Элементы квантовой физики атомов, физики твёрдого тела и атомного ядра

 

Основные ЗАКОНЫ И формулы

Элементы квантовой механики

● Длина дебройлевской волны частицы с импульсом р

где m –масса частицы, v – ее скорость.

● Импульс частицы и его связь с кинетической энергией:

а) в классическом приближении (v<<c) ; ,

б) в релятивистском случае ; ,

где – масса покоя частицы; – релятивистская масса; – скорость частицы; – скорость света в вакууме; – энергия покоя частицы

● Соотношение неопределенностей:

а) , (для координаты и импульса);

где – неопределенности проекции импульса на ось х; Δ x – неопределенность координаты, – постоянная Планка.

б) , (для энергии и времени),

где – неопределенность энергии данного квантового состояния; – время пребывания системы в данном энергетическом состоянии.

● Вероятность нахождения частицы в объеме d V

d W = y y^* d V = |y|² d V,

где y = y (x,y,z) – координатная часть волновой функции, y^* – функция, комплексно сопряженная с y, |y|² = y y^* – квадрат модуля волновой функции.

· Вероятность обнаружения частицы в интервале от х ₁ до х ₂:

.

· Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,

где – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; E – полная энергия; – потенциальная энергия частицы.

· Решение уравнения Шредингера для одномерной, бесконечно глубокой, прямоугольной потенциальной ямы:

а) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии частицы),

где n – квантовое число, номер энергетического уровня, n = 1, 2, 3, …; l – ширина потенциальной ямы.

· Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l

.

 

Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

· Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в металле

,

где < N (E)> – среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е; k – постоянная Больцмана; T– термодинамическая температура, E _F – энергия Ферми.

При Т = 0 К

.

· Характеристическая температура Дебая (при T << T _D)

,

где w_D – предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

· Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где g₀ – постоянная, характерная для данного полупроводника, D Е – ширина запрещенной зоны.

 

Элементы физики атомного ядра

· Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

,

где – зарядовое число (число протонов); – число нейтронов.

· Энергия связи нуклонов в ядре

E _св = [ Zm _p + (A – Z) m _n – m _я ] c ² = [ Zm _H + (A – Z) m _n – m _а] c ²,

где m _p, m _n, m _я, – соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z – зарядовое число ядра (число протонов в ядре); А – массовое число; m _H – масса атома водорода; m _а – масса атома.

· Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + d t

.

· Закон радиоактивного распада:

,

где – число ядер, распадающихся за интервал времени ; – число ядер, не распавшихся к моменту времени ; – число ядер в начальный момент ; – постоянная радиоактивного распада.

· Число ядер, распавшихся за время :

.

В случае если промежуток времени , за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада , то число распавшихся ядер можно определить по формуле

.

· Связь периода полураспада с постоянной радиоактивного распада:

.

· Среднее время t жизни радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в раз:

.

· Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где – масса изотопа; – молярная масса; – постоянная Авогадро.

· Активность нуклида

.

· Правила смещения:

для a -распада ,

для b ^– -распада .

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 6.1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U₁ = 51 B; 2) U₂ = 0,51 МВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

, (1)

где h = 6,63∙10 ^–34 Дж∙с – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя, Т << E₀) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частиц, T ≈ E ₀):

в нерелятивистском случае

(2)

где – масса покоя частицы.

в релятивистском случае

(3)

где – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

в нерелятивистском случае

(4)

в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U ₁= 51 B и U ₂ = 0,51 МВс энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U

T = | e | U.

В первом случае T ₁ = 51 эВ = 0,51∙10 ^–4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е ₀ = m ₀ c ² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Вычисляя, получаем λ₁ = 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия T ₂ = 0,51 МэВ равна энергии покоя электрона. В этом случае имеем дело с релятивистской частицей, необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что , по формуле (5) находим

или, учитывая, что h / m ₀ c = 2,43 пм есть комптоновская длина волны электрона, получим λ₂ = 1,4 пм.

Пример 6.2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным 10 ^–15 м.

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается формулой

,

где: Δ х – неопределенность координаты; Δ р _х – неопределенность импульса; h – постоянная Планка.

Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т.е.

Δ х = R _я, то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом: Δ р _х = h /(2π Δ х).

Так как , то и . Вычислим неопределенность скорости электрона:

Сравнивая полученное значение Δv_x со скоростью света в вакууме c = 3∙10⁸ м/с, видим, что , а это невозможно, следовательно, ядра не могут содержать электронов.

