Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Динамика материальной точки и поступательного движения твердого телаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
· Импульс материальной точки . · Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки) F = m a = , где F – результирующая сила, действующаяна материальную точку. · Силы, рассматриваемыев механике: а) сила тяжести ; б) сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения) , где F – сила взаимного притяжения двух материальных точек массами m 1 и m 2; G – гравитационная постоянная; r – расстояние между точками. в) сила упругости (закон Гука для продольного растяжения или сжатия) F x = – kx, или σ = ε Е, где F x – проекция упругой силы на ось х, k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость), х– деформация; σ = F упр / S – нормальное напряжение, S – площадь поперечного сечения, ε = x / l – относительная деформация, l – начальная длина тела, Е – модуль Юнга. г) сила трения скольжения F тр = m N, где m – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления. · Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел . · Работа, совершаемая постоянной силой, dA = F s ds = F ds cosα, где α – угол между направлением силы и перемещения. · Работа переменной силы на пути s . · Мгновенная мощность . · Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно, , или . · Потенциальная энергия: а) упруго деформированной пружины , б) гравитационного взаимодействия двух материальных точек , в) тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h , где g – ускорение свободного падения (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли). · Закон сохранения механической энергии (выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы) . · Работа A результирующей всех сил равна приращению кинетической энергии материальной точки: . · Работа A консервативных сил равна убыли потенциальной энергии материальной точки: . 1.4. Динамика вращения вокруг неподвижной оси · Момент инерции материальной точки относительно оси Оz Jz = mr 2, где m – масса материальной точки, r – расстояние от нее до оси Оz. · Момент инерции твердого тела относительно оси Оz где ri – расстояние i -го элемента массы m i до оси Оz.. В случае непрерывного распределения масс Моментыинерции некоторых тел правильной геометрической формы:
· Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера) , где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; т – масса тела. · Момент силы относительно оси вращения Oz M z = F ┴ l, где F┴ – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси Oz, l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). · Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения Oz , где Jz – момент инерции относительно оси вращения, ω – угловая скорость. · Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z , или где Мz – результирующий момент относительно оси Оz внешних сил, действующих на тело; ε – угловое ускорение; Jz – момент инерции твердого тела относительно оси вращения. · Если Мz = 0 (система замкнута), то имеет место закон сохранения момента импульса относительно оси Оz . · Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, . · Работа при вращательном движении , где – угол поворота тела. · Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости , где vc – скорость центра масс, J c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Релятивистская механика · Во всех задачах считается, что система отсчета К′ движется со скоростью v в положительном направлении оси Ох системы К, причем оси Ох ′ и Ох совпадают, а оси Оу ′ и Оу, а также Oz ′ и Oz параллельны. · Релятивистское сокращение длины стержня , где l 0 – длина стержня, измеренная в системе координат, относительно которой стержень покоится, l – длина стержня, измеренная в системе координат, относительно которой он движется со скоростью v. · Релятивистское замедление хода часов , где Δ t 0 – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы К ′, измеренный по часам этой системы (движущимся вместе с телом), Δ t – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы К, относительно которой тело движется со скоростью v. · Релятивистский закон сложения скоростей , где v′ – скорость тела относительно системы К ′; v0 – скорость системы К ′ относительно К, v – скорость тела относительно системы К. · Релятивистская масса и релятивистский импульс , , где m 0 – масса покоя. · Полная энергия релятивистской частицы E = mc 2 = m 0 c 2 + T, T = (m – m 0) c 2, где Т – кинетическая энергия частицы, m 0 c 2 = Е 0 – ее энергия покоя. · Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы E 2 = m 02 c 4 + p 2 c 2, p 2 c 2 = T (T – 2 E 0).
