Движения свободного твёрдого тела

 

Сферическим движением твёрдого тела называется такое движение, при котором одна точка тела остается неподвижной.

Сферическое движение совершает, например, волчок (рис. 32), у которого остаётся неподвижной точка .

Поскольку для любой точки тела, совершающего сферическое движение, (так как тело абсолютно твёрдое), то все точки тела движутся по сферическим поверхностям с центром в точке и такое движение называется сферическим.

Для изучения сферического движения вводится неподвижная система отсчета и подвижная система , которая движется вместе с телом.

Линия пересечения неподвижной плоскости с подвижной называется линией узлов.

Для задания положения тела при сферическом движении служат углы Эйлера:

– угол прецессии;

– угол собственного вращения;

– угол нутации.

Названия указанных углов взяты из астрономии.

Выражения

, , (2.31)

называются уравнениями сферического движения твёрдого тела.

Из теоремы Эйлера-Даламбера о перемещении твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, следует, что сферическое движение в каждый момент времени можно рассматривать как мгновенное вращательное движение вокруг мгновенной оси , проходящей через неподвижную точку с угловой скоростью . Вектор угловой скорости направляется по мгновенной оси , и его направление можно определить по правилу правого винта.

Поскольку для радиус-вектора любой точки тела его модуль , скорости точек тела при сферическом движении можно определять по формуле Эйлера

. (2.32)

Векторное выражение (2.32) определяет модуль и направление вектора скорости . Модуль равен

,

где – наименьший угол между радиус-векторами и , – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось ОР.

Из выражения (2.32) следует, что вектор скорости направляется перпендикулярно плоскости МОР (значит, перпендикулярно ) в сторону круговой стрелки .

Представим векторное произведение (2.32) в виде определителя

, (2.33)

где , , и , , – соответственно проекции векторов и на неподвижную систему осей .

Раскладывая определитель (2.33) по элементам верхней строки, получим выражения для проекций вектора скорости на неподвижные оси:

, , . (2.34)

При сферическом движении твёрдого тела в общем случае направления векторов углового ускорения и угловой скорости не совпадают. Вектор направлен по некоторой оси ОЕ, положение которой определяется в каждом конкретном случае сферического движения.

Ускорение точки тела при сферическом движении определяется путём дифференцирования по времени векторного выражения (2.32)

. (2.35)

В выражении (2.35)

(2.36)

есть вращательное ускорение точки М тела. Из выражения (2.36) следует, что

,

где – угол наименьший между радиус-векторами и , – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось ОЕ.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости МОЕ (значит, перпендикулярно ) в сторону круговой стрелки .

Вторая составляющая ускорения в выражении (2.35)

(2.37)

есть осестремительное ускорение точки . Из выражения (2.37) следует, что

и вектор направлен по к оси ОР.

С учётом выражений (2.26) и (2.37) выражение (2.35) принимает вид

. (2.38)

Равенство (2.38) выражает теорему Ривальса об ускорении точки тела, совершающего сферическое движение: ускорение любой точки тела при сферическом движении равно геометрической сумме её вращательного и осестремительного ускорений.

На рис. 32 ускорение направлено по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Так как угол между и в общем случае не равен , то модуль вектора можно определить по теореме косинусов

. (2.39)

Рис. 33

Движение свободного твёрдого тела в общем случае (рис. 33)можно представить как совокупность двух движений: поступательного вместе с некоторым полюсом и сферического относительно полюса . На рис. 33 показаны , – соответственно скорость и ускорение полюса; и – векторы угловой скорости и углового ускорения сферического движения. В качестве полюса может быть выбрана любая точка тела.

С учётом сказанного для свободного тела в общем случае скорость и ускорение некоторой точки , положение которой относительно полюса определяется радиус-вектором , будут равны геометрическим суммам скоростей и ускорений от поступательного и сферического движений

, (2.40)

. (2.41)

 

Пример 1. Конус 1 (рис. 34а) с углом при вершине и радиусом основания AC = 0,3 м катится без скольжения по такому же неподвижному конусу 2, совершая вокруг вертикальной оси оборот за каждую секунду. Определить:

1) угловую скорость конуса ;

2) угловое ускорение конуса ;

3) скорости низшей и высшей точек основания и ;

а)

4) ускорения этих же точек и .

