Механические колебания и волны

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

К о л е б а н и я - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, например: колебания маятника часов, переменный электрический ток, колебания молекул в твердом теле, пульсация излучения звезд и так далее.

Во всех колебательных процессах происходит взаимное превращение одного вида энергии в другой, например, в механических колебательных системах кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а в электромагнитных - энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. Характерной чертой колебательных систем является также наличие устойчивого положения равновесия.

 

К простейшим периодическим колебаниям относятся г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я, в которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер,очень близкий к гармоническим, и, во-вторых,любой периодический процесс можно представить в виде суммы гармонических колебаний.

Гармонические колебания.

Если в системе совершаются гармонические колебания, то колеблющаяся физическая величина х изменяется со временем по закону

, (2)

где А- амплитуда колебания, равная наибольшему абсолютному значению отклонения х от положения равновесия;

- фаза колебания, являющаяся угловой мерой времени, прошедшего от начала колебаний,и определяющая значение х в данный момент времени;

- начальная фаза, равная фазе в момент начала отсчета времени t =0;

- циклическая частота, имеющая смысл скорости изменения фазы колебания.

Выражение (2) для гармонических колебаний можно представить в эквивалентной форме

.

Если за время t система совершила N колебаний, то время одного колебания - период , число колебаний, совершенных за единицу времени - частота . Циклическая частота .

Различные формы представления гармонических колебаний:

а) Метод векторных диаграмм

Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости (рис.2).

Для этого из начала координат проведем вектор , модуль которого равен амплитуде колебаний А,а сам он повернут относительно оси координат ОХ на угол, равный фазе колебаний . С течением времени вектор будет равномерно вращаться вокруг точки О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний , при этом проекции его на оси ОХ и ОУ будут совершать гармонические колебания. Метод векторных диаграмм используется,например,при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

б) Комплексная форма

Пусть ,а .

Составим комплексное число Z= x+iy,тогда согласно формуле Эйлера получим:

.

Если ввести комплексную амплитуду ,то

. (2а)

Поэтому гармоническое колебание , может быть записано как действительная часть комплексного числа Z, обозначаемая ReZ:

.

Таким образом, можно проводить алгебраические преобразования не с синусами и косинусами,а с экспонентами, что намного проще. Физический же смысл всегда будет иметь только действительная часть конечного выражения, полученного в результате математических операций с комплексными числами.

 

Гармонический осциллятор

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

 

3.2.1. Пружинный, физический и математический маятники.

Рассмотрим в качестве гармонического осциллятора механическую систему с одной степенью свободы, совершающую малые колебания около положения равновесия без трения. Примерами такой системы являются пружинный, физический и математический маятники.

П р у ж и н н ы й м а я т н и к - груз массы m, подвешенный на невесомой абсолютно упругой пружине жесткостью k.

При подвешивании груза пружина растянется на величину , определяемую соотношением mg =k , вытекающим из условия равновесия , , по закону Гука.

При выведении груза из положения равновесия (т. О на оси х) на тело будет действовать сила со стороны пружины .

При описании колебаний в механических системах необходимо исходить из основного закона механики(второй закон Ньютона), который для пружинного маятника при отсутствии сил трения имеет вид .

С учетом (3) и равенства ускорения тела второй производной смещения по времени

.

Вводя обозначение , уравнение движения тела можно записать в виде

.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее гармонические колебания. Решением этого уравнения является функция

,

где называется собственной частотой гармонических колебаний пружинного маятника в отсутствии потерь его энергии. Период колебания .

Ф и з и ч е с к и й м а я т н и к - твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. В отсутствии сил трения в подвесе маятника вращательный момент относительно оси качения (т. О) создает только сила тяжести

,

где - расстояние от оси качения до центра масс маятника (т. С), - угол поворота маятника от положения равновесия. Согласно основному закону динамики вращательного движения уравнение движения физического маятника имеет вид

,

где - момент инерции маятника относительно оси качания, а - угловое ускорение, направление которого противоположно направлению момента силы тяжести, о чем говорит знак минус в скалярной записи уравнения движения.

При малых (радиан). Тогда

.

Вводя обозначение , уравнение движения можно записать в виде

,

решением которого является

,

где - амплитуда колебаний угла ,а и - собственные частота и период гармонических колебаний физического маятника.

