Подставив (2) в (1), получим

. (3)

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q = 0. Первый закон термодинамики Q = Δ U + A запишется в виде

0 = Δ U + A,

откуда

Δ U = – A. (4)

Работа, совершаемая газом в адиабатном процессе

, (5)

где γ –показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей:

.

Для аргона – одноатомного газа число степеней свободы i = 3, поэтому γ = 1,67.

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе, учитывая формулы (4) и (5):

. (6)

Формулу (6) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона - Менделеева для данного случая , получим

.

Подстановка числовых значений дает

а) при изобарном расширении

,

б) при адиабатном расширении

.

Пример 2.7. Определить изменение S энтропии при изотермическом расширении азота массой т= 10 г, если давление газа уменьшилось от р₁ = 1,1 МПа до р₂ = 50 кПа.

Решение. Так как процесс изотермический, то в выражении изменения энтропии

температуру выносят за знак интеграла.

. (1)

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, полученное газом, Q = A + Δ U. Для изотермического процесса Δ U = 0, поэтому Q = A.

Работа А газа в изотермическомпроцессе

(2)

Подставив (2) в (1), найдем искомое изменение энтропии

.

Вычисляя, получим Δ S = 2,06 Дж/К.

Пример 2.8. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d =10 cм. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

где r – радиус пузыря. Так как ,то .

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ∆ S, выражается формулой

A = σΔ S = σ(S – S ₀). (1)

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; S _о – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря.

Пренебрегая S _о, получаем

.

Произведем вычисления:

Δ р = 3,2 Па, А = 2·3,14·(0,1)²·40·10^-3 Дж = 2,5·10^–3 Дж = 2,5 мДж.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

 

ВАРИАНТ 1

 

1. В закрытом сосуде объемом 20 л содержатся водород массой 6 г и гелий массой 12 г. Определить: 1) давление; 2) молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси T = 300 К.

2. Определить среднюю квадратичную <v_кв>, среднюю арифметическую <v> и наиболее вероятные v_в скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) T = 20 К; 2) T = 300 К; 3) T = 5 кК.

3. В сферической колбе объемом V = 1 л содержится азот. При какой плотности r азота средняя длина свободного пробега молекул азота больше размеров сосуда?

4. Азот массой m = 10,5 г изотермически расширяется при температуре

t = – 23 °С, причем его давление изменяется от р ₁ = 250 кПа до р ₂ = 100 кПа. Определить работу A, выполненную газом при расширении.

5. Кислород нагревается при неизменном давлении p = 80 кПа. Его объем увеличивается от V ₁= 1 м³ до V ₂= 3м³. Определить: 1) изменение  U внутренней энергии кислорода; 2) работу А, выполненную им при расширении; 3) количество теплоты Q,сообщенное газу.

6. Вследствие изотермического расширения в цикле Карно газ получил от нагревателя 150 кДж теплоты. Определить работу А изотермического сжатия этого газа, если известно, что КПД цикла η = 0,4.

7. Масса 100 капель спирта, который вытекает из капилляра, т = 0,71 г. Определить поверхностное натяжение s спирта, если диаметр d шейки капли в момент отрыва равен 1 мм.

ВАРИАНТ 2

 

1. В баллоне емкостью 15 л находится азот под давлением 100 кПа при температуре t ₁ = 27 °C. После того, как из баллона выпустили азот массой 14 г, температура газа стала равной t ₂ = 17 °C. Определить давление азота, который остался в баллоне.

2. Вычислить кинетическую энергию < E > вращательного движения двух молей молекул кислорода при температуре 17 °С.

3. Вычислить среднее число столкновений < z> за единицу времени молекул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега < l > = 5 мкм, а средняя квадратичная скорость его молекул v_кв = 500 м/с.

4. При изотермическом расширении массы m = 10 г азота, который находится при температуре t = 17 °С, была выполнена работа A = 860 Дж. Во сколько раз изменилось давление азота при расширении?

5. Два разных газа, одноатомный и двухатомный, имеют одинаковые объемы и температуры. Газы сжимают адиабатно так, что их объемы уменьшаются в два раза. Какой из газов нагреется больше и во сколько раз?

6. Вычислить приращение энтропии Δ S водорода, масса которого m = 0,8 кг во время его сжатия от 0,1 МПа при температуре 27 °С до 1,5 МПа при температуре 127 °С.

