Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

 

Цель работы: изучить форму траектории материальной точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Определить разность фаз складываемых колебаний из вида траектории результирующего движения.

Оборудование: песочный маятник, секундомер, линейка, лист бумаги, песок.

 

Теория метода

Простейшим видом колебательных движений является гармоническое колебание. Оно возникает в том случае, если на тело, выведенное из положения равновесия, действует сила, направленная всегда к положению равновесия, а по величине пропорциональная смещению тела от положения равновесия. Таким образом, можно написать

,

где F – сила, под действием которой тело совершает гармоническое колебание; s – смещение тела от положения равновесия; k – некоторый постоянный коэффициент. Это выражение можно написать и в таком виде

,

где m – масса колеблющегося тела; – его ускорение, которое выражено в дифференциальной форме, так как в колебательном движении оно является величиной переменной. Решением этого уравнения является функция синуса (или косинуса)

,

которая описывает гармоническое колебание величины s, где а – амплитуда колебания; ω – круговая (циклическая) частота; φ– начальная фаза колебания в момент времени t = 0; (ωt + φ)–фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как синус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +а до – а. Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением , где Т – период колебаний, т. е. промежуток времени, за который фаза колебаний получает приращение 2π.

При изучении колебательных движений большой интерес представляют вопросы, связанные со сложением колебаний. Ограничимся анализом сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т. е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины. Примером может служить математический маятник (тяжелое тело небольших размеров, подвешенное на длинной невесомой нити), который может совершать колебания одновременно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Частоты этих колебаний будут одинаковы и будут зависеть только от длины нити l и ускорения свободного падения g. Пусть начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

, (3.1)

где а, b – амплитуды колебаний; φ – разность фаз обоих колебаний; ω – частота колебаний.

Выражения (3.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется точка, участвующая в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (3.1) параметр t. Из первого уравнения следует, что

. (3.2)

Следовательно

. (3.3)

Распишем косинус во втором уравнении системы (3.1) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо cos ωt и sin ωt их значения (3.2) и (3.3). В результате получим

.

Перенося слагаемое влево и возводя в квадрат полученное выражение, получим:

. (3.4)

Как известно из аналитической геометрии, уравнение (3.4) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависит от амплитуд а и b и разности фаз φ. Все эллипсы вписываются в прямоугольник со сторонами 2 а и 2b (рис. 3.1) Разность фаз складываемых колебаний можно найти, подставив х = 0 в уравнение (10.4). В этом случае

и .

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.

1. Разность фаз φ = 0. В этом случае уравнение (3.4) принимает вид , откуда получается уравнение прямой

. (3.5)

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат равно .

Подставляя выражения (3.1) для х и у и учитывая, что φ = 0, получим закон, по которому r изменяется со временем:

 

, (3.6)

где –амплитуда результирующего колебания (рис. 3.2, а).

2. Разность фаз φ = ±π. Тогда из уравнения (3.4) следует, что . (рис. 3.2, б).

3. При уравнение (3.4) переходит в

,

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (рис. 3.2, в). При равенстве амплитуд а и b эллипс вырождается в окружность (рис. 3.2, г).

Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Уравнения колебаний имеют вид

.

На рис. 3.3 изображены фигуры Лиссажу (траектории результирующего колебания при различном соотношении частот и разности фаз между складываемыми колебаниями во взаимно перпендикулярных плоскостях).

«Песочный» маятник, используемый в лабораторной работе, представляет собой математический маятник. Для такого маятника с достаточной точностью выполняется формула

,

где Т – период колебаний математического маятника; l – его длина; g – ускорение силы тяжести.

Математический маятник совершает гармонические колебания, если угол отклонения нити от положения равновесия не превышает ~8°.

«Песочный маятник» состоит из тяжелого тела М с воронкой для песка, подвешенного на двух нитях (бифилярный подвес) к раме с перекладиной (рис. 3.4, а). С помощью муфты С, передвигаемой вдоль нити, можно реализовать различное соотношение частот между складывающимися колебаниями. При этом одно из колебаний совершается относительно точки Д, а второе – относительно точки С. Колеблющийся маятник совершает движения, которые можно рассматривать как результат сложения колебаний по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Если, насыпав песок в воронку, менять соотношения периодов складываемых колебаний (перемещением муфты), то можно наблюдать различные фигуры Лиссажу – траектории, описываемые маятником.

Примечание. Воронку следует располагать в непосредственной близости от листа бумаги, песок сыпать в воронку нужно перед наблюдением, после проведения всех дополнительных работ.

Измерения

Задание 1. Исследуйте форму траектории суммарного колебания при произвольной разности фаз φ и одинаковой частоте складываемых взаимно перпендикулярных колебаний. Определите параметры колебаний (амплитуды а и b, разность фаз φ и частоту ω). Настройте песочный маятник так, чтобы складываемые колебания имели одинаковые частоты (w₁ = w₂), для чего нужно закрепить муфту С за крючок Д перекладины. Определить период колебаний Т и рассчитать частоту складываемых колебаний .

Для исследования траектории следует положить под маятник лист бумаги, отметить на нем проекцию неподвижного маятника (точка О) и провести оси Ох и Оу. Насыпав песок в воронку, получить траекторию суммарного колебания, отводя маятник в направлении оси х (или у) и сообщая небольшой импульс в направлении оси у (или х).

Найдите амплитуды а и b и разность фаз φ складываемых колебаний. Напишите уравнение колебательного движения. Данные измерений и вычислений занесите в табл. 3.1

Таблица 3.1

Колебания в направлении	Число колебаний	t, с	Т, с	ω, с^-1	а, м	b, м	φ, град.	Уравнения в параметрической форме
Ох
Оу

Задание 2. Исследуйте форму траектории суммарного колебания при разности фаз, равной 0, и отношении частот складываемых колебаний w₁:w₂ = 1:2. Определите параметры взаимно перпендикулярных колебаний (амплитуды а и b, отношение частот w₁:w₂, разность фаз φ). Напишите уравнение траектории суммарных колебаний.

