Динамика точки и твёрдого тела

ДИНАМИКА ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА

 

__________________________________________________________

Глава 9.

Динамика точки.

Вопросы для самопроверки.

1. Напишите векторную формулу динамики относительного движения точки, что такое силы инерции.

2. Напишите векторную формулу силы сопротивления среды, прокомментируйте введенные обозначения.

3. Напишите в самом общем виде дифференциальные уравнения движения точки (в декартовой системе координат).

4. Напишите дифференциальные уравнения движения точки в осях натурального триэдра.

5. Сколько (и какие) необходимо задать начальных условий для определения движения точки (в декартовой системе координат)?

6. С какой абсолютной скоростью сойдет колечко со стержня, если его длина равна L, начальное положение , угловая скорость вращения стержня ω. Стержень перпендикулярен оси вращения.

7. В чем разница между прямой и обратной (основной) задачами динамики?

8. Напишите уравнение относительного равновесия точки..

9. Составьте дифференциальное уравнения относительного движения колечка по стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω, трение не учитывать.

10. Чему равно время движения точки на участке горизонтального

прямолинейного движения, если начальная скорость , а конечная ? Сила сопротивления среды равна .

11. Чему равен путь, пройденный точкой, на участке горизонтального прямолинейного движения, если начальная скорость , а конечная ? Сила сопротивления среды равна .

Глава 10.

Количество движения системы.

Кинетический момент системы и твёрдого тела.

 

Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.

Напомним, что момент количества движения системы или кинетический момент определяется выражением

,

Продифференцируем написанное выражение по времени

Первое слагаемое равно нулю как векторное произведение равных векторов (ведь ), а второе, с учётом (3.14) получается равным

В правой части первое слагаемое – главный момент внешних сил, а второе- главный момент внутренних сил, который равен нулю. Итак, окончательно имеем

(3.21)

Это соотношение выражает теорему об изменении кинетического момента: векторная производная по времени от главного момента количества движения системы равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе. Равенство нулю главного момента внутренних сил приводит к заключению, что внутренние силы не могут влиять на измене­ние кинетического момента системы.

Формула (3.21) оказываются существенно необходимой при изучении динамики враща­тельных движений твердого тела или системы тел. С помощью этих двух фундаментальных законов

(3.22)

можно получить дифференциальные уравнения движения твёрдого тела и системы тел. В разделе статика указывалось, что необходимыми и достаточными условиями равновесия являлись равенство нулю главного вектора и главного момента сил. Уравнения (3.22) можно переписать в форме, похожей на уравнения статики виде

Эти уравнения называются уравнениями кинетостатики, где индекс a обозначает активные силы и моменты активных сил, «r»– силы реакций и моменты сил реакций, а индекс «»- силы инерции и моменты сил инерции, которые равны

, .

Вопросы для самопроверки.

1. Векторная формула кинетического момента системы точек.

2. Теорема об изменении кинетического момента.

3. Дайте определения центральной и главной оси инерции.

4. Чему равен момент инерции цилиндра относительно его продольной оси симметрии?

5. Напишите векторное выражение для кинетического момента тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (варианты- 0X, 0Y, 0Z).

6. Напишите формулу Гюйгенса.

7. Как изменится центробежный момент инерции Jyz при переходе от старой оси OZ к новой, пересекающей ось 0Y на расстоянии l.

8. Напишите формулу тензора инерции относительно выбранного центра (в диадной форме).

9. Как записать момент инерции относительно оси, заданной ортом , если известен тензор инерции (в общем виде).

10. Как записать центробежный момент инерции относительно осей, заданными ортами и , если известен тензор инерции (в общем виде).

11. Чему равен кинетический момент относительно оси, если , а тензор инерции .

12. Чему равен центробежный момент инерции относительно осей, заданными ортами , тензор инерции .

 

Глава 12.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси (ось вращения главная).

2. Что такое статическая и динамическая уравновешенность тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

3. Напишите дифференциальные уравнения плоского движения тела.

