Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

· Импульс материальной точки

.

· Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

F = m a = ,

где F – результирующая сила, действующаяна материальную точку.

· Силы, рассматриваемыев механике:

а) сила тяжести

;

б) сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения)

,

где F – сила взаимного притяжения двух материальных точек массами m ₁ и m ₂; G – гравитационная постоянная; r – расстояние между точками.

в) сила упругости (закон Гука для продольного растяжения или сжатия)

F _x = – kx, или σ = ε Е,

где F _x – проекция упругой силы на ось х, k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость), х– деформация; σ = F _упр / S – нормальное напряжение, S – площадь поперечного сечения, ε = x / l – относительная деформация, l – начальная длина тела, Е – модуль Юнга.

г) сила трения скольжения

F _тр = m N,

где m – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

· Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел

.

· Работа, совершаемая постоянной силой,

dA = F _s ds = F ds cosα,

где α – угол между направлением силы и перемещения.

· Работа переменной силы на пути s

.

· Мгновенная мощность

.

· Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

, или .

· Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

,

б) гравитационного взаимодействия двух материальных точек

,

в) тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

,

где g – ускорение свободного падения (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

· Закон сохранения механической энергии (выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы)

.

· Работа A результирующей всех сил равна приращению кинетической энергии материальной точки:

.

· Работа A консервативных сил равна убыли потенциальной энергии материальной точки:

.

1.4. Динамика вращения вокруг неподвижной оси

· Момент инерции материальной точки относительно оси Оz

J_z = mr ²,

где m – масса материальной точки, r – расстояние от нее до оси Оz.

· Момент инерции твердого тела относительно оси Оz

где r_i – расстояние i -го элемента массы m _i до оси Оz.. В случае непрерывного распределения масс

Моментыинерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Момент инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню
Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m	Ось симметрии
Круглый однородный диск, цилиндр радиусом R и массой m	То же
Однородный шар радиусом R и массой m	Проходит через центр шара

 

· Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера)

,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; т – масса тела.

· Момент силы относительно оси вращения Oz

M _z = F _┴ l,

где F_┴ – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси Oz, l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

· Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения Oz

,

где J_z – момент инерции относительно оси вращения, ω – угловая скорость.

· Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z

, или

где М_z – результирующий момент относительно оси Оz внешних сил, действующих на тело; ε – угловое ускорение; J_z – момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

· Если М_z = 0 (система замкнута), то имеет место закон сохранения момента импульса относительно оси Оz

.

· Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

.

· Работа при вращательном движении

,

где – угол поворота тела.

· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости

,

где v_c – скорость центра масс, J _c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Релятивистская механика

· Во всех задачах считается, что система отсчета К′ движется со скоростью v в положительном направлении оси Ох системы К, причем оси Ох ′ и Ох совпадают, а оси Оу ′ и Оу, а также Oz ′ и Oz параллельны.

· Релятивистское сокращение длины стержня

,

где l ₀ – длина стержня, измеренная в системе координат, относительно которой стержень покоится, l – длина стержня, измеренная в системе координат, относительно которой он движется со скоростью v.

· Релятивистское замедление хода часов

,

где Δ t ₀ – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы К ′, измеренный по часам этой системы (движущимся вместе с телом), Δ t – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы К, относительно которой тело движется со скоростью v.

· Релятивистский закон сложения скоростей

,

где v′ – скорость тела относительно системы К ′; v₀ – скорость системы К ′ относительно К, v – скорость тела относительно системы К.

· Релятивистская масса и релятивистский импульс

, ,

где m ₀ – масса покоя.

· Полная энергия релятивистской частицы

E = mc ² = m ₀ c ² + T, T = (m – m ₀) c ²,

где Т – кинетическая энергия частицы, m ₀ c ² = Е ₀ – ее энергия покоя.

· Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

E ² = m ₀² c ⁴ + p ² c ², p ² c ² = T (T – 2 E ₀).

 

Примеры решения задач

Пример 1.1. С башни в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью v₀ = 10 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 2 с после начала движения:1) скорость тела;2) радиус кривизны его траектории.

Решение. Предположим, что через t = 2 с после начала движения тело находится в точке A. Проведем в этой точке по касательной к траектории вектор мгновенной скорости и разложим его на горизонтальную v _x и вертикальную v _y составляющие (рис. 1.2). Тело участвует в двух взаимно перпендикулярных движениях: равномерном прямолинейном движении вдоль оси Ох (со скоростью v_x = v₀) и свободном падении вдоль оси Оу (со скоростью v_y = gt). Следовательно, скорость тела в точке А

.