7. Трубка имеет диаметр d ₁ = 0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, которая имеет в момент отрыва вид сферы. Вычислить диаметр d ₂ этой капли.

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Азот массой 7 г находится под давлением р = 0,1 МПа при температуре

t ₁ = 290 °С. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V ₂ = 10 л. Определить: 1) объем V ₁ газа до расширения; 2) температуру Т ₂ газа после расширения; 3) плотность газа до и после расширения.

2. Колба емкостью V = 4 л содержит некоторый газ массой m = 0,6 г под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость <v_кв> молекул газа.

3. Вычислить среднюю длину свободного пробега < l > молекул водорода при давлении p = 0,1 Па и температуре T = 100 К.

4. Кислород, масса которого 80 г, изобарно нагревают от 15 до 115 °С. Определить работу А, выполненную газом, изменение внутренней энергии Δ U и количество подведенной теплоты Q.

5. Вследствие адиабатного расширения объем газа увеличивается в два раза, а термодинамическая температура снижается в 1,32 раза. Сколько степеней свободы i имеют молекулы этого газа?

6. Кислород, масса которого m = 2 кг, увеличил свой объем в n = 5 раз, первый раз изотермически, второй раз – адиабатно. Определить изменение энтропии Δ S в каждом из процессов.

7. Какую работу А нужно выполнить, чтобы, выдувая мыльный пузырек, увеличить его диаметр от d ₁= 1 см до d ₂= 5 см? Считать процесс изотермическим.

 

ВАРИАНТ 4

 

1. В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул кислорода в сосуде.

2. Вычислить среднюю кинетическую энергию <ε_вр > вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T = 350 К и среднюю кинетическую энергию < E > вращательного движения всех молекул кислорода, масса которого m = 4 г.

3. При каком давлении p средняя длина свободного пробега < l > молекул азота составляет 1 м, если температура газа Т = 300 К?

4. В сосуде объемом V = 5 л содержится газ при давлении р = 200 кПа и температуре t = 17 °С. При изобарном расширении газом была выполнена работа A = 196 Дж. На сколько градусов нагрелся газ?

5. При адиабатном сжатии воздуха в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания давление изменяется от p ₁ = 0,1 МПа до р ₂ = 3,5 МПа. Начальная температура воздуха t ₁ = 40 °C. Определить температуру T ₂ воздуха в конце сжатия.

6. Кислород массой m = 200 г занимает объем V ₁= 100 л и находится под давлением р ₁= 200 кПа. Во время нагревания газ расширился при постоянном давлении до объема V ₂= 300 л, а потом его давление возросло до р ₂= 500 кПа при неизменном объеме. Определить изменение внутренней энергии Δ U газа, работу A, совершенную газом и количество теплоты Q, сообщенную газу. Построить график процесса.

7. Две капли ртути радиусом r = 1 мм каждая слились в одну большую каплю. Какая энергия Е выделится при этом слиянии? Считать процесс изотермическим.

 

ВАРИАНТ 5

 

1. В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре T = 290 К содержится неон. На сколько понизится давление р газа в сосуде, если из него через вентиль выйдет N = 10¹⁹ молекул?

2. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м³.

3. Баллон объемом V = 10 л содержит водород массой m = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега < l > молекул.

4. При изобарном расширении двухатомного газа была выполненная работа А = 156,8 Дж. Какое количество теплоты Q было сообщено газу?

5. Газ расширяется адиабатно, причем объем его увеличивается вдвое, а термодинамическая температура падает в 1,32 раза. Какое число степеней свободы i имеют молекулы этого газа?

6. Холодильная машина, которая работает по обратному циклу Карно, передает тепло от холодильника с водой при температуре t ₂ = 0 °С кипятильнику с водой при температуре t ₁ = 100 °С. Какую массу т ₂ воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар массу т ₁ = 1 кг воды в кипятильнике?

7. Воздушный пузырек диаметром d =20мкм находится в воде возлесамой ее поверхности. Определить плотность ρ воздуха в пузырьке. Атмосферное давление принять нормальным.

 

ВАРИАНТ 6

 

1. В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определить: 1) количество вещества n; 2) массу азота; 3) концентрацию n его молекул в сосуде.

