Поступательное и вращательное движения твёрдого тела

 

Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе при движении тела.

Поступательно движется, например, кузов экипажа 1 на прямолинейном участке пути (рис. 8).

В механизме шарнирного четырёхзвенника (звено 4 –стойка, неподвижное) (рис. 9), если и , звено движется поступательно.

Основная теорема поступательного движения твёрдого тела

При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым, при наложении совпадающим траекториям и имеют в данный момент времени одинаковые скорости и ускорения по модулю и направлению.

Согласно основной теореме поступательного движения твёрдого тела, для звена шарнирного четырёхзвенника (рис. 9) выполняются условия:

; . (2.1)

Из основной теоремы поступательного движения твёрдого тела следует, что для описания такого движения достаточно задать движение любой точки тела, например центра тяжести . Тогда выражения

, , (2.2)

являются уравнениями поступательного движения твёрдого тела.

Вращательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором остаются неподвижными все точки тела, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения (ось на рис. 10).

Для задания положения тела при вращательном движении служит угол поворота между условно неподвижной плоскостью I (рис. 10) и подвижной плоскостью II, связанной с телом. Угол поворота тела считается положительным, если с конца оси вращения вращение тела представляется происходящим против хода часовой стрелки. Выражение

(2.3)

называется уравнением вращательного движения твёрдого тела.

Угол поворота измеряется в радианах. Если тело совершит оборотов, то угол его поворота определяется выражением

. (2.4)

Кроме угла поворота , двумя другими характеристиками вращательного движения, общими для всего тела, являются угловая скорость и угловое ускорение .

Угловой скоростью называется величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота в единицу времени и равная первой производной от по времени:

. (2.5)

Угловая скорость измеряется в рад/с. Если тело совершает оборотов в минуту ( называется частотой вращения тела), то угловая скорость его определяется выражением

. (2.6)

Если угловая скорость в данный момент времени положительна, т.е. ω >0, то она направлена в сторону заданного направления отсчёта угла , если ω <0, то – в противоположную сторону.

Угловым ускорением называется величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости в единицу времени и равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

. (2.7)

Угловое ускорение измеряется в рад/с².

Если в данный момент времени , то оно направлено в сторону заданного направления отсчёта угла поворота φ, если – в противоположную сторону.

Когда направления и совпадают, тело вращается ускоренно, если не совпадают – замедленно. На рис. 11а,б показаны случаи ускоренного вращения тела вокруг оси , на рис. 11в,г – случаи замедленного вращения.

 

Рассмотрим частные случаи вращательного движения твёрдого тела.

1. Равномерное вращение тела. В этом случае угловая скорость тела . Тогда угловое ускорение . Учитывая, что ,получаем: . Интегрируя данное выражение ,получаем:

, (2.8)

где – угол поворота тела при .

Выражение (2.8) является законом равномерного вращения твёрдого тела.

2. Равнопеременное вращение тела. В этом случае угловое ускорение (знак «+» относится к случаю ускоренного вращения, знак «–» – замедленного). Учитывая, что , получаем: . Интегрируем данное выражение . Получаем

, (2.9)

где – угловая скорость тела при .

После повторного интегрирования получим

. (2.10)

Выражения (2.9) и (2.10) определяют законы изменения угловой скорости и угла поворота в случае равнопеременного вращения твёрдого тела.

3. Общий случай вращательного движения тела. В этом случае угловое ускорение тела является функцией времени

. (2.11)

После интегрирования выражения (2.11) (см. случаи 1 и 2) получаем закон изменения угловой скорости

. (2.12)

После интегрирования выражения (1.12) найдём закон вращения тела в рассматриваемом случае

. (2.13)

При вращательном движении модуль скорости любой точки (рис. 12) тела равен

. (2.14)

В выражении (2.14) – радиус вращения точки – перпендикуляр, опущенный из точки на ось вращения.

Вектор скорости лежит в плоскости траектории точки и направлен перпендикулярно радиусу вращения в сторону круговой стрелки .

