Механические и электромагнитные колебания

· Уравнение гармонических колебаний

,

где х – смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А – амплитуда колебаний; ω = 2π/ T = 2πn – круговая (циклическая) частота; n = 1/ T – частота, Т – период колебаний; φ – начальная фаза.

· Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

; .

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m

Потенциальная энергия

Полная энергия

E = mA ²w₀²/2.

Период колебаний пружинного маятника

,

где m – масса пружинного маятника, k – жесткость пружины.

Период колебаний физического маятника

,

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний, l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

Период колебаний математического маятника длиной l

.

· Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

· Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты , :

· Уравнение затухающих колебаний

,

где – частота затухающих колебаний, β – коэффициент затухания.

· Логарифмический декремент затухания

,

где A (t) и A (t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, τ=1/β – время релаксации, N_е – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

· Добротность колебательной системы

.

· Амплитуда вынужденных колебаний и резонансная частота

; .

· Период собственных колебаний электрического колебательного контура, сопротивление которого R = 0, индуктивность L, емкость C (формула Томсона)

.

· Полная энергия колебательного контура

.

· Частота затухающих электромагнитных колебаний

.

 

Упругие и электромагнитные волны

· Уравнение упругой плоской волны, распространяющейся вдоль оси Ох

,

где ξ - смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; v – фазовая скорость распространения колебаний в среде, k = 2π/λ = ω/v– волновое число λ = v T – длина волны.

· Связь разности фаз ∆φ колебаний с расстоянием ∆ x между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;

.

· Скорость и длина электромагнитных волн в веществе

, ,

где c, λ₀ – скорость и длина электромагнитных волн в вакууме, – показатель преломления вещества.

· Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Ох,

E = E _mcos(ω t – kx);

H = H _mcos(ω t – kx).

· Связь между модулями векторов Е и Н в бегущей волне

.

· Интенсивность плоской бегущей электромагнитной волны

.

 

Примеры решения задач

Пример 4.1. Материальная точка массой m = 5 г совершает гармонические колебания с частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний A = 3 см. Определить:

1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см;

2) максимальную силу F_mах , действующую на точку;

3) полную энергию Е колеблющейся точки.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

, (1)

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

. (2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого выразим из уравнений (1) и (2):

.

Учитывая, что , получим

, или .

Решив последнее уравнение относительно v, найдем

.

Выполнив вычисления по этой формуле, получим v = ± 8,2 см/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус – когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

2. Силу, действующую на материальную точку, найдем по второму закону Ньютона:

, (3)

где а – ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

,

или

.

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

.

Сила максимальна, когда , то есть

.

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, m и А, найдем F _mах = 1,49 мН.

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Т _mах:

. (4)

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив :

.

Подставив выражение скорости в формулу (4), найдем

.

Произведя вычисления, получим

.

Пример 4.2. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень. Определить длину стержня l, если частота колебаний маятника максимальна, когда точка подвеса О находится от центра масс С на расстоянии а = 20,2 см.

Решение. Циклическая частота колебаний физического маятника

, (1)

где m – масса маятника, I – момент его инерции, a – расстояние от центра масс до точки подвеса.

Согласно теореме Штейнера момент инерции стержня относительно точки подвеса, отстоящей от центра масс на расстоянии а?

. (2)

Подставив (2) в (1), получим

. (3)

Найдем экстремум функции (3)

,

откуда

l ² – 12 а ² = 0,

т.е. искомая длина маятника l = . Вычисляя, получим l = 70 см.

Пример 4.3. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых , где А₁ = 1 см, А₂ = 2 см, ω = π с^–1 . Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений. Для этого воспользуемся формулой

В данном случае поэтому

.

Так как по условию то уравнение траектории

(1)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений в условии задачи следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от –1 до +1 см по оси Ох и от –2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (1) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию │ х │≤ 1 см, и составим таблицу:

х, см	–1	–0,75	–0,5		0,5
у, см		±0,707	±1	±1,41	±1,73	±2

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2).

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент t = 0 координаты точки равны х (0) = 1 см и у (0) = 2 см. В последующий момент времени, например при t ₁= 1 c, координаты точек изменятся и станут равными х (1) = –1 см, у (t) = 0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указатьнаправление движения точки по траектории. На рисунке это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того, как в момент t ₂ = 2c колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Пример 4.4. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется со временем по закону . Электроемкость конденсатора С = 0,5 мкФ. Определить период собственных колебаний, индуктивность, энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности.

Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону

,

где – амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора; w₀ – собственная циклическая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением

.