4. Напишите уравнения кинетостатики. Прокомментируйте введённые обозначения.

5 Чему равна сила трения цилиндра, катящегося по шероховатой поверхности (разберите два случая).

6. Сколько степеней свободы имеет свободное тело, какими обобщенными координатами можно описать его движение?

7. Чему равна приведённая длина однородного стержня длины l, колеблющегося вокруг горизонтальной оси (разберите разные случаи крепления оси: в конце стержня, на расстоянии 1/4 l от конца стержня и т.д.)

8.Как изменится угловая скорость вращения стержня длины L и массы M1, если груз массы М переместится из положения h на конец стержня.

9. Определите период колебаний двух стержней, показанных на рисунке, относительно горизонтальной оси.

10. Напишите формулу Гюйгенса.

11. Как изменится центробежный момент инерции Jyz при переходе от старой оси OZ к новой, пересекающей ось 0Y на расстоянии l.

12. Определить ускорение груза и натяжение нити в указанном примере..

 

Глава 13.

Работа силы. Мощность.

Для характеристики действия силы на материальную точку на

Рис 61

протяжении некоторого пути вводится мера этого действия, назы­ваемая работой силы. Сначала введем в рассмотрение понятие элементарной работы (рис 61). Будем определять положение точки М на кривой дугой s, от­считываемой от точки . Вектор-радиус точки М будет вектор-функцией от s. Работа силы на этом элементарном перемещении, или элемен­тарная работа определится выражением

Если сила перпендикулярна к перемещению, то cosα = 0 и работа равна нулю; если сила направлена по перемещению cosα = l и работа равна произведению величины силы на величину перемещения, и, наконец, если сила направлена против движения, то cosα = - 1 и произведе­ние уже берется со знаком минус. Таким образом, в определении работы учитывается зависимость эффекта действия силы от направ­ления ее по отношению к перемещению. Измеряется работа в килограммометрах (кгм) в технической системе единиц, в эргах (дина см) или джоулях ( эргов) - в физи­ческой системе. В общем же случае выражение не представляет полного дифференциала и символ следует по­нимать только как символ бесконечно малой величины, а отнюдь не дифференциала. В дальнейшем будет выяснено наличие частных классов сил, элементарная работа которых является полным дифференциалом некоторой функции от координат точки. Работа силы на конечном перемещении определиться интегралом

Интегрирование в полученном выражении производится по величинам, отнесенным к бесконечно малым дугам кривой . Поэтому этот интеграл называется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги кривой от точки до точки . Такие интегралы (они называются криволинейными) часто встречаются в различных вопросах механики, гидроди­намики и электродинамики.

Рассмотрим несколько примеров, когда вычисление работы может быть сведено к вычислению простого определенного интеграла:

1. если движение происходит по прямолинейной оси, например по оси Ох, и сила являлась функцией одного только х, то элемен­тарная работа действительно представляет дифференциал .

2. Предположим, что движение точки задано уравнениями и, кроме того, задан закон изменения силы в зависимости от изме­нения времени, координат и скорости. Тогда, написав выражение элементарной работы через проекции силы и перемещения на оси и подставив их выражения через время t, получим ,где Ф (t) - известная функция времени. Чтобы найти работу на пути , надо взять интеграл

, где - моменты, соответствующие прохождению движущейся точкой положений и . Задача свелась к вычислению опреде­ленного интеграла по аргументу t.

3. Область пространства, в каждой точке которого одно­значно определена некоторая функция, будем называть полем; в зависимости от того, будет эта функция скалярной, векторной или тензорной величиной, поле будет скалярным, векторным или тензорным. Так, скалярным полем будет тем­пературное поле, когда вокруг источника тепла (нагретого тела) в каждой точке окружающей это тело среды будет свое значение температуры. Для движущейся сплошной среды (жидкость, газ) поле скоростей точек этой среды явля­ется примером векторного поля. Примером тензорного поля может служить малая деформация среды — в каждой точке среды относительные удлинения и углы сдвига образуют не­который тензор, называемый тензором малых деформаций. Силовым полем называется область пространства, в каж­дой точке которой определен вектор силы , действующий на помещаемое в эту точку материальное тело. Силовое поле называется потенциальным, если сила пред­ставляет собой градиент скалярной функции. Рассмотрим свойства потенциальных силовых полей. По определению