М а т е м а т и ч е с к и й м а я т н и к - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, поэтому момент инерции математического маятника . Соответственно собственные частота и период гармонических колебаний математического маятника равны

, .

 

Вынужденные колебания

В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я в о з н и к а ю т п р и в н е ш н е м п е р и о д и ч е с к о м в о з д е й с т в и и н а к о л е б а т е л ь н у ю с и с т е м у. Общей чертой вынужденных колебаний является то,что спустя некоторое время система полностью «забывает» свое начальное состояние,и в ней устанавливаются незатухающие колебания с частотой внешнего воздействия.

Рассмотрим вынужденные колебания на примере механической системы (рис.14). Маятник в виде заряженного шарика на длинном стержне из диэлектрика помещен между вертикальными пластинами плоского конденсатора, на которые подается переменное напряжение. Если внешняя сила изменяется гармонически с частотой и амплитудой

,

то уравнение движения для маятника имеет вид

.

Введя обозначения , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

.

Решением такого уравнения является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

,

где первый член описывает свободные затухающие колебания, второй - незатухающие колебания с частотой , амплитудой вынужденных колебаний А и сдвигом фазы между действием силы и смещением х.

Через время, равное времени релаксации , свободные колебания практически прекращаются и маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний с частотой внешней силы

.

Из этого следует, что

,

.

Подставим:

.

(1) (2) (3) (4)

Проведем сложение трех гармонических колебаний в левой части уравнения методом векторных диаграмм. Для этого произвольно расположим вектор , описывающий третье колебание. Вектор , описывающий первое колебание, опережает его на p, а вектор - на p/2. Так как сумма , из рисунка следует

;

.

 

Резонанс

Кривая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия W, называется резонансной кривой или амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ).

П р и п р и б л и ж е н и и ч а с т о т ы в н е ш н е й с и л ы W к ч а с т о т е w₀ н а б л ю д а е т с я в о з р а с т а н и е а м п л и т у д ы в ы н у ж д е н н ы х к о л е б а н и й.

Э т о я в л е н и е н а з ы в а е т с я р е з о н а н с о м.

Рассмотрим физическую сторону этого явления в разных областях частот.

Если W<<w₀, первый и второй члены в уравнении малы по сравнению с третьим и уравнение движения сводится к виду

.

В этом случае внешняя сила «идет» на преодоление квазиупругой силы, и колебания будут происходить со статической амплитудой

.

Если W>>w₀, первый член в левой части уравнения много больше остальных и уравнение движения будет иметь вид

.

Решение его будет описывать колебания с амплитудой , при которых силы трения и упругости становятся несущественными по сравнению с внешней силой. При W ® ¥ амплитуда колебания А стремится к нулю.

В области резонанса первый и третий члены уравнения (51) сравняются, а так как они противоположны по знаку, то

, .

Таким образом, в условиях резонанса роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действующих в механической системе сил трения и ускорение создается силой упругости. При этом система совершает почти «гармонические» колебания с максимальной для нее амплитудой

.

Значение р е з о н а н с н о й ч а с т о т ы W_РЕЗ можно определить из условия минимальности знаменателя в выражении ,

.

При d<<w₀ , и , а с учетом .

Отсюда следует, что чем выше добротность системы Q, тем острее «резонансный пик» (рис.

Поскольку энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, при резонансе система обладает наибольшей энергией Е_РЕЗ. Пусть и - циклические частоты, при которых энергия системы убывает в два раза по сравнению с ,тогда величина называется шириной резонансной кривой. Для системы с высокой добротностью ; и

.

Чтобы убедится в справедливости, составим соотношение

.

Так как ,а ,

то ,

отсюда . С учетом можно получить очень важное соотношение между полушириной резонансной кривой вынужденных колебаний и временем релаксации свободных затухающих колебаний:

.

ВОЛНЫ

Ф р о н т в о л н ы - геометрическое место точек системы, до которых доходят колебания источника к моменту времени t. Фронт волны представляет ту поверхность, которая отделяет часть системы, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе, называется в о л н о в о й п о в е р х н о с т ь ю. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости - п л о с к а я в о л н а, или форму сферы - с ф е р и ч е с к а я в о л н а.