Отметим, что для свободного полета полное ускорение всегда равно g – ускорению свободного падения. Разложим вектор g на нормальное a _n и тангенциальное a _τ ускорения. Из рисунка видно, что

С другой стороны, a _n = v²/ R, откуда

.

Вычисляя, получаем: 1) v = 22 м/с;

2) R = 109 м.

Пример 1.2. Скорость материальной точки изменяется по закону ,(м/с), i и j – орты осей х и у. Определить в момент времени t = 2 c после начала движения:1) модуль перемещения; 2) модуль скорости; 3) модуль ускорения.

Решение. Скорость материальной точкизадана в задаче как вектор v = v_x i + v_y j. Модуль вектора скорости равен

Компоненты вектора скорости есть производные по времени от компонент радиус-вектора

= v_x i + v_y j.

Из соотношения следует, что

.

Аналогично находится

Модуль перемещения

.

Ускорение определяется производной от вектора скорости по времени, то есть

Модуль вектора а найдем по формуле

.

Подставив числовые значения, получим:

Δ r = 28,5 м; = 40,1 м/с².

Пример 1.3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = – 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение. Все точки вращающегося тела описывают окружности. Полное ускорение a точки, движущейся по окружности, может быть найдено как векторная сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис. 1.1):

a = a _n + a _τ.

Так как векторы a _n и a _τ взаимно перпендикулярны, то модуль их суммы

. (1)

Используем формулы, выражающие связь линейных и угловых величин,

, ,

где ω– модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.

Тогда

(2)

Модуль угловой скорости ω найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

= B + 2 Ct.

Для момента времени t = 4 с модуль угловой скорости

ω = [20 + 2(–2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2 С = – 4 рад/с².

Подставляя значения ω, ε и r в формулу (2), получаем

a = м/с² =1,65 м/с².

Пример 1.4. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой т = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы (тяжести и упругой деформации пружины), то для решения задачи можно применить закон сохранения механической энергии. Согласно ему полная механическая энергия системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

, (1)

где T ₁, T ₂, П ₁ и П ₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины,

т. е.

,

а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т. е.

.

Подставив выражения П ₁ и П ₂ в формулу (2), найдем

. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим единицы их измерения:

.

Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости

(1 Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

.

Пример 1.5. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Удар прямой,центральный, абсолютно упругий. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

(1)

где Т ₁ – кинетическая энергия первого шара до удара; u ₂ и Т ₂ – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения ε надо найти u ₂. Так как удар шаров абсолютно упругий, то механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии, выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

; (2)

(3)

Здесь v – скорости тел до удара (v₂ = 0), u – после удара. Решим совместно уравнения (2) и (3):

Подставив выражение u ₂ в формулу (1) и сократив на v₁ и т ₁, получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 1.6. Сила тяги автомобиля изменяется с расстоянием по закону F = A + Bs + Cs², где A = 1 кН, B = 0,5 кН/м, C = 0,3 кН/м². Определить работу силы тяги на участке пути s = 10 м и среднюю мощность автомобиля, если разгон длился t = 2 с.

Решение. Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

,

где α – угол между направлениями силы и перемещения. Очевидно, что сила тяги действует вдоль перемещения, поэтому α = 0, cos α = 1. Интегрируя, получим

.

Подставляя числа, найдем А = 1,35×10⁵ Дж.

Средняя мощность, развиваемая автомобилем

.

Вычисляя, получим < N > = 67,5 кВт.

Пример 1.7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами т₁ = 100 г и т₂ = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести mg и сила T натяжения нити. Напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на вертикаль. Для первого груза

T ₁ – m ₁ g = m ₁ a; (1)

для второго груза

. (2)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведению момента инерции I диска на его угловое ускорение ε:

M = I ε. (3)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы Т′ ₁ и Т′ ₂, приложенные к ободу диска, равны соответственно силам Т ₁ и Т ₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, Т′ ₂ >Т′ ₁.

Вращающий момент, приложенный к диску,

М = (Т′ ₂ –Т′ ₁) r.

Подставив в формулу (3) выражения М, углового ускорения ε = a / r, и момента инерции блока (сплошного диска) I = (½) mr ², получим

(Т′ ₂ –Т′ ₁) r = . (4)

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости и нерастяжимости нити,

Т' ₁ = Т ₁, T' ₂ = Т ₂.

Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (4) вместо Т¢ ₁ и Т¢ ₂выражения Т ₁и T ₂, получив их предварительно из уравнений (1) и (2),

.

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

.

После подстановки числовых значений, получим а = 2,88 м/с².

Пример 1.8. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n₁ = 480 мин^-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

, (1)

где dL_z – изменение проекции на ось Оz момента импульса маховика, вращающегося относительно оси Оz, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt; M_z – момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси Оz.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M _z = const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

. (2)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса равно

, (3)

где J_z – момент инерции маховика относительно оси Оz; ∆ω – изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим , откуда

(4)

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

.

Изменение угловой скорости ∆ω = ω₂ – ω₁выразим через конечную n ₂ и начальную n ₁ частоту вращения, пользуясь соотношением ω = 2 π n:

.

Подставив в формулу (4) выражения J_z и ∆ω, получим

. (5)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы (Н·м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

.

Подставим в (5) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая,что n₁ = 480 мин^-1= (480/60) с^-1 = 8 с^-1.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Пример 1.9. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m₁ = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n =10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т₂ = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения Oz, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа – человек остается постоянной:

, (1)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z, ω – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z = J ₁ + J ₂, а в конечном состоянии J_z ¢ = J ₁¢ + J ₂¢

С учетом этого равенство (1) примет вид

, (2)

где значения моментов инерции J ₁ и J ₂ платформы и человека, соответственно, относятся к начальному состоянию системы; J ₁¢и J ₂¢ – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси Оz при переходе человека не изменяется: J ₁ = J¢ ₁ = ½ m ₁ R². Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J ₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J¢ ₂ = m ₂ R ².

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2π n) и конечной угловой скорости (ω ' = v /R, где v – скорость человека относительно пола):

.

После сокращения на R ² и простых преобразований находим скорость:

.

Произведем вычисления

Пример 1.10. Определить, какая кинетическая энергия должна быть сообщена ракете массой m₀ = 1,5 т, чтобы она приобрела скорость

v = 120 Мм/с.

Решение. Кинетическая э нергия ракеты

T = (m – m ₀) c ²,

где .

Из этих выражений получаем, что

.

Вычисляя, получаем Т = 1,23×10¹⁹ Дж.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

ВАРИАНТ 1

 

1. Начальная скорость частицы v ₁ = 1 i + 3 j + 5 k (м/с), конечная – v ₂ = 2 i + 4 j + 6 k (м/с). Определить: а) приращение скорости Δ v; б) модуль приращения скорости │Δ v │; в) приращение модуля скорости Δ v.

2. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями x ₁ = A ₁ + B ₁ t + C ₁ t ², x ₂ = A ₂ + B ₂ t + C ₂ t ², где A ₁ = 20 м; A ₂ = 2 м, В ₁ = В ₂ = 2 м/с; С ₁ = 4 м/с²; С ₂ = 0,5 м/с². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v ₁ и v ₂ и ускорения а ₁ и а ₂ точек в этот момент

3. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e = 3 рад/с². Определить радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение точки на ободе колеса а = 7,5 м/с².

4. Две одинаковых тележки массой M каждая движутся по инерции (без трения) друг за другом с одинаковой скоростью v₀. B какой-то момент времени человек массой m, находящийся на задней тележке, прыгнул в переднюю со скоростью u относительно своей тележки. Определить скорость v передней тележки.

5. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент M.

6. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v =1,5 м/с. Определить путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути.

7. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета навстречу друг другу вдоль одной прямой со скоростями v₁ = 0,6 с и v₂ = 0,9 с. Определить их относительную скорость.

 

ВАРИАНТ 2

 

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4 t ² i + 3 t j + 2 k (м). Определить: 1) скорость точки v; 2) ускорение точки а; 3) модуль скорости точки в момент времени t = 2 с.

2. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n = 50 с^-1, после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение e якоря.

3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m ₁ = 1,5 кг и m ₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

4. Платформа с песком общей массой M = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если снаряд падает сверху вниз под углом α= 30^° к горизонту со скоростью v= 450 м/с.

5. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение а центра диска.

6. Маховик, момент инерции которого J = 40 кг∙м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н∙м.. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную маховиком через t = 10 с.