Пример 6.3. Электрон в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 200 пм с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 4). Определить 1) минимальную энергию электрона; 2) вероятность W обнаружения электрона в первой четверти ямы.

Решение. Собственные значения энергии электрона, находящегося на

n -м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

,

где m = 9,11∙10 ^–31 кг – масса электрона, = 1,05∙10^–34 Дж∙с – постоянная Планка. Минимальную энергию электрон имеет при минимальном n, т.е. при n = 1:

.

Вероятность обнаружить частицу в интервале х ₁ < х < х ₂

, (1)

где – нормированная собственная волновая функция, соответствующая данному состоянию.

Возбужденному состоянию n = 4 отвечает собственная функция

. (2)

Согласно условию задачи (рис. 6.1) x ₁ = 0 и x ₂ = l /4. Поэтому, подставив (2) в (1), получим

.

Заменив sin²(4π x / l) = ½(1 – cos 8π x / l), запишем

Вычисляя, получим: 1) E _min = 1,5∙10^–18 Дж = 9,37 эВ; 2) W = 0,25.

Пример 6.4. Удельная проводимость кремниевого образца при нагревании от температуры t₁ = 0°C до температуры t₂ = 18°C увеличилась в 4,24 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где g₀ – постоянная, характерная для данного полупроводника, D Е – ширина запрещенной зоны.

Тогда

.

Или, прологарифмировав,

.

Откуда искомая ширина запрещенной зоны

.

Вычисляя, получаем D Е = 1,1 эВ.

 

Пример 6.5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

(1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому целесообразно пользоваться преобразованной формулой, в которую входит масса нейтрального атома:

откуда .

Выразив в равенстве (1) массу ядра, получим или . Замечая, что , где - масса атома водорода, окончательно находим

Подставив числовые значения масс, получим

.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии где с – скорость света в вакууме. Коэффициент пропорциональности может быть выражен двояко: или Если вычислять энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то . С учетом этого

(2)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (2), получим

.

Пример 6.6. Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона

²²²₈₆ Rn (период полураспада Т_1/2 = 3,82 сут) равна 1,5 г. Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 сут.

Решение. Начальная активность изотопа

A ₀ = l N ₀ ,

где l = (ln2)/ T _1/2 – постоянная радиоактивного распада; N ₀ – число ядер изотопа в начальный момент времени: N ₀ = m ₀ N _A/M, M – молярная масса радона (M = 222×10^–3кг/моль), N _A = 6,02×10²³ моль^–1 – постоянная Авогадро.

Учитывая эти выражения, найдем искомую активность изотопа:

.

Активность изотопа А = l N, где, согласно закону радиоактивного распада, – число нераспавшихся ядер в момент времени t. Учитывая, что А₀ = l N₀, найдем, что активность нуклида уменьшается со временем по закону

.

Вычисляя, получаем: 1) А ₀ = 8,54×10¹⁵ Бк; 2) А = 3,45×10¹⁵ Бк.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

ВАРИАНТ 1

 

1. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля l = 2,02 пм. Определить массу m частицы, если ее заряд численно равен заряду электрона.

2. Определить в электрон-вольтах максимальную энергию Е фонона, который может возбуждаться в кристалле NaCl, если характеристическая температура Дебая T _D = 320 К. Фотон какой длины волны λ обладал бы такой энергией?

3. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один нейтрон от ядра азота ¹⁴₇ N?

4. Определить промежуток времени τ, в течение которого активность А изотопа стронция ⁹⁰Sr уменьшится в k ₁ = 10 раз? В k ₂ = 100 раз? Период полураспада стронция Т _1/2 = 28 лет.

5. Какая энергия D Е выделяется при термоядерной реакции синтеза

²₁H + ³₁H → ⁴₂He + ¹₀n? Ответ дать в джоулях и электрон-вольтах.

а.е.м. а.е.м. а.е.м.

а.е.м.

 

ВАРИАНТ 2

 

1. Определить длину волны де Бройля l для: а) электрона, движущегося со скоростью v = 10⁶ м/с; б) атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре Т = 300 К; в) шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью v = 1 см/с.

2. Что такое фонон, каковы его свойства?

3. Энергия связи Е _св ядра кислорода ¹⁸₈ O равна 139,8 МэВ, ядра фтора ¹⁹₉ F - 147,8 МэВ. Определить, какую минимальную энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один протон от ядра фтора.