Отсюда находим

.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона , откуда .

Определим индуктивность .

Полная энергия контура равна сумме энергий электрического и магнитного полей

,

и равна либо максимальной энергии поля конденсатора ,

либо максимальной энергии катушки индуктивности .

.

Зная полную энергию, можно определить максимальную силу протекающего по катушке индуктивности тока:

Пример 4.5. Тело совершает колебания с частотой n = 50 Гц. Логарифмический декремент затухания λ равен 0,01. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; 2) число полных колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Решение. Амплитуда затухающих колебаний

, (1)

где А ₀ – амплитуда колебаний в момент t = 0, β – коэффициент затухания.

Логарифмический декремент затухания λ = b Т (Т = 1/n– условный период затухающих колебаний). Тогда β = λn и выражение (1) можно записать в виде

,

откуда искомое время

Число искомых полных колебаний

N = t / T = t n.

Вычислив, получим 1) t = 6с; 2) N = 300.

Пример 4.6. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 25 мГн, конденсатора емкостью С = 10 мкФ и резистора. Определить сопротивление резистора, если известно, что амплитуда тока в контуре уменьшилась в е раз за 16 полных колебаний.

Решение. Число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды силы тока в е раз

N _e = τ/ T,

где τ = 1/b – время релаксации, T = 2π / – условный период затухающих колебаний ( – собственная частота контура, – коэффициент затухания).

Подставляя эти выражения в (1), получим

.

Отсюда искомое сопротивление:

.

Вычисляя, получим R = 0,995 Ом.

Пример 4.7. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью v = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x₁ =12 м и х₂ = 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз ∆ φ = 0,75 π. Определить длину волны l, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t = 1,2 c, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.

Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны l, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии ∆ х, колеблются с разностью фаз, равной

.

Решая это равенство относительно l, получаем

. (1)

Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, получим

Для того чтобы написать уравнение плоской волны, надо определить циклическую частоту ω. Так как , l = v T,то .

Произведем вычисления:

Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту ω и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

, (2)

где A =0,1 м, ω= 5π с^-1, v =20 м/с.

Чтобы найти смещение x указанных точек, достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:

;

.

Пример 4.8. Определить энергию, переносимую плоской синусоидальной электромагнитной волной, распространяющейся в вакууме, за t = 1 с через поверхность площадью S_пл = 1м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны Е₀ = 5 мВ/м. Период волны Т<<t.

Решение. Плотность потока энергии (или интенсивность излучения) электромагнитных волн, т. е. количество энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, определяется вектором Пойнтинга

,

где и – векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне.

Учитывая, что , получим для модуля вектора

S = EH..

Так как величины и вкаждой точке электромагнитной волны меняются cо временем по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение величины S равно

. (1)

Таким образом, величина S является функцией времени. Согласно определению плотности потока энергии, имеем

(2)

где – энергия, переносимая волной через площадку S _плза время .

Из выражений (2) и (1) получим выражение для энергии, переносимой за бесконечно малый промежуток времени dt:

. (3)

Для определения dW необходимо знать величину H ₀, которая может быть найдена из соотношения

.

Отсюда

.

По условию, , тогда

. (4).

Подставляя (4) в (3), получим

.

Энергию, переносимую волной за время t, найдем интегрированием полученного выражения

.

По условию задачи T << t, или 2π/w << t, 2π << w t. При очень больших значениях w t вторым слагаемым в скобке можно пренебречь – значения синуса при любом аргументе не превосходят единицу, а в знаменателе стоит очень большая величина. Тогда

.

Подставляя числовые значения, получим .

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

 

ВАРИАНТ 1

 

1. Амплитуда гармонических колебаний точки А = 5 см, амплитуда скорости v_max = 7,85 см/c. Вычислить циклическую частоту ω колебаний и максимальное ускорение a _max точки.

2. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях. Уравнения колебаний х = А cos ω t и y = А cos (ω t + φ). Определить уравнение траектории точки. Принять A = 2 см, φ = π/2.

3. Материальная точка, масса которой m = 10 г, осуществляет гармонические колебания по закону косинуса с периодом Т = 2 си начальной фазой φ = 0. Полная механическая энергия точки Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду колебаний А и записать закон движения точки. Вычислить максимальное значение F _max силы, которая действует на точку.

4. Груз массой m = 500 г, подвешенный к спиральной пружине жесткостью k = 20 Н/м, совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания колебаний l = 0,004. Определить количество N полных колебаний, которые может совершить груз, чтобы энергия колебаний уменьшилась в п = 2 раза. За какое время D t состоится это уменьшение?