в)

б)

Конус 1 движется так, что его вершина остается неподвижной, т.е. совершает сферическое движение. С другой стороны, движение конуса 1 можно рассматривать как результирующее движение от сложения вращений вокруг пересекающихся осей с угловой скоростью (рис. 34б)

рад/с

и оси с угловой скоростью . Поскольку для точки её скорость от вращения вокруг оси равна нулю, то

,

где – перпендикуляр, опущенный из точки на ось .

м.

Значит,

м/с.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа в сторону круговой стрелки , т.е. на нас.

Согласно теореме Эйлера-Даламбера, сферическое движение можно рассматривать как вращательное движение с угловой скоростью вокруг мгновенной оси , которая совпадает с образующей конусов 1 и 2, поскольку конус 1 катится без скольжения.

Следовательно,

,

где – перпендикуляр, опущенный из точки на мгновенную ось :

м.

Следовательно, мгновенная угловая скорость

рад/с.

Зная направление вектора , находим направление . Изображаем в виде вектора , используя правило правого винта.

Так как точка конуса 1 лежит на мгновенной оси , то скорость

.

Скорость точки

,

где – перпендикуляр, опущенный из точки на мгновенную ось :

м.

Следовательно,

м/с.

Вектор направлен на нас.

Вектор углового ускорения

. (2.42)

Так как модуль вектора постоянный, т.е. , то производную (3.42) можно определить по формуле Эйлера:

, (2.43)

где – вектор угловой скорости , направленный по оси вниз.

Из выражения (2.42) следует, что вектор углового ускорения по модулю и направлению совпадает со скоростью конца вектора , который вращается с угловой скоростью вокруг оси .

Из выражения (2.43) находим

рад/с²,

из векторного произведения (2.43) следует, что вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас (рис. 34б).

Находим ускорения точек и конуса 1 (рис. 34в). Согласно выражению (2.38),

, (2.44)

где вращательное ускорение точки

. (2.45)

По модулю

м/с.

Согласно выражению (2.42), вектор направлен перпендикулярно и лежит в плоскости чертежа.

Так как точка находится на оси вращения , её осестремительное ускорение

.

Значит, ускорение точки совпадает с

.

Ускорение точки

, (2.46)

где вращательное ускорение

. (2.47)

По модулю

м/с².

Из выражения (2.47) следует, что вектор направлен вертикально вверх. Осестремительное ускорение

м/с².

Вектор направлен по к оси .

Из выражения (2.46) следует, что вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

По модулю

м/с².

 

 

Пример 2. Для свободного твёрдого тела известны вектор скорости некоторой точки ( – в м/с), вектор угловой скорости ( – в рад/с) и радиус-вектор точки относительно точки ( – в м). Определить скорость точки тела.

Скорость точки свободного твёрдого тела определяется выражением (2.40)

. (2.48)

Спроектировав векторное равенство (2.48) на неподвижные координатные оси , получим с учётом выражений (2.34) три проекции вектора скорости :

м/с,

м/с,

м/с.

Зная проекции вектора на координатные оси, находим его модуль:

м/с.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какое движение твёрдого тела называется поступательным?

2. Как читается основная теорема поступательного движения тела?

3. Как задается движение при поступательном движении тела?

4. Какое движение твёрдого тела называют вращательным?

5. Как определяется угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении?

6. Как определяется и направляется скорость точки тела при вращательном движении?

7. Как определяется и направляется ускорение точки тела при вращательном движении?

8. Какое движение твёрдого тела называется плоским?

9. Как записывается уравнение плоского движения тела?

10. Как определяется скорость точки тела при плоском движении?

11. Как определяется ускорение точки тела при плоском движении?

12. Какое движение тела называется сферическим?

13. Как записываются уравнения сферического движения тела?

14. Как задаётся движение свободного твёрдого тела?