Сложение поступательного и вращательного

Движений твёрдого тела

 

Скорость поступательного движения тела,

Перпендикулярная оси вращательного движения

 

Тело (рис. 48) вращается вокруг оси с угловой скоростью и одновременно движется поступательно со скоростью . Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращательного движения . Результирующее движение тела в этом случае является мгновенным вращательным движением вокруг мгновенной оси , параллельной оси и отстоящей от неё на расстоянии

. (4.8)

Угловая скорость результирующего движения равна угловой скорости , т.е.

. (4.9)

Рис.48

Мгновенная ось располагается так, чтобы плоскость, проведенная через оси и , была перпендикулярна скорости поступательного движения тела и выполнялось условие:

. (4.10)

 

Скорость поступательного движения тела,

Параллельная оси вращательного движения

 

Рис.49

Результирующим движением тела (рис. 49), участвующего в двух движениях, из которых одно вращательное с угловой скоростью относительно оси , второе поступательное движение со скоростью , направленной вдоль оси , является винтовое движение. Ось называется в этом случае винтовой осью. Если векторы и направлены в одну сторону, то винт называетсяправым, в противоположные стороны – левым. Величина

(4.11)

называется параметром винта. Если для тела выполняются условия:

, ,

то винтовое движение называется перманентным.

Рис. 49

 

Скорость поступательного движения, направленная

Под произвольным углом к оси вращения

 

Тело (рис. 50) вращается вокруг оси с угловой скоростью и поступательно движется со скоростью . Скорость направлена под углом к оси . Данный случай сложения поступательного и вращательного движений тела соответствует общему случаю движения свободного твёрдого тела.

Результирующее движение тела является в этом случае мгновенным винтовым движением вокруг мгновенной оси , параллельной оси и отстоящей от неё на расстоянии

 

. (4.12)

Угловая скорость результирующего винтового движения ; скорость поступательного движения тела вдоль мгновенной оси

. (4.13)

Расстояние откладывается перпендикулярно плоскости, образованной векторами и , как в случае (4.10), справедливо выражение:

.

Таким образом, движение свободного тела в общем случае можно рассматривать как мгновенное винтовое движение вокруг мгновенной оси.

Решение задач на сложение движений твёрдого тела основывается на выявлении частных случаев сложения, рассмотренных в данном параграфе, и суммировании частных случаев сложения движений.

 

Пример 1. Тело (рис. 51) вращается вокруг оси с угловой скоростью рад/си вокруг оси с угловой скоростью рад/с. Оси пересекаются в точке , и угол между осями . Найти абсолютную угловую скорость тела.

Рис.51

При сложении вращений вокруг пересекающихся осей угловые скорости суммируются геометрически, поэтому

.

Абсолютная угловая скорость определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . По модулю

рад/с.

 

Пример 2. Тело участвует (рис. 52) во вращениях вокруг четырёх осей с угловыми скоростями (, , , ), направленными по сторонам квадрата . Угловые скорости составляющих вращений численно определяются размерами сторон квадрата. Каким будет результирующее движение тела?

Тело в данном примере участвует в двух парах вращений (, ) и (, ). Пара вращений эквивалентна поступательному движению. При сложении поступательных движений результирующее движение тела является поступательным. Таким образом, в данном примере в результате сложения вращений тела вокруг четырёх осей тело движется поступательно.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Каким будет результирующее движение тела, если оно участвует в нескольких поступательных вращениях?

2. Каким будет результирующее движение тела, если оно участвует во вращениях вокруг пересекающихся осей?

3. Как определяется угловая скорость результирующего движения тела, если оно участвует во вращениях вокруг параллельных осей?

4. Что называется парой вращения?

5. Какое движение совершает тело, участвующее в паре вращений?

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. – М.: Высш.шк., 2008. – 416 с.

2. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике/ И.В. Мещерский. – М.: Наука, 2008. – 448 с.

3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике/ под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высш.шк., 2008. – 382 с.

4. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики/ А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. – М.: Интеграл-пресс, 2006. – 595с.