, (3.91)

где оператор «набла» в декартовой системе координат равен

Здесь П = П(x, у, z) - потенциальная энергия (или по­тенциал) силового поля. Тогда

а это, в свою очередь, означает, что дифференциальная форма (элементарная работа)

(3.92)

в рассматриваемом случае будет полным дифференциалом. Итак, элементарная работа потенциальной силы является полным дифференциалом. Интегрируя соотношение (3.92) на конечном участке дви­жения точки (от до , получим выраже­ние для работы на конечном участке пути

Правая часть полученного выражения зависит только от положе­ния (координат) начальной и конечной точек и, следователь­но, работа в потенциальном силовом поле не зависит от вида пути. Рассмотрим поверхность равного потенциала П (х, у, z) = const. Сила направлена по нормали к поверхности равного потен­циала; знак «минус» в формуле (3.91) указывает, что потен­циальная сила направлена в сторону убывания потенциаль­ной энергии. Надо отметить, что потенциальная энергия была введена дифференциальным путём и поэтому определена с точностью до аддитивной постоянной; эта постоянная будет зафиксирована, если условиться об отсчёте потенциальной энергии от некоторого начального уровня. Желая охарактеризовать работу с точки зрения времени, в тече­ние которого она производится, вводят понятие мощности, как отно­шения произведенной работы к протекшему времени или как работу, отнесенную к единице времени. Обозначая мощность через N, можем написать:

Мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости. За единицу мощности можно принять любую единицу работы, отнесенную к единице времени, т. е. эрг/сек, джоуль/сек, кГм/сек; обычно за единицу мощности принимают следующие единицы:

1 ватт= эрг/сек = 1 джоуль/сек = 0,102 кГ м/сек,

1 киловатт =103 ватт= эрг/сек= 102 кГ м/сек,

1 кГ м/сек =9,807 ватт,

1 л. с. (HP) = 75 кГ м/сек = 0,736 киловатт.

Иногда принято работу измерять в единицах мощности, умно­женных на единицу времени, т.е. в ватт • сек, в киловатт-часах и т.п.

 

Примеры вычисления потенциальной энергии и работы

Сил.

 

1. Потенциальная энергия силы тяжести вблизи поверхно­сти Земли. В большинстве технических задач можно считать поверхность Земли плоской, а силы тяжести, являющиеся ре­зультатом притяжения тел Землей, направленными по вер­тикали вниз и не изменяющимися в различных точках около­земного пространства. Рассмотрим отдельную тяжелую точку; для нее (ось z направлена по вертикали вверх) и элементарная работа определится выражением: , где Р - сила тяжести (вес) рассматриваемой точки. С другой стороны, по уравнению (3.92), имеем . Таким образом, d П = Pdz = d(Pz) и потенциальная энергия силы тяжести представляется формулой П = Pz + С. Для системы N тяжелых точек элементарная работа най­дется суммированием отдельных элементарных работ сил тяжести точек системы

.

И в этом случае П = . Здесь Р - общий вес системы, a - координата ее цен­тра тяжести.

Рис 62

2. Потенциальная энергия упругой деформации. Здесь будет исследован случай линейной теории упругости, когда материал подчиняется закону Гука. Рассмотрим упругую пружину дли­ны , один конец которой закреп­лен неподвижно (рис 62), а к другому под­вижному концу прикреплена точка массы ; при растяжении (или сжатии) пружины ее длина будет равна , а на массу действует сила, пропорциональная удлинению пружины . Помещая начало координат на конце недеформированной пружины, направим ось х по движению массы ; обозначая через с коэффициент жест­кости пружины, имеем