2. Давление газа p = 1 мПа, концентрация его молекул n = 10¹⁰ см^–3. Определить: 1) температуру T газа; 2) среднюю кинетическую энергию <ε_п> поступательного движения молекул газа.

3. Определить плотность rразреженного водорода, если средняя длина свободного пробега < l > молекул равна 1 см.

4. Двухатомному газу сообщили количество теплоты Q = 2,093 кДж. Газ расширяется при постоянном давлении. Определить работу A расширения газа.

5. Двухатомный газ, который находится при давлении p ₁ = 2 МПа и температуре t ₁ = 27 °С, сжимается адиабатно от объема V ₁ до V ₂ = 0,5 V ₁. Определить температуру t ₂ и давление р ₂ газа после сжатия.

6. В некотором процессе энтропия термодинамической системы изменилась на Δ S = 1,38 мДж/К. Как при этом изменилась термодинамическая вероятность состояния системы w?

7. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузырька большее атмосферного давления р ₀,если диаметр пузырька d = 5 мм?

 

ВАРИАНТ 7

 

1. В баллоне содержится газ при температуре t =100 °С. До какой температуры t ₂ нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза?

2. Определить среднюю кинетическую энергию <ε_п> поступательного движения, среднее значение <ε> полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре T = 600 К. Определить также энергию W поступательного движения всех молекул пара, которые содержатся в ν = 1 кмоль вещества.

3. Вычислить среднее число < z > столкновений, которые испытывает молекула кислорода за l с при нормальных условиях.

4. Разность удельных теплоемкостей для некоторого газа c _p – c _V = 189 Дж/(кг К). Определить, какой это газ.

5. Азот в количестве n = l кмоль, который находится при нормальных условиях, расширяется адиабатно от объема V₁ до V ₂ = 5 V ₁. Определить изменение Δ U внутренней энергии газа и работу А, выполненную газом при расширении.

6. Осуществляя замкнутый процесс, газ получил от нагревателя количество теплоты Q ₁ = 4 кДж. Определить работу А газа за цикл, если его термический КПД  = 0,1.

7. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h = 20 мм. Определить поверхностное натяжение s глицерина, если диаметр d канала трубки равен 1 мм.

 

ВАРИАНТ 8

 

1. При нагревании идеального газа на T = 1 К при постоянном давлении объем его увеличился на 1/350 первоначального объема. Найти начальную температуру T газа.

2. Определить средние значения <ε> полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре T = 400 К.

3. На сколько уменьшится атмосферное давление р = 100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h = 100 м? Считать, что температура T воздуха равняется 290 К и не изменяется с высотой.

4. В закрытом сосуде находится масса т ₁ = 20 г азота и масса m ₂ = 32 г кислорода. Определить изменение Δ U внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на Δ Т = 28 К.

5. Газ расширяется адиабатно так, что его давление падает от р ₁ = 200 кПа до p ₂ = 100 кПа. Потом он нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится p = 122 кПа. Определить отношение С _р/ C _vдля этого газа. Начертить график процесса.

6. Идеальный газ, который выполняет цикл Карно, 2/3 количества теплоты Q ₁, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Температура холодильника T ₂ = 280К. Определить температуру T ₁ нагревателя.

7. Разность Δ h уровней жидкости вколенах U- образной трубки равна 23 мм. Диаметры d ₁и d ₂каналов в коленах трубки равны соответственно 2 и 0,4 мм. Плотность жидкости r = 0,8 г/см³. Определить поверхностное натяжение жидкости.

 

ВАРИАНТ 9

 

1. В цилиндре под поршнем содержится газ при нормальных условиях. Сначала при T = соnst объем газа увеличили в β = 5 раз, потом газ нагрели при p = соnst до температуры t = 127 °С. Определить концентрацию n молекул в конечном состоянии.

2. Некоторая масса кислорода находится при температуре t = 27 °С и давлении p = 100 кПа. Кинетическая энергия поступательного движения молекул кислорода < E > = 6,3 Дж. Определить количество молекул N кислорода, его массу m и объем V.

3. Определить среднюю продолжительность <> свободного пробега молекул кислорода при температуре T = 250 К и давления p = 100 Па.