5. Плоская гармоническая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты ν = 200 Гц и распространяется вдоль оси ОХ. Амплитуда колебаний точек источника ξ₀ = 4 мм. Написать уравнение колебаний источника ξ (0, t), если в начальный момент времени смещения точек источника было максимальным. Определить смещение точек среды, которые находятся на расстоянии х = 100 см от источника, в момент времени t = 0,1 с. Скорость звуковой волны принять v = 340 м/с. Затуханием пренебречь.

6. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 8 пФ и катушку индуктивностью L = 0,5 мГн. Каково максимальное напряжение U _max на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре I _max = 40 мА?

7. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой описывается уравнением

E = e _y E _m cos (ω t – kx), где e _y – орт оси ОY, E _m = 160 В/м, k = 0,51 м^-1. Определить напряженность магнитного поля Н волны в точке с координатой х = 7,7 м в момент времени t = 33 нс.

 

ВАРИАНТ 2

 

1. Точка совершает колебания по закону синуса с периодом Т = 12 с. В некоторый момент времени смещения х точки равнялось 1 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, скорость v точки стала равняться π/6 см/с. Определить амплитуду А колебаний.

2. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, которые происходят в взаимно перпендикулярных направлениях по уравнениям: х = А ₁ cos ω t и y = А ₂ sin ω t. Определить уравнение траектории точки. Принять: А ₁ = 3 см, А ₂ = 1 см.

3. Материальная точка, масса которой m = 50 г, совершает колебания по закону , где х дано в сантиметрах, а аргумент синуса – в радианах. Определить максимальные значения силы F _max, возвращающей точку в положение равновесия, и кинетической энергии W _{к max}.

4. Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент l затухания системы.

5. Плоская звуковая волна имеет период Т = 3 мс, амплитуду ξ₀ = 0,2 мм и длину волны λ = 1,2 м. Найти скорость точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние х = 2 м, в момент времени t = 7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

6. Колебательный контур имеет такие параметры: резонансная частота

ν_рез = 600 кГц, емкость конденсатора С = 350 пФ, активное сопротивление R = 15 Ом. Определить добротность контура.

7. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности магнитного поля которой Н _m = 0,1 А/м. Определить интенсивность волны.

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Точка, которая совершает гармонические колебания по закону x = A cos (ω t + φ) см, в определенный момент времени t ₁ имеет смещение x ₁ = 4 см, скорость v₁= 5 см/c и ускорение a ₁ = – 80 см/c². Определить амплитуду А и период Т колебаний точки; фазу колебаний ω t + φ в момент времени, который рассматривается; максимальные скорость v_max и ускорение a _max точки.

2. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, которые выражаются уравнениями х = А ₁ sin ω t и y = А ₂ cos ω(t + τ), где A ₁ = 2 см, A ₂ = 1 см, ω = π с^–1 , τ = 0,5 с. Найти уравнение траектории.

3. Брусок, масса которого m = 0,5 кг, лежит на гладком столе. Он соединен горизонтальной пружиной жесткостью k = 32 H/мсо стеной. В начальный момент времени пружину сжали на x ₀ = 1 см и отпустили. Установить закон движения бруска. Трением пренебречь.

4. Логарифмический декремент l затухания маятника равен 0,01. Определить число N полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды в 3 раза.

5. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура с скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура 5 см, период колебаний 1 с. Записать уравнение волны и определить: 1) длину волны, 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, которая удалена на расстояние 9 м от источника колебаний в момент времени t ₁ = 2,5 с.

6. На какую длину волны λ будет резонировать контур, который состоит из катушки индуктивностью L = 4 мкГн и конденсатора электроемкостью С = 1,11 нФ?

7. Чему равны амплитуды напряженностей E _m и H _m электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в воздухе в фокусе излучения лазера, где интенсивность I = 10¹⁴ Вт/см²?

 

ВАРИАНТ 4

 

1. Точка совершает колебания по закону x = A cos (ω t + φ), где А = 4 см. Определить начальную фазу φ, если: а) х (0) = 2 см, v(0) < 0; б) х (0) = – 2 см, v(0) < 0; в) х (0) = 2 см, v(0) > 0; г) х (0) = – 2 см, v(0) > 0. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

2. Два гармонических колебания одинаковых амплитуд и периодов, которые направлены по одной прямой, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз ∆φ складываемых колебаний.

3.Гвоздь забит в стену горизонтально. На него подвешен тонкий обруч, который колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча R = 30 см. Вычислить период T колебаний обруча.

