Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на систему действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой случай периодической возмущающей силы Q(t), изменяющейся по гармоническому закону: Q(t) = Н sin (pt+α), где Н —амплитуда, р — частота, α — начальная фаза возмущающей силы. При наличии возмущающей силы дифференциальное уравнение движения будет иметь вид или, если разделить обе части на а, (5.14) где, как и раньше, — частота свободных колебаний, а . Общий интеграл дифференциального уравнения (5.14), как известно, является суммой общего интеграла соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний, и какого-либо частного решения уравнения (5.14): , причем . Частное решение ищем в виде: Подстановка в (5.14) приводит к соотношению , откуда при находим . Общий интеграл уравнения (3.63) будет: Правая часть этого равенства представляет результат наложения свободных колебаний на колебания, происходящие с частотой возмущающей силы и называемые вынужденными колебаниями. Если k>p, т. е. частота собственных колебаний больше частоты возмущающей силы, то вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая сила; при k<p вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на π. Отметим, что амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий движения. Зададимся вновь начальными условиями: при t =0 и пусть (для упрощения выкладок) α =0. Тогда постоянные интегрирования выразятся через начальные данные так: и решение уравнения (5.14) приведется к окончательному виду (5.15) Составное движение, представленное формулой (5.15), можно рассматривать как результат сложения: 1) свободных колебаний точки,
которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, (первые два слагаемые), 2) колебаний, вызванных возмущающей силой, с собственной частотой k (третье слагаемое) и, наконец, 3) вынужденных колебаний с частотой возмущающей силы (последнее слагаемое). Если частота возмущающей силы р совпадает по величине с частотой собственных колебаний k, то возникает явление резонанса. При резонансе возмущающая сила действует «в такт» с собственными колебаниями точки, что приводит к особенно интенсивному ее раскачиванию. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть начальные условия нулевые.
(5.16) Устремим р к k; тогда при p=k, имеем неопределенность вида . Раскрывая эту неопределенность по известному правилу Лопиталя, найдем: В случае резонанса (p = k) движение системы определяется полученным выражением, содержащим в числе составляющих колебаний характерное для резонанса слагаемое в котором время t стоит множителем перед косинусом. Благодаря наличию этого множителя, , переходя от положительных значений к отрицательным, будет вместе с тем неограниченно возрастать, колебания при резонансе происходят с возрастающей пропорционально времени амплитудой. График резонансного колебания показан на рисунке 72. Явление резонанса, сопровождающееся колебаниями весьма большой амплитуды, может служить причиной разрушения конструкции или создавать в ней опасные напряжения. Точное совпадение частот собственных и вынужденных колебаний в технических приложениях практически невозможно (они могут совпадать с точностью измеряющих приборов). Поэтому рассмотрим случай, когда эти частоты очень близки. Будем считать (5.17) Тогда формулу (5.16) можно переписать так По известной формуле тригонометрии , с учётом соотношений (5.17), перепишем полученную формулу в виде . Здесь D(t) –амплитуда колебаний системы с периодом колебаний . График полученных колебаний представлен на рисунке (73), здесь . Такие колебания называются биениями системы, при стремлении получаем график резонансной кривой (рис 72)
Рассмотрим пример, разобранный в этом параграфе, но добавим возмущающую гармоническую силу , действующую на груз m. Для нахождения обобщённой силы составим выражение для элементарной работы Обобщённая сила зависит от обобщённой координаты φ, необходимо и здесь определить её значение для положения устойчивого равновесия, т.е. при φ =π/3. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется в виде или здесь . Решение полученного дифференциального уравнения приведено выше.
|
|||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 351; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.11.34 (0.006 с.) |