Глава 4. Сложение движений твёрдого тела

 

В главе рассмотрено сложение поступательных и вращательных движений твёрдого тела в различных сочетаниях.

 

Сложение поступательных движений

 

Тело (рис. 43) поступательно движется относительно подвижной системы отсчёта со скоростью , а эти оси, в свою очередь, поступательно движутся со скоростью относительно неподвижной системы отсчёта .Таким образом, тело участвует в двух поступательных движениях. Если тело участвует одновременно в нескольких поступательных движениях, то результирующее движение тела является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составляющих движений.

Для тела , изображённого на рис. 43, абсолютная скорость тела

. (4.1)

 

 

Сложение вращений твёрдого тела вокруг

Пересекающихся осей

Тело (рис. 44) одновременно участвует в двух вращательных движениях: вокруг оси с угловой скоростью и оси с угловой скоростью . Оси и пересекаются в точке . Используя правило правого винта, представим угловые скорости в виде векторов и .

 

При сложении вращений тела вокруг пересекающихся осей результирующее движение тела является сферическим, которое можно рассматривать как мгновенное вращательное движение относительно мгновенной оси с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений. Для случая, изображенного на рис. 44, абсолютная угловая скорость

, (4.2)

и мгновенная ось направлена по .

 

Сложение вращений твёрдого тела

Вокруг параллельных осей

 

Угловые скорости составляющих вращательных

Движений, направленные в одну сторону

 

Тело (рис. 45) одновременно участвует в двух вращательных движениях: вокруг осей и со скоростями соответственно и . Оси и параллельны, и угловые скорости и направлены в одну сторону. Проведём плоскость , перпендикулярную осям и . Плоскость рассекает тело по некоторому сечению , и – точки встречи осей и с плоскостью .

Результирующее движение тела будет таким, при котором фигура остается в плоскости , т.е. тело совершает плоское движение, которое можно рассматривать как мгновенное вращательное движение вокруг оси , параллельной осям и и делящей расстояние между осями на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям и :

. (4.3)

Угловая скорость результирующего вращательного движения равна алгебраической сумме угловых скоростей составляющих вращений и

(4.4)

и направлена в ту же сторону.

Если изобразить угловые скорости в виде векторов , и , то можно заметить аналогию со статикой: угловые скорости складываются аналогично параллельным силам в статике.

 

Угловые скорости составляющих вращательных

Движений, направленные в противоположные стороны

 

Рассматриваемый случай (рис. 46)аналогичен предыдущему случаю, только угловые скорости и направлены в противоположные стороны. Пусть . Результирующее движение тела в этом случае является также мгновенным вращательным движением вокруг оси , параллельной осям и и расположенной за осью, угловая скорость вращения относительно которой больше, причём положения оси определяются соотношением (4.3). Угловая скорость результирующего вращательного движения равна разности угловых скоростей и составляющих вращений и направлена в сторону большей угловой скорости . Таким образом,

. (4.5)

Положение точки P можно найти из выражения (4.3).

Если изобразить угловые скорости в виде векторов , и , то можно заметить, что аналогично в статике складываются антипараллельные силы.

 

Пара вращений

 

Парой вращений (рис. 47) называют совокупность двух вращений тела вокруг параллельных осей и с равными и противоположно направленными угловыми скоростями и . Таким образом, для пары вращений и . Плоскость, проведенная через оси и , называется плоскостью пары. Кратчайшее расстояние между осями и называется плечом пары . Результирующая угловая скорость тела, участвующего в паре вращений, равна нулю. Действительно, согласно выражению (4.5)

. (4.6)

Результирующее движение тела, находящегося в паре вращений, является поступательным. Скорость поступательного движения тела (рис. 47) равна

, (4.7)

и вектор направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда вращение пары векторов (, ) представляется происходящим против хода часовой стрелки (вектор на рис. 47 направлен на нас).

Пара вращений аналогична паре сил в статике, а вектор скорости поступательного движения тела представляет собой момент пары угловых скоростей.