4. Определить массу m полония ²¹⁰ ₈₄Ро, активность которого А = 3,7∙10¹⁰ Бк. Период полураспада полония Т _1/2 = 138 сут.

5. Написать недостающие обозначения в реакциях:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Определить дебройлевскую длину волны λ шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью v = 100 м/с. Можно ли обнаружить волновые свойства такого шарика, и почему

2. Объяснить физический смысл энергии Ферми.

3. Определить энергию связи Е _св ядра изотопа лития ⁷₃Li.

4. Какая часть η начального числа ядер ⁹⁰Sr распадется за одни сутки и за 15 лет? Какая часть ζ останется через 10 лет и через 100 лет? Период полураспада стронция Т _1/2 = 28 лет.

5. Определить наименьшую энергию g-кванта, достаточную для осуществления реакции разложения дейтона g-лучами .

 

ВАРИАНТ 4

 

1. Определить квантовомеханическую неопределенность Δ v _x х -компоненты скорости частицы массой m = 1 г и электрона, если положение каждого из них определено с одинаковой ошибкой ∆ х = 10^–7м.

2. Пояснить физический смысл характеристической температуры Дебая.

3. Определить энергию связи Е _св ядра атома гелия ⁴₂He.

4. Вследствие последовательных радиоактивных распадов ядро урана превратилось в ядро свинца . Пользуясь таблицей Менделеева, определить сколько актов α-распада и β-распада при этом произошло.

5. При бомбардировке изотопа азота нейтронами получается изотоп углерода , который оказывается b - радиоактивным. Написать уравнения обеих реакций.

 

ВАРИАНТ 5

 

1. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность кинетической энергии этого электрона.

2. В германии с примесью бора энергия активации примесных атомов Δ Е _п = 0,01 эВ. Определить: 1) тип проводимости примесного полупроводника; 2) тип примесной фотопроводимости; 3) красную границу фотопроводимости.

3. Определить энергию связи Е _св ядра атома алюминия .

4. Определить постоянную радиоактивного распада λ ядра ⁵⁵Co, если за час распадается 4% начального числа ядер. Продукт распада стабильный.

5. Определить суточный расход ядерного горючего ²³⁵U в реакторе АЭС. Тепловая мощность станции равна Р = 10 МВт. Принять, что в одном акте деления выделяется энергия Q = 200 МэВ, а КПД станции равен η = 0,2 (20%).

 

ВАРИАНТ 6

 

1. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l. Определить, в каких точках интервала () плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова. Вычислить плотность вероятности для этих точек. Пояснить графически.

2. В чем смысл понятия «дырка» как носителя тока в полупроводнике? Существуют ли дырки вне полупроводника? Совпадают ли зоны проводимости для электронов и дырок в полупроводниках? Чему равна наименьшая энергия e_min образования пары электрон-дырка в собственном полупроводнике, проводимость которого возрастает в n = 2 раза при повышении температуры от T ₁ = 300 K до T ₂= 310 К?

3. Определить энергию связи Е _св ядер: а) ; б) . Какое из этих ядер более устойчиво?

4. За один год начальное количество радиоактивного препарата уменьшилось в 5 раз. Во сколько раз оно уменьшится за два года?

5. Определить энергию Е, которая высвободится при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро.

 

ВАРИАНТ 7

 

1. Электрон в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l находится в нижнем возбужденном состоянии. Какова вероятность обнаружения электрона в интервале l /4, равноудаленном от стенок ямы?

2. Определить ширину D Е запрещенной зоны теллура, если его электропроводность возрастает в n = 5 раз при повышении температуры от T ₁=300 K до T ₂= 400 K.

3. Определить энергию связи Е _св, приходящуюся на один нуклон в ядрах; a) ; б) .

4. Определить количество D N атомов, которые распались в m = 1 мг радиоактивного натрия ²⁴₁₁Na за время t ₁= 10 час. Период полураспада натрия Т _1/2= 15,3 час.

5. Определить энергию Q ядерной реакции: ⁴⁴₂₀Са +¹₁Н→⁴¹₁₉К+⁴₂He.

 

ВАРИАНТ 8

 

1. Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l находится в основном состоянии, которому соответствует энергия Е ₁ = 8,12 МэВ. Ширина ямы l = 5∙10^–15 м. Определить массу m частицы.

