Молекулярная физика и термодинамика

 

Основные законы и формулы

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

· Количество вещества[1] тела (системы)

или ,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело; N_A.– постоянная Авогадро (N _A = 6,02·10²³ моль^-1).

· Молярная масса вещества (масса 1 моля вещества)

,

где m –масса однородного тела (системы); n – количество вещества этого тела.

· Относительная молекулярная масса вещества

,

где n_i - число атомов i -го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; A_r,i – относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

· Молярная масса, выраженная в граммах на моль, численно равна относительной молекулярной массе

,

где k = 10^–3 кг/моль.

· Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона – Менделеева)

,

где т – масса газа, М – молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, n – количество вещества, Т – термодинамическая температура.

^· Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс: )

, или для двух состояний газа

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: )

, или для двух состояний

в) закон Шарля (изохорный процесс: )

, или для двух состояний

где p ₁, V ₁, T ₁ – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p ₂, V ₂, T ₂ – те же величины в конечном состоянии.

· Концентрация молекул однородной системы

,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ – плотность вещества в любом агрегатном состоянии; V – объем системы.

· Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

,

где k = R / N _A = 1,38×10 ^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

· Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

p = nm ₀<v_кв>² или pV =

или p = ρ<v_кв >²,

где<v_кв > – средняя квадратичная скорость молекул, Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа, m ₀ – масса одной молекулы.

· Средняя кинетическая энергия молекулы с учетом поступательного и вращательного движения. Вклад в энергию колебательного движения учитывается только при температурах порядка нескольких тысяч кельвинов.

где i – сумма числа поступательных и вращательных степеней свободы молекулы; i = 3 для одноатомной молекулы, i = 5 для двухатомной и i = 6 для трех- и более атомной молекулы.

· Средняя кинетическая энергия:

поступательного движения молекулы (i _п = 3)

,

вращательного движения молекулы

,

где i _вр – число вращательных степеней свободы (i _вр = 2 для двухатомной и

i _вр = 3 для трех- и более атомной молекулы).

· Скорости газовых молекул:

средняя квадратичная

средняя арифметическая

наиболее вероятная

где m ₀ – масса одной молекулы.

· Барометрическая формула

p(h) = p ₀ exp –(Mgh / RT),

где p(h)– давление атмосферы на высоте h от поверхности Земли, p ₀ – давление на поверхности (h = 0).

· Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газa в единицу времени,

,

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; < v > – средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

Основы термодинамики

· Внутренняя энергия идеального газа

.

· Первое начало термодинамики

,

где Q –количество теплоты, сообщенное системе (газу); ∆U –изменение ее внутренней энергии; А – работа системы против внешних сил.

· Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями

.

· Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме () и постоянном давлении ()

, .

· Уравнение Майера

.

· Работа расширения газа:

в общем случае ;

при изобарном процессе ;

при изотермическом процессе .

· Уравнения адиабатного процесса (уравнение Пуассона)

· .

· Связь между начальными и конечными значениями параметров идеального газа при адиабатном процессе

, , ,

где – показатель адиабаты.

· Работа при адиабатном процессе

или .

· Tермический КПД цикла

где Q ₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; Q ₂ – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику, А – работа, совершаемая за цикл.

· Термический КПД цикла Карно

гдe Т ₁ и Т ₂ – температуры нагревателя и холодильника.

· Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния А в состояние В

.

 

2.3. Свойства жидкостей

 

· Поверхностное натяжение

, или ,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; ∆ Е – поверхностная энергия, связанная с площадью ∆ S поверхности пленки.

· Формула Лапласа, выражающая избыточное давление Δ р, создаваемое сферической поверхностью жидкости:

где R – радиус сферической поверхности.

· Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

где θ – краевой угол (θ = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью); r– радиус канала трубки; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

· Высота подъема жидкости между двумя близкими параллельными друг другу плоскостями

где d – расстояние между плоскостями.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм ³ воды, и массу т₀ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой т, равно произведению постоянной Авогадро на количество вещества n:

. ,

где М – молярная масса.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

.

Произведем вычисления, учитывая, что M = 18×10^–3 кг/моль:

.

Масса m ₀ одной молекулы

. (1)

Подставив в (1) значения М и , найдем массу молекулы воды:

.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) , где d – диаметр молекулы. Отсюда

. (2)

Объем V ₀ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т. е. на :

. (3)

Подставим выражение (3) в (2):

. (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

.

Произведем вычисления:

.

Пример 2.2. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения всех молекул, содержащихся в m = 2 кг водорода при температуре T = 400 К?

Решение: Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой, т.е. колебательных степеней свободы не учитываем, тогда число степеней свободы молекулы водорода i = 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура.

Поступательному движению приписывается три (i_п =3), а вращательному движению двухатомной молекулы – две (i_вр =2) степени свободы. Средние энергии:

, .

Число молекул, содержащихся в произвольной массе газа, , где ν – число молей, N_A – постоянная Авогадро.

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул водорода будет равна:

, (1)

где - молярная газовая постоянная.

Аналогично средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

. (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

,

.

Пример 2.3. Определить среднюю длину свободного пробега и среднее число столкновений за 1с молекулы кислорода, находящегося в сосуде емкостью V = 2 л при температуре t = 27˚С и давлении p = 100 кПа.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле

,

где d – эффективный диаметр молекулы кислорода находим из таблиц, d = 0,29 нм; n – число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения р = nkT

.

Среднее число соударений молекулы за 1с равно

,

где - средняя арифметическая скорость молекулы

.

Подставляя числовые значения, находим

, < z > = 1,25∙10¹⁰ с ^–1.

Пример 2.4. Определить удельные теплоемкости при постоянном объеме c_V и при постоянном давлении с_P неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Р ешение. Удельные теплоёмкости идеальных газов выражаются формулами

и ,.

где i – число степеней свободы молекулы газа, M – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i ₁ = 3, М ₁ = 20·10^–3 кг/моль. Подставив значения i _1, М _1, R и произведя вычисления, найдем:

c _V1 =624 Дж/(кг·К); c_{p 1}= 1,04 кДж/(кг·К).

Для водорода (двухатомный газ) i ₂ = 5, M ₂ = 2·10^––3 кг/моль. Вычисление даёт следующие значения^

c _V2 =10,4 кДж/(кг·К); c_{p 2}= 14,6 кДж/(кг·К).

Пример 2.5. Кислород массой m = 160 г нагревают при постоянном давлении от Т₁ = 320 К до Т₂ = 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении,

. (1)

Здесь с_р и С_р = Мс_р – удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении, М = 32·10^–3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов ; C _р = 29,09 Дж/(моль К).

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

, (2)

где С _V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов , C _V = 20,78 Дж/(моль К).

Работа расширения газа при изобарном процессе , где – изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клапейрона – Менделеева.

При изобарном процессе

, (3)

. (4)

Вычитая выражения (4) из (3), находим

,

следовательно,

. (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем,

Q = 2,91 кДж; Δ U = 2,08 кДж; A = 831 Дж.

Пример 2.6. Объем аргона, находящегося при давлении p = 80 кПа, увеличился от V₁ = 1 л до V₂ = 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно?

Решение: Изменение внутренней энергии

(1).

зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. Найти Δ U по формуле (1) нельзя, так какмасса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (1). Запишем уравнение Клапейрона - Менделеева для начального и конечного состояний газа:

и

или, вычитая уравнения,

. (2)