Волну можно считать сферической на расстояниях значительно превышающих размеры источника (точечный источник) и при условии, что скорость распространения возмущения одинакова по всем направлениям (изотропная среда). Если источник возмущения находится настолько далеко, что волновая поверхность представляет собой плоскость (сфера очень большого радиуса), то говорят о плоской волне. Волна называется п о п е р е ч н о й, если колебания совершаются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется п р о д о л ь н о й, если колебания происходят в направлении распространения волны.

Волновое уравнение

Уравнение для любой волны вида являются решениями дифференциального уравнения, называемого в о л н о в ы м. Установим вид волнового уравнения для плоской волны произвольного вида. Для этого сопоставим вторые частные производные по х и t:

; ;

; .

Из соотношений следует

.

Это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое называется в о л н о в ы м у р а в н е н и е м. Любая функция, удовлетворяющая этому уравнению, будет описывать плоскую волну, распространяющуюся со скоростью V в направлении оси ОХ.

Распространение волн в трех измерениях в однородной не поглощающей среде описывается волновым уравнением

или D ,

где D= - оператор Лапласа.

Для векторной волны волновое уравнение имеет вид

D .

 

Волны различной природы

Энергия волны

При распространении волн происходит перенос энергии без переноса вещества. В силу того, что энергия волны распределена в пространстве неравномерно, имеет смысл говорить о плотности энергии.

Упругая среда, в которой распространяются м е х а н и ч е с к и е в о л н ы, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды.

Рассмотрим плоскую продольную упругую волну в тонком стержне S(x,t)=f(1-x/V). Объемная плотность кинетической энергии определяется следующим равенством:

,

где dK - кинетическая энергия всех частиц в бесконечно малом объеме dv стержня, выбранном так, что в его пределах скорость частиц среды U(x,t)= одинакова; - плотность среды.

Объемная плотность потенциальной энергии

,

где dП - потенциальная энергия однородно деформированного малого участка среды объемом dV=S₀dx;

k - малого участка стержня длиной dx и сечением S₀, прямо пропорциональная произведению (ES₀) и обратно пропорциональная длине этого участка;

- относительная деформация рассматриваемого участка.

Учитывая выражение (99) и равенство ,получим

.

Таким образом, плотности кинетической и потенциальной энергий упругой волны равны между собой в любой момент времени в любой точке среды. Следует отметить, что в отличие от локализованных колебаний осциллятора, где кинетическая и потенциальная энергии изменяются в противофазе (см. (12) и (13)), в бегущей волне колебания кинетической и потенциальной энергий происходят в одинаковой фазе.

Плотность полной энергии упругой волны

.

Из равенства (114) следует, что энергия бегущей волны перемещается вместе с волной с той же скоростью V без переноса частиц среды, колеблющихся около своих положений равновесия. При этом,

согласно закону сохранения энергии, должна уменьшаться энергия источника волн. Для синусоидальной волны (79)

;

.

Вектором плотности потока энергии (вектором Умова) называется вектор, направленный в сторону переноса энергии волны и равный по величине отношению энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь малую площадку dS к площади dS_^ - проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению переноса энергии. Так как энергия dE_мех заключена в элементе объема

, то

;

.

Скалярная величина I, равная модулю среднего значения вектора Умова, называется и н т е н с и в н о с т ь ю в о л н ы:

.

Для синусоидальной волны

.

 

Интерференция волн.

При интерференции наложении волн должны происходить в оном направлении.
Как следует из раздела 3.2.3, результирующая амплитуда А двух накладываемых синусоидальных волн
S₁(r,t)=A₁sin(w₁t-k₁r₁+j₀₁);

S₂(r,t)=A₂sin(w₂t-k₂r₂+j₀₂);

определяется выражением
A²=A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(j₂-j₁),

где j₁-j₂=Dj=[(w₂t-w₁t)-(k₂r₂-k₁r₁)+(j₀₂-j₀₁)] - р а з н о с т ь ф а з волн в момент времени t. Для некогерентных волн разность фаз Dj с течением времени меняется, и в этом случае среднее значение квадрата амплитуды <A²> за время много большее периода

<A²> = <A₁²> + <A₂²>
так как <cos(j₁-j₂)>=0
Поэтому при наложении некогерентных волн перераспределения энергии колебаний не произойдет, поскольку в каждой точке среды энергия результирующих колебаний равна сумме энергий колебаний обусловленных некогерентными волнами в отдельности. Иначе обстоит дело при наложении когерентных волн, у которых w₁=w₂=w и в однородной изотропной среде (v₁=v₂=v).
Их разность фаз
j₁-j₂ = -k(r₂-r₁) + (j₀₂-j₀₁)

Амплитуда результирующих колебаний будет м а к с и м а л ь н а в тех точках среды, для которых разность фаз равна ч е т н о м у числу p

j₂-j₁=2mp, где m=0,±1,±2,±3,...