Указанные модуль и направление вектора скорости можно получить из векторной формулы (2.15) (формула Эйлера), которая справедлива в случае вращательного движения тела, так как радиус-вектор (рис. 12), проведенный из некоторой точки в точку , при вращении тела меняется только по направлению (модуль ):

, (2.15)

где – вектор угловой скорости.

Вектор направляется по оси вращения в соответствии с правилом правого винта, прикладывается в любой точке оси вращения (т.е. скользящий вектор).

Ускорение точки тела при вращательном движении определяется как геометрическая сумма

, (2.16)

где – вращательное ускорение; – центростремительное ускорение. Векторы и лежат в плоскости траектории точки . Модули этих векторов определяются выражениями:

; (2.17)

. (2.18)

направлен в сторону круговой стрелки , – по к оси вращения. Так как , то модуль полного ускорения равен

.

Из выражения (2.16) следует, что направление вектора ускорения (рис. 12) определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

На рис. 12 – угол между вектором и радиусом . Из рисунка видно, что , откуда ,

при этом . (2.19)

Согласно выражению (2.19), векторы ускорения всех точек тела при вращательном движении наклонены к соответствующим радиусам вращения под одним и тем же углом .

Рассмотрим наиболее характерные примеры решения задач на вращательное движение тела.

 

Пример 1. Диск (рис. 13) радиусом м вращается по закону ( – в радианах, – в секундах) относительно оси , совпадающей с его горизонтальным диаметром. Для момента времени с определить скорость и ускорение точки обода диска.

Находим угловую скорость и угловое ускорение диска в заданный момент времени

.

При с рад/с. Так как при с положительная, то она направлена в сторону отсчёта

.

Знак «–» указывает на то, что направлено против заданного направления отсчета угла . Скорость точки обода равна

,

где – радиус вращения точки; из рисунка видно, что

м.

Тогда м/с.

Вектор направлен в сторону круговой стрелки (на нас). Ускорение точки равно

.

Вращательное ускорение

м/с².

Вектор направлен в сторону круговой стрелки (от нас).

Центростремительное ускорение

м/с².

Вектор направлен вдоль от точки к оси вращения.

Ускорение точки равно

м/с².

Вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

 

Пример 2. Кривошип ммеханизма шарнирного четырёхзвенника (рис. 14) вращается вокруг оси , имея в заданном положении угловую скорость рад/си угловое ускорение рад/с².

Определить скорость и ускорение центра тяжести звена механизма, если , и – однородный стержень.

Поскольку звено однородное, его центр тяжести находится посередине стержня . С учётом того что и , звено механизма движется поступательно. Поэтому из основной теоремы поступательного движения следует, что

и .

Скорость м/с; направлен в сторону .

Ускорение ,

где м/с²; направлен в сторону ; м/с²; направлен по к оси вращения .

Тогда м/с².

Вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

Следовательно, м/с; м/с².Векторы и направлены параллельно соответственно векторам и .

 

Пример 3. Диск начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, сделав за первые две секунды 10 оборотов. Определить угловую скорость , угловое ускорение диска при с.

При решении задач на частные случаи вращения тела необходимо записать выражения, по которым определяются угловая скорость и угол поворота для случая вращения тела, рассматриваемого в конкретном примере. Поскольку в данном примере диск вращается равноускоренно, то

и .

По условию задачи , , так как вращение диска начинается из состояния покоя. Тогда в рассматриваемом случае

, .

Угол поворота , где оборотов. Тогда угловое ускорение

рад/с².

При угловая скорость диска рад/си рад/с.

 

Пример 4. Тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением рад/с². Определить законы изменения угловой скорости и угла поворота тела, считая, что вращение начинается из состояния покоя и угол поворота отсчитывается от начального положения тела.

Данный пример относится к общему случаю вращения твёрдого тела, поэтому законы изменения и находим по выражениям (1.12) и (1.13)

, .

По условию задачи , .

Тогда угловая скорость тела

.

Закон вращения тела: .