4. Амплитуда затухающих колебаний за время t ₁ = 20с уменьшилась в два раза. Во сколько раз она уменьшится за время t ₂ = 1 мин?

5. От источника колебаний распространяется гармоническая волна вдоль оси ОХ. Амплитуда ξ₀ колебаний равняется 10 см. Каким будет смещение точки, удаленной от источника на х = 3/4 λ, в момент, когда от начала колебаний прошло время t = 0,9 Т?

6. Индуктивность L колебательного контура равняется 0,5 мГн. Какова должна быть электроемкость С контура, чтобы он резонировал на длину волны λ = 300 м?

7. Электромагнитная волна с частотой ν = 4 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью ε = 3 в вакуум. Определить увеличение ее длины волны.

 

ВАРИАНТ 5

 

1. Точка совершает колебания по закону х = А sin (ω t + φ), где А = 4 см. Определить начальную фазу φ, если: х (0) = –2 см и v(0) > 0. Построить векторную диаграмму для момента t = 0.

2. Вычислить возвращающую силу F в момент времени t ₁ = 1,25 c и полную механическую энергию Е материальной точки, масса которой m = 10г, а колебания осуществляются по закону ,м.

3. Тонкий стержень, подвешенный за конец, совершает колебания с такой же частотой, что и математический маятник длиной l = 1 м. Чему равна длина стержня?

4. Добротность колебательной системы Q = 3, частота свободных колебаний ω = 150 с ^{– 1}. Определить собственную частоту ω₀ колебаний системы.

5. Определить интенсивность звука (Вт/м²), если уровень громкости его

L = 67 дБ. Интенсивность звука на пороге слышимости I ₀ = 10^–12 Вт/м².

6. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора q _m = 10 ^–6 Кл, амаксимальная сила тока I _m = 10А, определить длину волны, на которую резонирует контур.

7. Электромагнитная волна имеет частоту ν = 4∙10¹⁴ Гц, длину в некотором веществе λ = 0,1 мкм. Какова скорость распространения волны в этом веществе? Чему равен показатель преломления вещества? Какой будет длина волны после перехода ее в воздух?

 

ВАРИАНТ 6

 

1. Максимальная скорость точки, которая совершает гармонические колебания, равняется 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с². Определить круговую частоту ω колебаний, их период T и амплитуду A.

2. Определить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания, которое получится при сложении двух колебаний одинакового направления и периода: х ₁ = А ₁ sin ω t и х ₂ = А ₂ sin ω (t + τ), где А ₁ = А ₂ = 1 см; ω = π с^–1, τ = 0,5 с.

3. Айсберг в виде прямой призмы колеблется вдоль вертикальной оси. Определить период Т малых колебаний айсберга, если высота его надводной части h = 100 м.

4. Тело, масса которого m = 1 кг, совершает колебания под действием упругой силы (k = 10 Н/м). Определить коэффициент сопротивления r вязкой среды, если период затухающих колебаний T = 2,1 с.

5. Звуковые колебания с частотой ν = 450 Гц и амплитудой ξ₀ = 0,3 мм распространяются в воздухе. Длина волны λ = 80 см. Чему равняется средняя энергия, которая переносится волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению волны? Плотность воздуха ρ = 1,29 кг/м³.

6. Емкость конденсатора колебательного контура С = 7 мкФ, индуктивность его катушки L = 0,23 Гн, сопротивление R = 40 Ом. Конденсатору сообщили заряд q ₀ = 0,56 мКл и присоединили его к катушке. Определить период колебаний, логарифмический декремент затухания и записать закон изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.

7. В колебательном контуре индуктивность катушки можно изменять от 50 до 500 Гн, а емкость конденсатора от 10 до 1000 пФ. Какой диапазон длин волн можно получить при настройке такого контура?

 

ВАРИАНТ 7

 

1. Материальная точка, масса которой m = 10 г, осуществляет гармонические колебания по закону косинуса с периодом Т = 2 си начальной фазой φ = 0. Полная механическая энергия точки Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду колебаний А и записать закон движения точки. Вычислить максимальное значение F _max силы, которая действует на точку.

2. Математический маятник длиной l ₁ = 40 см и физический маятник в виде тонкого стержня длиной l ₂ = 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние от центра масс стержня до оси колебаний.

3. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t ₁ = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t ₂ амплитуда уменьшится в восемь раз?

4. Груз массой m = 0,5 кг подвешен на пружине, жесткость которой k = 0,49 Н/см, и помещен в масло. Коэффициент сопротивления движению в масле r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вертикальная возмущающая сила, которая изменяется по закону F = 0,98 sinω t,Н.При какой частоте возмущающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной? Чему она равняется?

