент времени t₀ = 0 s₀ = 0, т. е. точка нахо­дится вначале отсчета О;

вмомент времени t₁ = 1сточка находится на расстоянии s₁ = 0,5 t₁² = 0,5 _* 1² = 0,5м;

вмомент времени t₂ = 2сточка находится на расстоянии s₂ = 0,5 t₂² = 0,5 _* 2² = 2м от начала отсчета.

-- Координатный способ задания движения точки. Положение движущейся в плоскости точки (рис. 116, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, х и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение, точки:

x = f₁(t); y = f₂(t). (2)

Такой способ задания движения точки называется координат­ным. С помощью уравнений движения (2) можно найти траекторию точки, т. к. для каждого момента времени t можно вычислить координаты точки и следовательно указать ее положение

 

 

Скорость точки

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение назы­вается равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

v = s/t; м/с (4)

1 м/с за 1 час → 3600 м/час = 3,6 км/с т. е.

1 м/с = 3,6 км/ч

1 км/ч = 0,278 м/с

[м/с] _* 3,6 [км/ч]; [км/ч]: 3,6 [м/с]

и нормальное ускорение также не равно нулю

а_п = v ²/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.

a^→ = a_t^→ + a_n^→ а = √а_t² + a_n²

Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

 

Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 0
at = v/t [м/с^2]	at = v – v0 /t [м/с^2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t^2 / 2[м]	S = v0 * t + at * t^2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

 

 

Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости, равно 0,16 м/с². Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c²

v₀ = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

v = 25км/ч = 25:3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение: v =v₀ + a_{t *} t =>

t = v – v₀ /a_t = 6,9 – 13,9 _/ - 0.16 = -7_/ -0.16 = 43 c

Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с², на каком пути авто остановится.

 

Дано: v₀ = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

v₁ = 0

a_t = -5м/с²

Определить S

Решение: a_t = v – v₀ /t =>

t = v – v_{0 /} a_t = 0-20_/ -5= 4c S = v₀ + v_/ 2_* t = 20+0_/ 2 _* 4 = 40м

Пример 3. Определить с какой высоты h нужно сбросить тяжелое тело без начальной скорости, чтобы к моменту падения на Землю скорость его достигла 49,05 м/с. Сопротивление воздуха пренебречь.

Дано: v = 49,05 м/c

V₀ = 0

q = 9,81м/с²

Определить S

 

 

Пример 4. Камень упал в колодец. Через 4с был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, считая, что звук распространяется мгновенно.

Дано: t = 4c

V₀ = 0

q = 9,81м/с²

Определить S(h)

Решение: S = q_* t² / 2= 9,81_* 4²_/ 2 = 78м

 

 

 

 

Пример 5. Поезд идет со скоростью 66 км/ч. На протяжении 800 м путь идет в гору, вследствие чего движение поезда становится равнозамедленным, и его скорость снижается до 50 км/ч. Определить величину ускорения (замедления) и время, затраченное на преодоление подъема.

 

 

Пример 6. Поезд отправляется со станции и движется по закруглению пути радиуса R = 1200м. В течении 1,5 мин поезд развивает скорость 72 км/ч. Определить путь разгона и полное ускорение поезда в конце пути.

 

 

Ускорение точки

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволиней­ной траектории и за время Δt переходит из положения М в поло­жение M₁. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ₁, ее длину обозначим Δs. В положении М точка имела скорость , в положении М₁ — скорость ₁. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор ₁

На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором .

Скорость точки при перемещении ее из положения М в поло­жение М₁ изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение ско­рости, можно найти, разделив вектор приращения скорости на соответствующее время движения

_ср =

Переходя к пределу при Δt → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

= = 8

 

Найденное ускорение характеризует изменение численного зна­чения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскла­дывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касатель­ной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

= _t + _n 9

Касательная составляющая _t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение

 

модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости

a_t = =dv/dt

Нормальная составляющая а_п перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяет­ся по формуле

а_п = v²/r,

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие a_t и а_п взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a = ²_t +a ²_n