4. Водород массой т = 6,5 г, который находится при температуре t = 27 °С, расширяется вдвое при р = const за счет сообщенной извне теплоты. Определить работу А расширения газа, увеличение Δ U внутренней энергии газа и количество теплоты Q, сообщенное газу.

5. Двухатомный газ занимает объем V ₁ = 0,5 л при давлении p ₁ = 50 кПа. Газ сжимается адиабатно до некоторого объема V ₂ и давления р ₂. Потом он охлаждается при V ₂ = const до первоначальной температуры, причем его давление становится р₀ = 100 кПа. Начертить график этого процесса. Определить объем V ₂ и давление р ₂.

6. Идеальный газ выполняет цикл Карно. Температура T ₂ холодильника равна 290 К. В сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя повысится от T ₁¢ = 400 K до T ₁¢¢ = 600 К?

7. В воду погружена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Вычислить массу m воды, которая вошла в трубку.

 

ВАРИАНТ 10

 

1. В сосуде вместимостью V = 3 дм³ содержится азот при температуре t = 17 °С и давлении p = 10^–4 Па. Определить количество молекул N азота в сосуде, массу m азота и среднюю кинетическую энергию < E > поступательного теплового движения молекул газа.

2. До какой температуры T нужно нагреть идеальный газ при p = соnst, чтобы его плотность уменьшилась в два раза по сравнению с плотностью этого газа при t ₀ = 0 °С?

3. Какой должна быть температура T воздуха Земли, чтобы средняя квадратичная скорость молекулы водорода равнялась бы второй космической скорости?

4. Гелий, который находится при нормальных условиях, изотермически расширяется от объема V ₁ = 1 л до объема V ₂ = 2 л. Определить работу A, совершенную газом при расширении, и количество теплоты Q, полученное газом.

5. Определить удельные теплоемкости c _p и c _V некоторого газа, если известно, что его плотность при нормальных условиях ρ = 1,43 кг/м³, а отношение молярных теплоемкостей равно 1,4. Какой это газ?

6. Идеальный газ выполняет цикл Карно. Температура T ₁ нагревателя в три раза выше температуры T ₂ холодильника. От нагревателя получено количество теплоты Q ₁ = 42 кДж. Какую работу А выполнил газ?

7. На какую высоту h поднимается вода между двумя параллельными стеклянными пластинками, если расстояние d между ними равно 0,2 мм?

 

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Основные ЗАКОНЫ И формулы

Электростатика

· Закон Кулона

,

где F - сила взаимодействия двух точечных зарядов и ; r - расстояние между зарядами; - диэлектрическая проницаемость среды; = 8,85∙10 ^–12 Ф/м – электрическая постоянная.

· Напряженность и потенциал электростатического поля

,

где F – сила, действующая на точечный положительный заряд Q ₀,, помещенный в данную точку поля, П – потенциальная энергия заряда Q ₀.

· Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда

; .

· Поток вектора напряженности через площадку dS ипроизвольную поверхность S

;

· Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей

.; .

· Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды ,

,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; – число зарядов.

· Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

E = σ/(2ε₀),

где σ = Δ Q /Δ S – поверхностная плотность заряда.

· Напряженность электрическою поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R)

;

б) вне сферы (r≥R)

.

· Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,

,

где τ = Δ Q /Δ l – линейная плотность заряда.

· Напряженность поля плоского конденсатора:

E = σ/(ε₀ε).

· Поляризованность

,

где – электрический момент отдельной (i -й) молекулы; N –число молекул, содержащихся в объеме .

· Связь поляризованности диэлектрика с напряженностью Е электростатического поля

Р = κε₀ Е,

где κ – диэлектрическая восприимчивость.

· Связь диэлектрической проницаемости с диэлектрической восприимчивостью

.

· Напряженность Е поля в диэлектрике

и ,

где Е ₀ – напряженность внешнего поля.

· Электрическое смещение D:

D = ε₀ε E = ε₀ E + P.

· Электрическая емкость уединённого проводника или конденсатора

,

где – заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); – изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

· Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ,

.

· Емкость плоского конденсатора

,

где S – площадь каждой пластины; d – расстояние между пластинами.

· Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении:

, ,

где п – число конденсаторов.

· Энергия заряженного проводника и заряженного конденсатора:

, .

· Сила притяжения между двумя разноименными заряженными обкладками конденсатора

· Объемная плотность энергии электростатического поля

.