Выполнение задания следует начинать с расчета длин маятников, для которых отношение периодов (частот) их колебаний будет равно 2. Поместите на нитях муфту так, чтобы длины получившихся маятников удовлетворяли найденному условию. Проверьте правильность нахождения положения муфты непосредственным измерением периодов колебаний маятников. Если нужно, перемещением муфты добейтесь желаемого результата. Получите и зарисуйте траекторию колебаний и найдите необходимые параметры, характеризующие колебательный процесс. Данные измерений и вычислений занесите в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Колебания в плоскости Ох	Колебания в плоскости Оу	Уравнения в параметрической форме
Длина маятника, l	Т1 , с	ω1 , с^-1	а, м	φ, град.	Длина маятника	Т2 , с	ω2 , с^-1	b,м	φ, град

Литература

1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Механика. В 3 т. Т. 1 / Д. В. Сивухин. М.: Высшая школа, 1989.

2. Гершензон, Е. М. Механика / Е. М. Гершензон, Н. Н. Малов, А. Н. Мансуров. М.: Академия, 2001.

 

Лабораторная работа № 4

Определение отношения теплоемкостей газов С_P/С_V методом Клемана и Дезорма

 

Цель работы: определить отношение C_P/C_V для воздуха, изучить адиабатический и другие процессы в газах.

Приборы и принадлежности: стеклянный баллон, водяной манометр, осушитель, насос.

Теория метода

Стеклянный баллон (рис. 4.1) наполнен воздухом при атмосферном давлении. С помощью насоса в баллон через осушитель накачивается дополнительная порция воздуха, пока разность уровней воды в манометре М не составит 25–30 см. Кран K закрывается и через некоторое время температура газа в баллоне сравняется с температурой окружающей среды, разность уровней перестанет меняться и будет равной h₁.

Выделим в сосуде некоторое количество z воздуха (объем V₁) и рассмотрим про­цессы, которые с ним происходят. Первое состояние характеризуется параметрами P₁, V₁, T₁, где P₁ = Р₀ + rgh₁. Откроем и быстро закроем кран К так, чтобы давление в бал­лоне сравнялось с атмосферным. Часть газа из баллона (но не из объема V₁) выйдет через кран. Так как процесс расширения выбранного нами количества воздуха происходит быстро, а процесс теплообмена с окружающей средой, благодаря малой теплопроводности стенок баллона, идет медленно, этот процесс можно считать адиабатическим. Температура газа при этом уменьшается.

Второе состояние характеризуется параметрами Р₀, V₂, Т. Далее за счет теплооб­мена с окружающей средой газ медленно нагревается до тех пор, пока его температура не сравняется с температурой окружающей среды. Разность уровней в манометре не перестанет меняться и станет равной h₂.

Третье состояние характеризуется параметрами Р₂, V₂, Т₀, где Р₂ = Р₀ + rgh₂. Разность давлений P₁ – Р₀ и P₂ – Р₁ во много раз меньше атмосферного давления. Действительно, атмосферному давлению соответствует высота водяного столба, при­мерно равная 10³ см, а указанные разности не превышают 30 см. Поэтому для упроще­ния вычислений с этими разностями можно обращаться как с бесконечно малыми дифференциалами. То же относится и к изменению объема выделенной порции газа.

Напишем первое начало термодинамики:

 

dQ = zC_VdT + PdV, (4.1)

где z – число молей газа.

 

Для адиабатического перехода из состояния 1 в состояние 2 dQ = 0, значит

zC_VdT + PdV = 0. (4.2)

 

Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона

 

PdV + VdP = zRdT.

 

Найдем dT и подставим в формулу (4.2). Получим

,

откуда

, (4.3)

где – показатель адиабаты.

Это уравнение адиабатического процесса в дифференциальной форме, его реше­ние дает формула Пуассона. Учитывая сказанное ранее о разностях давлений и объемов, окончательно запишем:

 

gР(V₂ – V₁) +V(P₀ – P₁) = 0. (4.4)

 

В состояниях 1 и 3 температуры газа одинаковы, поэтому, как это следует из уравнения Менделеева-Клапейрона, Р₁V₁ = Р₂V₂, т. е. PV = const. Продифференцируем это выражение PdV + VdP = 0 и перейдем к разностям объемов и давлений

Р(V₂ – V₁) +V(P₂ – P₁) = 0. (4.5)

 

Решая совместно уравнения (4.3) и (4.5) относительно g, получим уравнение

.

В результате получается расчетная формула для определения С_Р/С_V:

. (4.6)

Порядок выполнения работы

1. Накачать в сосуд воздух. После установления равновесия измерить разность уровней воды в манометре h₁.

2. Открыть и быстро закрыть кран К. После установления равновесия измерить разность уровней в манометре h₂.

3. Проделать 10 измерений, вычислить среднее значение С_Р/С_V, абсолютную и относительную погрешности.

Контрольные вопросы

1. Какие процессы имеют место в эксперименте?

2. Почему С_Р > С_V?

3. Как теоретически определить С_Р/С_V?

4. Почему экспериментальные результаты систематически меньше теоретически вы­численной величины?

Литература

1. Яковлев, В.Ф. Курс физики. Теплота и молекулярная физика / В.Ф. Яковлев. М., 1976, §§7, 19–23, 37.

2. Сивухин, Д. В. Курс физики. Т. 2 / Д. В. Сивухин. М.: «Наука», 1986, §§20–22.

 

Лабораторная работа № 5