Fx =- сx, Fy = Fz = 0,

но , откуда, интегрируя, получаем

(3.93)

Рис 63

Произвольная постоянная в выражении (3.93) отброшена, так как потенциальная энергия деформации недеформированной пружины, естественно, принимается равной нулю. В эту же схему укладывается решение задачи о продоль­ной деформации (растяжении или сжатии) призматического стержня. Появляющиеся при нагружении стержня продольными сила­ми N нормальные напряжения пропорциональны относи­тельному удлинению ; здесь Ω - площадь поперечного сечения, - первоначальная длина стержня. Коэффициентом пропорциональности служит мо­дуль нормальной упругости (модуль Юнга) Е, поэтому , и, таким образом, упругая сила, с которой деформирован­ный стержень действует на прикрепленную к его концу массу, будет определяться формулой

Координатой х здесь является удлинение стержня , и коэффициент жесткости с, входящий в выражение (3.93) для потенциальной энергии деформации, в этом случае будет равен

Рис 64.

При изгибе балки за координату х принимается прогиб f в некоторой точке, а жесткость с зависит от размеров про­лета, расположения внешней нагрузки и условий закрепле­ния балки. Так, для балки на двух шарнирных опорах, на­груженной посредине пролета сосредоточенной силой Р, жесткость следует вычислять по формуле , где - длина пролета, а - момент инерции по­перечного сечения балки. Для консольной балки будем иметь . Формула (3.93) теперь дает потенциальную энергию де­формации изгиба балки.

При кручении круглого цилиндра имеет место аналогич­ный результат. Пусть к торцам сплошного цилиндра из упругого материала приложены крутящие моменты М; размеры цилиндра: длина и радиус R считаются известными, ось z направлена по оси цилиндра. Угол закручивания на единицу длины цилиндра определяется формулой , где Mz есть упругий момент, создаваемый касательны­ми напряжениями в поперечном сечении цилиндра; G — модуль сдвига; -полярный момент инерции сечения. Та­ким образом, момент внутренних сил, действующих в сечении цилиндра, пропорционален углу поворота сечения ; элементарная работа этого момента на угле поворота будет полным дифференциалом:

Интегрируя последнее соотношение, получаем потенци­альную энергию кручения круглого стержня в виде , аналогичном (3.93), причем жесткость стержня на кручение, как это следует из проделанных вычислений, равна .

В приведенных примерах поведение упругой системы опи­сывалось одной координатой; возможны и более сложные (случаи, например, при одновременном растяжении, изгибе и кручении консольного стержня потенциальная энергия выражается соотношением

.

3. Работа сил, приложенных к твёрдому телу.

Пусть силы ……., приложены к твердому телу в точках ……., . Выбирая произвольную точку тела О за полюс и обо­значая вектор-радиус -й точки тела , получим: , т. е. перемещение точки равно геометрической сумме пере­мещения полюса и перемещения поворота вокруг полюса ( - бесконечно малый вектор поворота). Тогда элементарная работа силы запишется в форме:

.

Второе слагаемое, согласно свойству скалярно-векторного про­изведения, может быть переписано в виде

.

Элементарная работа всех сил будет

Обозначая через - главный вектор системы сил, через - ее главный момент относительно полюса О, получим

(3.92а)

В частном случае поступательного движения твердого тела , где - элементарное перемещение, одинаковое для всех точек тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это будет ось Oz), выбирая за полюс точку, лежащую на оси вращения, получим .

В случае плоского движения твердого тела имеем

где через обозначен главный момент системы сил относительно оси Oz, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через полюс О.

4. Работа внутренних сил, приложенных к твердому телу, выражается через главный вектор и главный момент этих сил. Работа внутренних сил взаимодействия частиц твердого тела равна нулю, так как главный вектор и главный момент этих сил равны нулю.

Q

Рассмотрим задачу о качении цилиндра по шероховатой поверхности (рис 65). Составим выра жение для элементарной работы

В этой формуле - перемещение центра диска, - поворот колеса (здесь по часовой стрелке). Перепишем полученное выражение

.