Примеры решения задач Пример 1.1. С башни в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 2 с после начала движения:1) скорость тела;2) радиус кривизны его траектории. Решение. Предположим, что через t = 2 с после начала движения тело находится в точке A. Проведем в этой точке по касательной к траектории вектор мгновенной скорости и разложим его на горизонтальную v x и вертикальную v y составляющие (рис. 1.2). Тело участвует в двух взаимно перпендикулярных движениях: равномерном прямолинейном движении вдоль оси Ох (со скоростью vx = v0) и свободном падении вдоль оси Оу (со скоростью vy = gt). Следовательно, скорость тела в точке А . Отметим, что для свободного полета полное ускорение всегда равно g – ускорению свободного падения. Разложим вектор g на нормальное a n и тангенциальное a τ ускорения. Из рисунка видно, что С другой стороны, a n = v2/ R, откуда . Вычисляя, получаем: 1) v = 22 м/с; 2) R = 109 м. Пример 1.2. Скорость материальной точки изменяется по закону ,(м/с), i и j – орты осей х и у. Определить в момент времени t = 2 c после начала движения:1) модуль перемещения; 2) модуль скорости; 3) модуль ускорения. Решение. Скорость материальной точкизадана в задаче как вектор v = vx i + vy j. Модуль вектора скорости равен Компоненты вектора скорости есть производные по времени от компонент радиус-вектора = vx i + vy j. Из соотношения следует, что . Аналогично находится Модуль перемещения . Ускорение определяется производной от вектора скорости по времени, то есть Модуль вектора а найдем по формуле . Подставив числовые значения, получим: Δ r = 28,5 м; = 40,1 м/с2. Пример 1.3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + Ct2, где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = – 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с. Решение. Все точки вращающегося тела описывают окружности. Полное ускорение a точки, движущейся по окружности, может быть найдено как векторная сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис. 1.1): a = a n + a τ. Так как векторы a n и a τ взаимно перпендикулярны, то модуль их суммы . (1) Используем формулы, выражающие связь линейных и угловых величин, , , где ω– модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения. Тогда (2) Модуль угловой скорости ω найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени: = B + 2 Ct. Для момента времени t = 4 с модуль угловой скорости ω = [20 + 2(–2)4] рад/с = 4 рад/с. Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени: = 2 С = – 4 рад/с2. Подставляя значения ω, ε и r в формулу (2), получаем a = м/с2 =1,65 м/с2. Пример 1.4. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой т = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь. Решение. Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы (тяжести и упругой деформации пружины), то для решения задачи можно применить закон сохранения механической энергии. Согласно ему полная механическая энергия системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е. , (1) где T 1, T 2, П 1 и П 2 – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях. Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид . (2) Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. , а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т. е. . Подставив выражения П 1 и П 2 в формулу (2), найдем . (3) Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим единицы их измерения: . Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1 Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления: . Пример 1.5. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Удар прямой,центральный, абсолютно упругий. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму? Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением (1) где Т 1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u 2 и Т 2 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. Как видно из формулы (1), для определения ε надо найти u 2. Так как удар шаров абсолютно упругий, то механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии, выполняются законы сохранения импульса и механической энергии: ; (2) (3) Здесь v – скорости тел до удара (v2 = 0), u – после удара. Решим совместно уравнения (2) и (3): Подставив выражение u 2 в формулу (1) и сократив на v1 и т 1, получим Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Пример 1.6. Сила тяги автомобиля изменяется с расстоянием по закону F = A + Bs + Cs2, где A = 1 кН, B = 0,5 кН/м, C = 0,3 кН/м2. Определить работу силы тяги на участке пути s = 10 м и среднюю мощность автомобиля, если разгон длился t = 2 с. Решение. Работа, совершаемая переменной силой, на пути s , где α – угол между направлениями силы и перемещения. Очевидно, что сила тяги действует вдоль перемещения, поэтому α = 0, cos α = 1. Интегрируя, получим . Подставляя числа, найдем А = 1,35×105 Дж. Средняя мощность, развиваемая автомобилем . Вычисляя, получим < N > = 67,5 кВт. Пример 1.7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами т1 = 100 г и т2 = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь. Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести mg и сила T натяжения нити. Напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на вертикаль. Для первого груза T 1 – m 1 g = m 1 a; (1) для второго груза . (2) Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведению момента инерции I диска на его угловое ускорение ε: M = I ε. (3) Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы Т′ 1 и Т′ 2, приложенные к ободу диска, равны соответственно силам Т 1 и Т 2, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, Т′ 2 >Т′ 1. Вращающий момент, приложенный к диску, М = (Т′ 2 –Т′ 1) r. Подставив в формулу (3) выражения М, углового ускорения ε = a / r, и момента инерции блока (сплошного диска) I = (½) mr 2, получим (Т′ 2 –Т′ 1) r = . (4) Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости и нерастяжимости нити, Т' 1 = Т 1, T' 2 = Т 2. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (4) вместо Т¢ 1 и Т¢ 2выражения Т 1и T 2, получив их предварительно из уравнений (1) и (2), . После сокращения на r и перегруппировки членов найдем . После подстановки числовых значений, получим а = 2,88 м/с2. Пример 1.8. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n1 = 480 мин-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент М сил трения. Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде , (1) где dLz – изменение проекции на ось Оz момента импульса маховика, вращающегося относительно оси Оz, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt; Mz – момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси Оz. Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M z = const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению . (2) При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса равно , (3) где Jz – момент инерции маховика относительно оси Оz; ∆ω – изменение угловой скорости маховика. Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим , откуда (4) Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле . Изменение угловой скорости ∆ω = ω2 – ω1выразим через конечную n 2 и начальную n 1 частоту вращения, пользуясь соотношением ω = 2 π n: . Подставив в формулу (4) выражения Jz и ∆ω, получим . (5) Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы (Н·м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы: . Подставим в (5) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая,что n1 = 480 мин-1= (480/60) с-1 = 8 с-1. Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие. Пример 1.9. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m1 = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n =10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой т2 = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения Oz, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа – человек остается постоянной: , (1) где Jz – момент инерции платформы с человеком относительно оси z, ω – угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии Jz = J 1 + J 2, а в конечном состоянии Jz ¢ = J 1¢ + J 2¢ С учетом этого равенство (1) примет вид , (2) где значения моментов инерции J 1 и J 2 платформы и человека, соответственно, относятся к начальному состоянию системы; J 1¢и J 2¢ – к конечному. Момент инерции платформы относительно оси Оz при переходе человека не изменяется: J 1 = J¢ 1 = ½ m 1 R2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J 2 в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J¢ 2 = m 2 R 2. Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2π n) и конечной угловой скорости (ω ' = v /R, где v – скорость человека относительно пола): . После сокращения на R 2 и простых преобразований находим скорость: . Произведем вычисления Пример 1.10. Определить, какая кинетическая энергия должна быть сообщена ракете массой m0 = 1,5 т, чтобы она приобрела скорость v = 120 Мм/с. Решение. Кинетическая э нергия ракеты T = (m – m 0) c 2, где . Из этих выражений получаем, что . Вычисляя, получаем Т = 1,23×1019 Дж.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
ВАРИАНТ 1
1. Начальная скорость частицы v 1 = 1 i + 3 j + 5 k (м/с), конечная – v 2 = 2 i + 4 j + 6 k (м/с). Определить: а) приращение скорости Δ v; б) модуль приращения скорости │Δ v │; в) приращение модуля скорости Δ v. 2. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями x 1 = A 1 + B 1 t + C 1 t 2, x 2 = A 2 + B 2 t + C 2 t 2, где A 1 = 20 м; A 2 = 2 м, В 1 = В 2 = 2 м/с; С 1 = 4 м/с2; С 2 = 0,5 м/с2. В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v 1 и v 2 и ускорения а 1 и а 2 точек в этот момент 3. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e = 3 рад/с2. Определить радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение точки на ободе колеса а = 7,5 м/с2. 4. Две одинаковых тележки массой M каждая движутся по инерции (без трения) друг за другом с одинаковой скоростью v0. B какой-то момент времени человек массой m, находящийся на задней тележке, прыгнул в переднюю со скоростью u относительно своей тележки. Определить скорость v передней тележки. 5. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент M. 6. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v =1,5 м/с. Определить путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути. 7. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета навстречу друг другу вдоль одной прямой со скоростями v1 = 0,6 с и v2 = 0,9 с. Определить их относительную скорость.
ВАРИАНТ 2
1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4 t 2 i + 3 t j + 2 k (м). Определить: 1) скорость точки v; 2) ускорение точки а; 3) модуль скорости точки в момент времени t = 2 с. 2. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n = 50 с-1, после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение e якоря. 3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m 1 = 1,5 кг и m 2 = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь. 4. Платформа с песком общей массой M = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если снаряд падает сверху вниз под углом α= 30° к горизонту со скоростью v= 450 м/с. 5. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение а центра диска. 6. Маховик, момент инерции которого J = 40 кг∙м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н∙м.. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную маховиком через t = 10 с. 7. Время жизни покоящегося мюона τ0 = 2,2 мкс. От точки рождения до детектора, зарегистрировавшего его распад, мюон пролетел расстояние l = 6 км. С какой скоростью v (в долях скорости света) двигался мюон?