Если разность начальных фаз j₀₂ - j₀₁=0, то условие м а к с и м у м о в д л я р а з н о с т и х о д а принимает вид
k(r₂-r₁)=(2p/l)(r₂-r₁)=2mp

или

(r₂-r₁)=ml=2m(l/2)
Амплитуда результирующих колебаний будет м и н и м а л ь н а в тех точках среды, для которых разность фаз равна н е ч е т н о м у числу p j₂-j₁=(2m+1)p, а разность хода

(r₂-r₁)=(2m+1)(l/2)

Стоячие волны

Для наблюдения устойчивой интерференционной картины не обязательно

иметь два независимых когерентных источника. Вторую, когерентную с исходной, волну можно получить в результате отражения волны от границы среды, в которой происходит распространение волн.

В результате и н т е р ф е р е н ц и и п а д а ю щ е й и о т р а ж е н н о й в о л н ы образуется с т о я ч а я в о л н а.

Пусть уравнение падающей волны имеет вид

S₁(x,t)=Acos(w t -kx),

тогда уравнение отраженной волны имеет вид

S₂(x,t)=Acos(w t+kx+j),

где j - изменение (сдвиг) фазы волны, возникающее при отражении.

При о т р а ж е н и и у п р у г и х в о л н сдвиг фазы зависит от волнового сопротивления R_волн отражающей среды, которое определяется по формуле

R_волн=rv,

где r - плотность среды, а v - фазовая скорость волны. Пусть волновые сопротивления среды, от которой распространяется волна - r ₁v₁, а среды, от которой волна отражается - r₂v₂.

При соотношении r₁v₁< r₂v₂ волна отражается от более плотной среды

и j =p, что соответствует прохождению волной дополнительного расстояния в l/2 (потеря половины длины волны).

Если r ₁v₁>r₂ v₂, то волна отражается от менее плотной среды и j =0.

Учитывая выше сказанное, уравнение отраженной волны можно записать в виде

S₂(x,t)=± A cos(w t + k x)

где «плюс» соответствует j =0,а «минус» j =p. Тогда уравнение стоячей волны получим:

S(x,t)=S₁(x,t)+S₂(x,t)=A[cos(w t-kx)±cos(w t+kx)] =

 

Точки, в которых амплитуда колебаний в стоячей волне

A_ст(x)=|2Asin(kx)|,

а в стоячей волне

A_ст(x)=|2Acos(kx)|,

достигает максимального значения 2А, называется п у ч н о с т я м и; точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, - у з л а м и. Расстояние между узлами равно половине длины бегущей волны. Для стоячей волны на границе всегда узел, для стоячей - пучность (рис.)

Стоячая волна по существу уже не является волновым движением, так как в ней отсутствует перенос энергии, потому что падающая и отраженные волны за одно и то же время переносят одинаковую энергию в противоположном направлениях.

В упругой стоячей волне максимальные значения кинетической энергии совпадают с пучностями, а максимальные значения потенциальной энергии - с узлами, так как в них происходит наибольшая деформация среды.

В электромагнитной стоячей волне энергия электрического поля максимальна в пучностах вектора (рис.), энергия магнитного поля - в пучностях вектора .

При наличии отражающих границ с двух сторон условие образования стоячей волны на участке длиной l следующие:

l =n , если на границах узлы (рис.)

, если на границах пучности (рис.)

 

l =(2n-1) , если на одной границе узлы, на другой пучность (рис. 29 в)

где l - длина бегущей волны, а n = 1, 2, 3....

Частоты, удовлетворяющая условиям, называются с о б с т в е н н ы м и ч а с т о т а м и (гармониками) стоячей волны на данном участке. Условия так же можно представить как условие резонанса, и говорить о наборе р е з о н а н с н ы х ч а с т о т стоячей волны на участке длинной l.

спектрального анализа света.