7. Время жизни покоящегося мюона τ₀ = 2,2 мкс. От точки рождения до детектора, зарегистрировавшего его распад, мюон пролетел расстояние l = 6 км. С какой скоростью v (в долях скорости света) двигался мюон?

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые t = 10 с достигает значения a = 5 м/с². Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный точкой путь.

2. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^––1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

3. Пуля массой т = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v= 0,5 км/с, попадает в подвешенный на тросах ящик с песком массой M = 6 кг и застревает в нем. Определить высоту h, на которую поднимется такой баллистический маятник, отклонившись после удара.

4. Тело массой m = 0,4 кг соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости высотой h = 10 см и длиной l = 1 м и, пройдя по горизонтальной плоскости некоторый путь, останавливается. Коэффициент трения на всем пути f = 0,04. Определить: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки.

5. На вращающейся вокруг вертикальной оси платформе стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения платформы. Платформа с человеком вращается с частотой n ₁ = 1 с ^–1. С какой частотой n ₂ будет вращаться платформа с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и платформы равен 6 кг×м².

6. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с². Определить кинетическую энергию маховика через время t ₂ = 25 с после начала движения, если через t ₁ = 10 с после начала движения момент импульса L ₁ маховика составлял 60 кг∙м²/с.

7. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.

 

ВАРИАНТ 4

 

1. Уравнение прямолинейного движения тела имеет вид х = At – Вt ² + Сt ³ (A = 2 м/с, B = 3 м/с², С = 4 м/с³). Записать выражения для скорости и ускорения. Определить для момента времени t = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

2. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением а _t. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки u = 15 см/с. Определить нормальное ускорение а _n точки через t = 16 с после начала движения.

3. Пуля массой т = 10 г, летящая горизонтально, попадает в подвешенный на тросах длиной l =1 м ящик с песком массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Такой баллистический маятник отклонился после удара на угол φ = 30°. Определить скорость пули.

4. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной l = 2 м, если масса груза m = 100 кг, угол наклона наклонной плоскости j = 30°, коэффициент трения f = 0,1, и груз движется с ускорением а = 1 м/с².

5. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A + Bt ² + Ct ³ (B = 2 рад/с², C = –0,5 рад/с³). Определить момент вращающей силы M для t = 3 с.

6. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n ₁ = 18 мин^–1. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гантели. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J ₁ = 3,5 кг∙м² до J ₂ = 1 кг∙м².

7. Полная энергия тела возросла на ∆ Е = 1 Дж. На сколько при этом изменилась масса тела?

 

ВАРИАНТ 5

 

1. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии s = 40 м от основания вышки. Определить начальную v₀ и конечную v скорости камня.

2. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = A + Bt + Ct ² + Dt ³ (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с², D = 1 рад/с³). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение a _t; 2) нормальное ускорение а _n; 3) полное ускорение а.

3. Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиуса r = 1,2 м в течении времени t = 2 с. Найти изменение ∆р импульса точки.

4. Пуля массой т = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 200 м/с, попадает в подвешенный на тросах длиной l =1 м ящик с песком массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения φ такого баллистического маятника.

5. Сплошной цилиндр массой m = 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость центра масс цилиндра v = 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра.

6. На вращающейся вокруг вертикальной оси платформе стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения платформы. Платформа с человеком вращается с частотой n ₁ = 12 мин^–1. С какой частотой n ₂ будет вращаться платформа с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и платформы равен 10 кг×м².

7. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость v ₀ спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике за время τ₀ = 0,5 года по часам земного наблюдателя?

 

ВАРИАНТ 6

 

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = Аt ² i + Вt j + С k, где А = 2 м/с²; В = 5 м/с; С = 3 м. Определить: 1) скорость v; 2) ускорение а; 3) модуль скорости v в момент времени t = 4 с.

2. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j = At ² (А = 0,5 рад/с²). Опреде­лить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное а _t, нормальное а _n и полное а ускорения.

3. По наклонной плоскости с углом наклона α = 30° к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения f = 0,15.

4. Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v= 0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой M = 10 кг, висящий на длинной нити, и застревает в нем. Определить: 1) высоту, на которую поднимется мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энергии, израсходованной на пробивание песка.

5. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

6. Человек массой m = 60 кг, стоит на краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n ₁ = 10 мин^-1. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой n ₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет к ее центру.

7. Электрон движется со скоростью v = 0,6 с. Определить релятивистский импульс р электрона.

 

ВАРИАНТ 7