Если диск катится без скольжения, т.е. мгновенный центр скоростей находится в нижней точке диска, то и работа силы трения скольжения равна нулю и . Если диск катится с проскальзыванием, то , так как в этом случае , где f - коэффициент трения скольжения диска о поверхность.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте теорему Кенига.

2. Кинетическая энергия тела при плоском движении (две формулы).

3. Чему равна кинетическая энергия катящегося однородного цилиндра?

4. Напишите формулу работы упругой силы.

5. Напишите формулу работы сил, приложенных к твердому телу (общий случай).

6. Напишите формулу кинетической энергии тела в самом общем случае (через тензор инерции).

7. Теорема об изменении кинетической энергии (две формулировки).

8. Какой путь пройдет центр однородного цилиндра, катящегося по наклонной плоскости, чтобы его скорость возросла в два раза, Коэффициент трения качения равен К. Радиус цилиндра R, угол наклона плоскости α.

9. Чему равна потенциальная энергия физического маятника, состоящего из кольца радиуса -- R, массы m1 и стержня длины l массы m2, если он отклонен от вертикали на угол φ.

10. Чему равна кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, если , а тензор инерции

11. По каким формулам вычисляется работа сил, приложенных к твердому телу при: поступательном движении, вращении тела вокруг неподвижной оси, плоском движении?

 

 

РАЗДЕЛ ЧЕТВЁРТЫЙ

 

Возможные перемещения.

 

Обобщенные координаты представляют функции вре­мени, определяемые интегрированием при заданных начальных усло­виях дифференциальных уравнений движения, выражающих законы механики. Этой совокупностью функций времени определяется истинное движение системы. Дифференциалы обоб­щенных координат представляют их бесконечно малые изменения в истинном движении, пропорциональные промежутку времени dt: .

При формулировании общих положений механики оказывается полезным ввести в рассмотрение бесконечно малые величины иной при­роды. Отвлекаясь от движения, зададимся вопросом, какое множество конфигураций в этот момент времени допускают связи системы. Если ограничиться рассмотрением конфигураций бесконечно близких к истинным и через обозначить бесконечно малые приращения обобщенных координат, называемые их вариациями, то упомянутое множество определится совокупностью величин

где в случае голономной системы вариации совершенно произ­вольны. Мы можем сказать, что в момент t связи такой системы, имеющей n степеней свободы, допускают конфигураций.

Рассмотрим точку системы , задаваемую вектор-радиусом . Изменение за промежуток времени dt определяется дифферен­циалом

(4.2)

представляющим бесконечно малое перемещение точки в истин­ном движении системы. Ему противопоставляется виртуальное или возможное перемещение точки , обозначаемое . Этот беско­нечно малый вектор представляет изменение вектор-радиуса точки при мысленном переведении системы из рассматриваемой конфигура­ции в одну из () допускаемых связями бесконечно близких конфигураций; он вычисляется в фиксированный момент t с точностью до первых степеней относи­тельно вариаций :

(4.3)

Если связи не зависят от времени, то в выражении (4.2) отпадает последнее слагаемое. Дифференциалы связаны теми же соотношениями, что и ва­риации ; и истинное перемещение

принадлежит множеству виртуальных или возможных перемещений. В случае же нестационарных связей сравнение выражений (4.2) и (4.3) показывает, что не принадлежит этому множе­ству. Мы в дальнейшем считаем термины «виртуальный» и «возможный» синонимами, так как второй достаточно хорошо передает содержание французского слова virtuel. Сказанное о вектор-радиусе распространяется на любую функцию обобщенных координат и времени . Дифферен­циал ее - это приращение функции в процессе движении за проме­жуток времени dt:

а вариация

- бесконечно малое изменение, обусловленное переходом в фикси­рованный момент времени к бесконечно близкой конфигурации системы.