 

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

К о л е б а н и я - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, например: колебания маятника часов, переменный электрический ток, колебания молекул в твердом теле, пульсация излучения звезд и так далее.

Во всех колебательных процессах происходит взаимное превращение одного вида энергии в другой, например, в механических колебательных системах кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а в электромагнитных - энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. Характерной чертой колебательных систем является также наличие устойчивого положения равновесия.

 

К простейшим периодическим колебаниям относятся г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я, в которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер,очень близкий к гармоническим, и, во-вторых,любой периодический процесс можно представить в виде суммы гармонических колебаний.

Гармонические колебания.

Если в системе совершаются гармонические колебания, то колеблющаяся физическая величина х изменяется со временем по закону

, (2)

где А- амплитуда колебания, равная наибольшему абсолютному значению отклонения х от положения равновесия;

- фаза колебания, являющаяся угловой мерой времени, прошедшего от начала колебаний,и определяющая значение х в данный момент времени;

- начальная фаза, равная фазе в момент начала отсчета времени t =0;

- циклическая частота, имеющая смысл скорости изменения фазы колебания.

Выражение (2) для гармонических колебаний можно представить в эквивалентной форме

.

Если за время t система совершила N колебаний, то время одного колебания - период , число колебаний, совершенных за единицу времени - частота . Циклическая частота .

Различные формы представления гармонических колебаний:

а) Метод векторных диаграмм

Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости (рис.2).

Для этого из начала координат проведем вектор , модуль которого равен амплитуде колебаний А,а сам он повернут относительно оси координат ОХ на угол, равный фазе колебаний . С течением времени вектор будет равномерно вращаться вокруг точки О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний , при этом проекции его на оси ОХ и ОУ будут совершать гармонические колебания. Метод векторных диаграмм используется,например,при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

б) Комплексная форма

Пусть ,а .

Составим комплексное число Z= x+iy,тогда согласно формуле Эйлера получим:

.

Если ввести комплексную амплитуду ,то

. (2а)

Поэтому гармоническое колебание , может быть записано как действительная часть комплексного числа Z, обозначаемая ReZ:

.

Таким образом, можно проводить алгебраические преобразования не с синусами и косинусами,а с экспонентами, что намного проще. Физический же смысл всегда будет иметь только действительная часть конечного выражения, полученного в результате математических операций с комплексными числами.

 

Гармонический осциллятор

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

 

3.2.1. Пружинный, физический и математический маятники.

Рассмотрим в качестве гармонического осциллятора механическую систему с одной степенью свободы, совершающую малые колебания около положения равновесия без трения. Примерами такой системы являются пружинный, физический и математический маятники.

П р у ж и н н ы й м а я т н и к - груз массы m, подвешенный на невесомой абсолютно упругой пружине жесткостью k.

При подвешивании груза пружина растянется на величину , определяемую соотношением mg =k , вытекающим из условия равновесия , , по закону Гука.

При выведении груза из положения равновесия (т. О на оси х) на тело будет действовать сила со стороны пружины .

При описании колебаний в механических системах необходимо исходить из основного закона механики(второй закон Ньютона), который для пружинного маятника при отсутствии сил трения имеет вид .

С учетом (3) и равенства ускорения тела второй производной смещения по времени

.

Вводя обозначение , уравнение движения тела можно записать в виде

.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее гармонические колебания. Решением этого уравнения является функция

,

где называется собственной частотой гармонических колебаний пружинного маятника в отсутствии потерь его энергии. Период колебания .

Ф и з и ч е с к и й м а я т н и к - твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. В отсутствии сил трения в подвесе маятника вращательный момент относительно оси качения (т. О) создает только сила тяжести

,

где - расстояние от оси качения до центра масс маятника (т. С), - угол поворота маятника от положения равновесия. Согласно основному закону динамики вращательного движения уравнение движения физического маятника имеет вид

,

где - момент инерции маятника относительно оси качания, а - угловое ускорение, направление которого противоположно направлению момента силы тяжести, о чем говорит знак минус в скалярной записи уравнения движения.

При малых (радиан). Тогда

.

Вводя обозначение , уравнение движения можно записать в виде

,

решением которого является

,

где - амплитуда колебаний угла ,а и - собственные частота и период гармонических колебаний физического маятника.

М а т е м а т и ч е с к и й м а я т н и к - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Математически