ВАРИАНТ 3
1. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые t = 10 с достигает значения a = 5 м/с2. Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный точкой путь. 2. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин––1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. 3. Пуля массой т = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v= 0,5 км/с, попадает в подвешенный на тросах ящик с песком массой M = 6 кг и застревает в нем. Определить высоту h, на которую поднимется такой баллистический маятник, отклонившись после удара. 4. Тело массой m = 0,4 кг соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости высотой h = 10 см и длиной l = 1 м и, пройдя по горизонтальной плоскости некоторый путь, останавливается. Коэффициент трения на всем пути f = 0,04. Определить: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки. 5. На вращающейся вокруг вертикальной оси платформе стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения платформы. Платформа с человеком вращается с частотой n 1 = 1 с –1. С какой частотой n 2 будет вращаться платформа с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и платформы равен 6 кг×м2. 6. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через время t 2 = 25 с после начала движения, если через t 1 = 10 с после начала движения момент импульса L 1 маховика составлял 60 кг∙м2/с. 7. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.
ВАРИАНТ 4
1. Уравнение прямолинейного движения тела имеет вид х = At – Вt 2 + Сt 3 (A = 2 м/с, B = 3 м/с2, С = 4 м/с3). Записать выражения для скорости и ускорения. Определить для момента времени t = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение. 2. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением а t. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки u = 15 см/с. Определить нормальное ускорение а n точки через t = 16 с после начала движения. 3. Пуля массой т = 10 г, летящая горизонтально, попадает в подвешенный на тросах длиной l =1 м ящик с песком массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Такой баллистический маятник отклонился после удара на угол φ = 30°. Определить скорость пули. 4. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной l = 2 м, если масса груза m = 100 кг, угол наклона наклонной плоскости j = 30°, коэффициент трения f = 0,1, и груз движется с ускорением а = 1 м/с2. 5. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A + Bt 2 + Ct 3 (B = 2 рад/с2, C = –0,5 рад/с3). Определить момент вращающей силы M для t = 3 с. 6. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n 1 = 18 мин–1. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гантели. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J 1 = 3,5 кг∙м2 до J 2 = 1 кг∙м2. 7. Полная энергия тела возросла на ∆ Е = 1 Дж. На сколько при этом изменилась масса тела?
ВАРИАНТ 5
1. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии s = 40 м от основания вышки. Определить начальную v0 и конечную v скорости камня. 2. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение a t; 2) нормальное ускорение а n; 3) полное ускорение а. 3. Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиуса r = 1,2 м в течении времени t = 2 с. Найти изменение ∆р импульса точки. 4. Пуля массой т = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 200 м/с, попадает в подвешенный на тросах длиной l =1 м ящик с песком массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения φ такого баллистического маятника. 5. Сплошной цилиндр массой m = 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость центра масс цилиндра v = 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра. 6. На вращающейся вокруг вертикальной оси платформе стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения платформы. Платформа с человеком вращается с частотой n 1 = 12 мин–1. С какой частотой n 2 будет вращаться платформа с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и платформы равен 10 кг×м2. 7. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость v 0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике за время τ0 = 0,5 года по часам земного наблюдателя?
ВАРИАНТ 6
1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = Аt 2 i + Вt j + С k, где А = 2 м/с2; В = 5 м/с; С = 3 м. Определить: 1) скорость v; 2) ускорение а; 3) модуль скорости v в момент времени t = 4 с. 2. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j = At 2 (А = 0,5 рад/с2). Определить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное а t, нормальное а n и полное а ускорения. 3. По наклонной плоскости с углом наклона α = 30° к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения f = 0,15. 4. Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v= 0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой M = 10 кг, висящий на длинной нити, и застревает в нем. Определить: 1) высоту, на которую поднимется мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энергии, израсходованной на пробивание песка. 5. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. 6. Человек массой m = 60 кг, стоит на краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n 1 = 10 мин-1. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой n 2 будет вращаться платформа, если человек перейдет к ее центру. 7. Электрон движется со скоростью v = 0,6 с. Определить релятивистский импульс р электрона.
ВАРИАНТ 7
1. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от време
|
|||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 401; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 98.80.143.34 (0.014 с.) |