2. Кремниевый образец нагревают от 0 до 10 °С. Принимая ширину D Е запрещенной зоны кремния 1,1 эВ, определить, во сколько раз возрастет его удельная проводимость.

3. Энергия связи Е _св ядра, состоящего из двух протонов и одного нейтрона, равна 7,72 МэВ. Определить массу m _a нейтрального атома, имеющего это ядро.

4. Сколько атомов из N = 10⁶ атомов полония распадается за время t = 1 сут? Период полураспада полония Т _1/2 = 138 сут.

5. Определить энергию Q, выделяющуюся при реакции

 

ВАРИАНТ 9

 

1. Рассматривая приближенно ядро и атом как одномерные прямоугольные бесконечно глубокие потенциальные ямы для электронов и нуклонов, вычислить расстояние между основным и первым возбужденным уровнями в атоме Δ Е _а1,2 и ядре Δ Е _я1,2, полагая, что для атома l _а = 5∙10^–10 м, а для ядра l _я = 5∙10^–15 м.

2. Удельная проводимость кремния имеет значение σ₁ =19 См/м при температуре T ₁= 600 Kи σ₂ =4 095 См/м при T ₂= 1 200 K. Определить ширину D Е запрещенной зоны для кремния.

3. Определить массу m _a нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из трех протонов и двух нейтронов и энергия связи Е _св ядра равна 26,3 МэВ.

4. За время t =1 сут активность изотопа уменьшилась от А ₁ = 118 ГБк до А ₂ = 7,4 ГБк. Определить период полураспада T _1/2 этого нуклида.

5. Определить энергию Q, поглощающуюся при реакции

 

ВАРИАНТ 10

 

1. Электрон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U ₀ = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определить для этого барьера коэффициент прозрачности D.

2. В кремнии с примесью мышьяка энергия активации примесных атомов Δ Е _п = 0,05 эВ. Определить: 1) тип проводимости примесного полупроводника; 2) тип примесной фотопроводимости; 3) максимальную длину волны, при которой фотопроводимость еще возбуждается.

3. Определить энергию связи, приходящуюся на один нуклон Е _св/ A в ядрах; a) ⁷₃ Li; б) ¹⁴₇ N; в) ²⁷₁₃ А1; г) ⁴⁰₂₀ Са; д) ⁶³₂₉ Cu; e) ¹¹³₄₈ Cd; ж) ²⁰⁰₈₀ Hg; з) ²³⁸₉₂ U. Построить зависимость Е _св/ A = ƒ(А), где А – массовое число.

4. Определить постоянную распада λ радона, если известно, что число атомов радона уменьшается за время t = 1 сут на 18,2%.

5. Определить энергию Q, выделяющуюся при реакции: .

Приложения

 

I. Таблицы физических величин

 

1. Единицы физических величин (СИ)

Величина	Единица	Выражение через основные единицы
наименование	обозначение
Основные единицы
Длина	метр	м
Масса	килограмм	кг
Время	секунда	с
Сила электрического тока	ампер	А
Термодинамическая температура	кельвин	К
Количество вещества	моль	моль
Сила света	кандела	кд
Дополнительные единицы
Плоский угол	радиан	рад
Телесный угол	стерадиан	ср
Производные единицы
Частота	герц	Гц	с^–1
Сила, вес	ньютон	Н	м×кг×с^–2
Давление, механическое напряжение	паскаль	Па	м^–1×кг×с^–2
Робота, энергия, количество теплоты	джоуль	Дж	м^2×кг×с^–2
Мощность, поток энергии	ватт	Вт	м^2×кг×с^–3
Электрический заряд	кулон	Кл	с×А
Потенциал электрического поля, электрическое напряжение	вольт	В	м^2×кг×с^–3×А^–1
Электрическая емкость	фарад	Ф	м^–2×кг^–1×с^4×А^2
Электрическое сопротивление	ом	Ом	м^2×кг×с^–3×А^–2
Электрическая проводимость	сименс	См	м^–2×кг^–1×с^3×А^2
Магнитная индукция	тесла	Тл	кг×с^–2×А^–1
Магнитный поток	вебер	Вб	м^2×кг×с^–2×А^–1
Индуктивность	генри	Гн	м^2×кг×с^–2×А^–2
Световой поток	люмен	лм	кд×ср
Освещенность	люкс	лк	м^–2×кд×ср
Активность изотопа	беккерель	Бк	с^–1
Поглощенная доза излучения	грей	Гр	м^2×с^–2

 

2. Множители и приставки