ГЛАВА 2. Моменты сил относительно точки

И ОСИ. ПАРА СИЛ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ПЛОСКАЯ

ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ

 

В главе даны понятия моментов силы относительно точки и оси, изложены основные положения теории и методики решения задач на плоскую и пространственную систему сил.

 

Момент силы относительно точки

 

Моментом силы относительно некоторой точки О называют скалярную величину, равную взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на плечо h (рис. 23):

(2.1)

Момент имеет знак "+", если сила вращает тело относительно точки 0 против хода часовой стрелки, "-" – по ходу часовой стрелки.

Точка О, относительно которой находится момент, называется моментной точкой.

Плечом h силы относительно моментной точки О называется перпендикуляр, опущенный из точки О на линию действия силы .

Свойства момента силы относительно точки:

1) не меняется при переносе силы вдоль её линии действия;

2) , если h = 0, т.е. если моментная точка О находится на линии действия силы;

3) численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ, основание которого – сила , а вершина – моментная точка О (заштрихован на рис. 25):

.

Момент силы измеряется в системе СИ в ньютон-метрах (Н·м). При определении момента силы относительно точки в задачах часто удобно силу разложить на её составляющие по осям Ox и Oy и отдельно найти момент каждой составляющей относительно той же моментной точки. Справедливость такого способа определения момента вытекает из теоремы Вариньона о моменте равнодействующей. При разложении силы на составляющие необходимо, чтобы каждая из них была приложена в той же точке, что и сила .

Найдём, например, момент силы относительно точки А (рис. 24), если АВ = 0,3 м, ВС = 0,5 и α = 60°, F = 10 Н. По определению момента силы относительно точки Поскольку плечо силы определять в данной задаче неудобно, представим силу в виде , где , – соответственно горизонтальная и вертикальная составляющие, приложенные в той же точке С, что и сила . Тогда плечо силы относительно точки А равно AB, силы – ВС.

 

 

Момент силы относительно точки как вектор

 

Момент силы относительно точки О можно представить в виде вектора .

Вектор (рис. 25) приложен в моментной точке О перпендикулярно плоскости, проходящей через линию действия силы и моментную точку О (плоскость ОАВ на рис. 25), и направляется в ту сторону, откуда вращение тела под действием силы относительно точки О представляется происходящим против хода часовой стрелки. Модуль вектора равен моменту силы относительно точки О:

. (2.2)

Справедливо следующее векторное равенство:

(2.3)

где – радиус-вектор, проведенный из моментной точки О в точку А приложения силы .

Из векторного равенства (2.3) можно определить модуль (2.2) и указанное направление вектора .

 

Момент силы относительно оси

 

Момент силы относительно некоторой оси z равен моменту проекции этой силы на любую плоскость, перпендикулярную оси z (например, плоскость Оху на рис. 26), относительно точки встречи оси с плоскостью – точки О:

где – проекция силы на плоскость Охy, перпендикулярную оси z (рис. 26).

Момент силы относительно оси считается положительным, если вращение тела силой происходит против хода часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по ходу часовой стрелки (если смотреть на тело с положительного направления оси Оz).

Из определения момента силы относительно оси следует:

1) , если сила параллельна оси (так, на рис. 26 составляющая силы F момента относительно этой оси не даёт);

2) , если линия действия силы пересекает ось Oz.

Объединяя эти два свойства, можно сказать, что , если сила и ось Oz находятся в одной плоскости.

Пример

По диагонали KN (рис. 27) параллелепипеда, размеры которого указаны на рис. 27, действует сила F = 10 Н. Найти моменты этой силы относительно координатных осей.

 

Решение

Для определения момента силы относительно оси Ох вектор силы проектируем на плоскость Oyz, перпендикулярную оси, получаем и находим момент составляющей относительно точки О – точки встречи оси Ox с плоскостью Oух

 

(H×м).

Знак "минус" момента взят потому, что сила вращает тело относительно точки О по часовой стрелке, если смотреть на тело с положительного направления оси Ox.

Момент силы относительно оси Oy , так как сила пересекает ось Оу.

Для определения момента силы относительно оси Oz вектор силы проектируем на плоскость Oxy, перпендикулярную оси Oz, получаем и находим момент составляющей относительно точки О – точки встречи оси Oz с плоскостью Oxy

(Н×м).

Знак "плюс" момента взят потому, что сила вращает тело относительно точки O против хода часовой стрелки, если смотреть на тело с положительного направления оси Oz.