5. Определить скорость υ распространения волны в упругой среде, если разность фаз ∆φ колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на ∆ х = 10 см, равняется π/3. Частота колебаний n = 25 Гц.

6. Сила тока в колебательном контуре, который содержит катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, с течением времени изменяется по уравнению I = – 0,1 sin 200π t. Определить: 1) период колебаний, 2) емкость конденсатора, 3) максимальное напряжение на обкладках конденсатора, 4) максимальную энергию магнитного поля, 5)максимальную энергию электрического поля.

7. В вакууме вдоль оси ОХ распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Определить среднюю энергию, которая проходит за t = 1 мин через площадку S = 0,5 м², размещенную перпендикулярно направлению распространения волны.

 

ВАРИАНТ 8

 

1. Определить максимальные значения скорости v_max и ускорения a _max точки, которая совершает гармонические колебания с амплитудой A = 3 см и круговой частотой ω = π/2 с^–1.

2. Материальная точка массой m = 50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид х = А cos ω t, где А = 10 см, ω = 5 с^–1 . Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: 1) в момент, когда фаза ω t = π/3; 2) в положении наибольшего смещения точки.

3. Груз подвешен на пружине, жесткость которой k = 0,1 Н/м, и погружен в среду с коэффициентом сопротивления r = 0,05 кг/с. Масса груза m = 1 кг. Определить добротность Q колебательной системы.

4. Шарик массой m = 50 г колеблется на легкой нити, длина которой l = 1 м. Считая, что коэффициент сопротивления воздуха r = 0,1 кг/с, определить частоту собственных колебаний v ₀; резонансную частоту колебаний v _рез; резонансную амплитуду A _рез, если амплитудное значение возмущающей силы F ₀ = 0,01 Н.

5. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальном давлении равна 1,78 кг/м³.Определить скорость распространения звука в газе при этих условиях.

6. Напряжение на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону U = 30 cos 10³π t, B. Емкость конденсатора С = 0,3 мкФ. Определить период Т колебаний, индуктивность катушки L и установить закон изменения силы тока I (t) в контуре.

7. В вакууме вдоль оси ОХ распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Длина волны l = 31 м. Записать уравнение электромагнитной волны.

ВАРИАНТ 9

 

1. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение x _max точки равняется 10 см, наибольшая скорость x _max = 20 см/с. Определить круговую частоту ω колебаний.

2. В электронном осциллографе электронный луч отклоняется в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Колебания луча описываются уравнениями x = A sin 3ω t, y = A cos 2ω t. Построить траекторию светящейся точки на экране, соблюдая масштаб. Принять А = 4 см.

3. Однородный диск радиусом R = 30 см совершает колебания вокруг горизонтальной оси, которая проходит через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Определить период Т его колебаний.

4. Тело массой m = 0,1 кг подвешено на пружине жесткостью k = 10 H/м. Верхняя часть пружины находится под действием вертикальной силы F = 10^–3cos w t, H. Колебания происходят в вязкой среде. Определить максимальную силу трения F _{т max}, которая мешает движению, если при резонансе амплитуда А _рез = 0,1 м.

5. Плоская звуковая волна имеет период Т = 3 мс, амплитуду ξ₀ = 0,2 мм и длину волны λ = 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние х = 2 м, найти смещение ξ (х, t) в момент t = 7 мс. Начальная фаза колебаний равна нулю.

6. Емкость конденсатора колебательного контура С = 1 мкФ, индуктивность его катушки L = 10 мГн. Какое активное сопротивление R необходимо ввести в контур, чтобы его собственная частота колебаний уменьшилось на 0,01%?

7. Электромагнитные волны распространяются в однородной среде со скоростью 2∙10⁸ м/с. Какую длину волны имеют электромагнитные волны в этой среде, если их частота 1 МГц?

ВАРИАНТ 10

 

1. Груз массой m = 0,1 кг, подвешенный на спиральной пружине, растягивает ее на Δ x = 0,1 мм. Какую амплитуду A будут иметь колебания груза, если полная механическая энергия Е = 1 Дж?

2. Однородный диск радиуса R = 30 см совершает колебания вокруг горизонтальной оси, которая проходит через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска. Определить период Т его колебаний.

3. Груз, масса которого m = 0,1 кг, подвешен на вертикальной пружине жесткостью k = 10 Н/м. Сила сопротивления движения пропорциональна скорости, коэффициент пропорциональности r = 0,87 кг/с. Груз оттянули на x _mах = 2 см от положения равновесия и отпу