5. Будник, Ф.Г. Сборник задач по теоретической механике/ Ф.Г. Будник, Ю.М. Зингерман, Е.И. Селенский. – М.: Высш.шк., 1987. – 176 с.

6. Будник, Ф.Г. Теоретическая механика. Статика, кинематика: учеб. пособие/ Ф.Г. Будник, Е.С. Евтух. – Брянск, БГТУ, 2008. – 94с.

7. Будник, Ф.Г. Теоретическая механика. Статика, кинематика: учеб. пособие/ Ф.Г. Будник, Е.И. Селенский, Т.В. Селенская. – Брянск, БГТУ, 2005. – 171с.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………....3

РАЗДЕЛ I. СТАТИКА………………………………..…………….5

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ.

СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ…………………………………...5

1.1. Предмет и задачи статики. Основные понятия статики……….5

1.2. Аксиомы статики. Связи и реакции связей…………………….6

1.3. Система сходящихся сил…………………………………….....11

1.4. Теорема о трёх силах…………………………………………...13

1.5. Примеры решения задач на равновесие тел под действием

системы сходящихся сил……………………………………....14

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……………………………………….17

ГЛАВА 2. МОМЕНТЫ СИЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ.

ПАРА СИЛ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ПЛОСКАЯ

ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ………………..……………...18

2.1. Момент силы относительно точки………………………….....18

2.2. Момент силы относительно точки как вектор………………..19

2.3. Момент силы относительно оси……………………………….20

2.4. Зависимость между моментами силы относительно

точки и оси, проходящей через эту точку……………………22

2.5. Аналитические выражения моментов силы относительно

координатных осей…………………………………………….22

2.6. Пара сил и её момент…………………………………………...23

2.7. Теоремы об эквивалентных парах……………………………..24

2.8. Момент пары как вектор…………………………………….....25

2.9. Сложение пар в пространстве и на плоскости………………..26

2.10. Условия равновесия пространственной и плоской

систем пар…………………………………………………..…..27

2.11. Лемма Пуансо о параллельном переносе силы………………27

2.12. Теорема о приведении пространственной произвольной

системы сил к одному центру (основная теорема статики)…28

2.13. Частный случай приведения плоской системы сил

к одному центру………………………………………………..30

2.14. Условия равновесия пространственной и плоской

систем сил………………………………………………………31

2.15. Теорема о перемене центра приведения пространственной

системы сил………………………………..…………………...33

2.16. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей…………34

2.17. Системы статически определимые и статически

неопределимые...……………………………………………….35

2.18. Примеры решения задач на плоскую систему сил…………..36

2.19. Примеры решения задач на пространственную

систему сил…………………………………………………......40

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……………………………………….43

ГЛАВА 3. ФЕРМЫ. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ С УЧЁТОМ ТРЕНИЯ.…..44

3.1. Фермы…………………………………………………………...44

3.2. Трение скольжения…………………………………………......48

3.3. Трение качения………………………………………..………...51

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………52

ГЛАВА 4. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ……………………………………........53

4.1. Центр параллельных сил……………………………………….53

4.2. Центр тяжести твёрдого тела………………………….……….55

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………62

 

РАЗДЕЛ II. КИНЕМАТИКА……………………………………..63

ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ…………………………………...64

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………75

ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА……………………....76

2.1. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела…..76

2.2. Плоское движение твёрдого тела……………………………...85

2.3. Сферическое движение твёрдого тела. Общий случай

движения свободного твёрдого тела…………………..……..101

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ……………………………………..109

ГЛАВА 3. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ………………….……110

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ……………………………………..120

ГЛАВА 4. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА…………121

4.1. Сложение поступательных движений……………………….121

4.2. Сложение вращений твёрдого тела вокруг

пересекающихся осей………………………………………...121

4.3. Сложение вращений твёрдого тела вокруг

параллельных осей……………………………………………122

4.4. Сложение поступательного и вращательного движений

твёрдого тела………………………………………………......125

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ……………………………………..128

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………….129