Рассмотренный в этом параграфе способ варьирования, заключаю­щийся в сравнении конфигураций системы, допускаемых связями, и фиксированный момент времени t, называется синхронным варьированием. Можно рассмотреть более общую операцию асинхронного варьирования, когда истинная конфигурация в момент t сравнивается с бесконечно близкой, допускаемой связями в момент , отлич­ный от t.

В механике Лагранжа основным понятием являются возможные перемещения, т.е. любые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые связями, которые есть вариации координат или функций. Как указывалось выше дифференциал функции и вариация функции не одно и тоже. Уже само понятие вариация, очевидно, относится к особому методу вычисления, которое и носит название вариационное исчисление, о нём и пойдёт речь ниже.

Кроме задач определения экстремальных значений функций одной или нескольких переменных в технике, экономике и в раз­личных областях науки нередко приходится иметь дело с нахож­дением минимальных или максимальных значений величин осо­бого типа, которые называются функционалами.

Приведем несколько примеров. Функционалом является дли­на кривой, соединяющей две точки и на плоско­сти. Как известно, длина кривой на плоскости, заданной функцией у(х), определяется формулой

и, действительно, зависит от функции у(х). Отметим здесь, что функционалом является и длина пространственной кривой. Примером несколько иного типа является время движения управляемого объекта, зависящее как от формы траектории, так и от управляющего воздействия.

Вариационное исчисление изучает методы, с помощью кото­рых могут быть найдены минимальные или максимальные зна­чения функционалов. Задачи, в которых нужно найти минимум или максимум функционала, называются вариационными зада­чами. Многие законы физики сводятся к утверждению, что некото­рый функционал в изучаемом процессе имеет максимум или ми­нимум. В таком виде эти законы носят название вариационных принципов физики. В качестве примеров можно привести прин­цип наименьшего действия Гамильтона—Остроградского в меха­нике, принцип Ферма в оптике, различные вариационные прин­ципы классической и релятивистской теории поля и многие другие законы физики.

Начало созданию вариационного исчисления положили ис­следования решений задачи о брахистохроне, сформулированной И.Бернулли (1667—1748 гг.) в 1696 году. Он предложил математикам задачу о линии быстрейшего ската. В ней надо найти соединяющую две точки не лежащую на одной вертикали линию, обладающую тем свойством, что точка скатится из точки в точку за кратчайшее время. Оказалось, что линией быстрейшего ската оказалась циклоида.

Вариационное исчисле­ние оформилось в самостоятельную математическую дисциплину со своими методами исследования благодаря фундаментальным работам действительного члена Петербургской Академии наук Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.). Л. Эйлера можно считать созда­телем вариационного исчисления.

В чём разница нахождения экстремума гладкой функции одной переменной и экстремума функционала вида . Для читателя незнакомого с дифференциальным исчислением можно предложить такой способ: взять некоторое значение координаты и сосчитать , затем взять и определить . Если , то мы на правильном пути. Берём следующее значение и продолжаем наши вычисления до тех пор, пока не достигнем максимума функции. Для читателя, знакомого с дифференциальным исчислением, максимум функции, если он существует, определяется из условия равенства нулю первой производной заданной функции. Совсем иное найти непрерывную функцию у(х), удовлетворяющую граничным условиям и , которая сообщает, например, минимум указанного выше функционала. Здесь уже надо рассматривать различные функции, отличающиеся друг от друга. Для читателя незнакомого с вариационным исчислением можно предложить такой способ: взять некоторую функцию и сосчитать интеграл . Возьмём новую функцию , мало отличающуюся от и снова сосчитаем интеграл . Если < , то можно перейти к следующему приближению и т.д. Правда, в этом случае неизвестно, когда надо остановиться. Для читателя, знакомого с вариационным исчислением, минимум функционала, если он существует, определяется из условия равенства нулю первой вариации заданного функционала. Но в отличии от максимума функции, который определятся нахождением одной точки, первая вариация функционала приводит к уравнению Эйлера

 

(4.4)

после подстановки функции в это уравнение получаем дифференциальное уравнение второго порядка, уравнение экстремалей, решение которого, если оно существует, и