Вывод уравнения Лагранжа второго рода.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют дифференциаль­ные уравнения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в независимых обобщенных координатах, — их обычно и называют урав­нениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно редко. Рассмотрим систему с n степенями свободы, подчиненную идеальным голономным связям. Положение системы в пространстве будем определять n независимыми обобщенными координатами . Вектор-радиус любой точки системы может быть выражен через обобщенные координаты и время , а возможные перемещения определятся как вариации вектор-ради­усов;

.

Так как все обобщённые координаты считаем независимыми, то все представляют произвольные бесконечно малые величины. Докажем предварительно два тождества Лагранжа. Составим выражения векторов скоростей точек системы:

(4.19)

Производные обобщенных координат по времени, т. е. вели­чины называются обобщенными скоростями. Формулы (4.19) показывают, что скорость любой точки линейно выражается через обобщенные скорости, Поэтому, обозначая через к произвольный индекс, изменяющийся от 1 до n, будем иметь:

(4.20)

Это первое тождество Лагранжа. Докажем второе тождество

(4.21)

Для этого, дифференцируя обе части (4.19) по , получим

С другой стороны, составим непосредственно

Сравнивая последние два равенства, убеждаемся в справедливости соотношения (4.21). Обратимся к общему уравнению динамики (4.18) и перепишем его в виде

(4.22)

Первая сумма уже была выражена через обобщенные коорди­наты (4.11); она равна , где Qj — обобщенная сила. Что касается второй суммы в уравнении (4.22), то ее можно пре­образовать, пользуясь (4.9) и меняя порядок суммирования:

(4.23)

скалярное произведение под знаком суммы преобразуется к виду

или по формулам (4.20) и (4.21)):

Подставляя последнее выражение в круглую скобку правой части равенства (4.23) и замечая, что сумма определяет кинетическую энергию системы, получим:

Уравнение (4.18) теперь перепишется так:

(4.24)

Последнее равенство может выполняться при произвольных , только если все круглые скобки равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям Лагранжа второго рода, составленным в независимых обобщенных координатах для системы с голономными связями:

(4.25)

Уравнения (4.25) представляют совокупность n (по числу степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений второго по­рядка с n независимыми обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени. Оператор

(4.26)

носит название оператор Эйлера-Лагранжа. Уравнению Лагранжа второго рода можно дать и другое доказательство. Как указывалось выше, положение любой точки можно представить в виде , где n - число независимых обобщённых координат, равное, в нашем случае, числу степеней свободы системы. Тогда и величину можно представить как направление вдоль координатной линии . Спроектируем основное уравнение динамики точки на это направление

(при этом есть сумма всех сил: внешних и внутренних, действующих на точку) и сложим все полученные проекции.

(4.27)

Справа в выражении (4.27) стоит по (4.11) обобщённая сила, а слева выражение (4.23). Проведя аналогичные преобразования, получаем уравнение Лагранжа второго рода.

.

Пример. Рассмотрим задачу о колебаниях стержня массы m и длины l, подвешенного в точке D к вращающемуся вокруг вертикальной оси АВ стержню АВD. Момент инерции стержня АВD равен J. За обобщённые координаты выберем углы и φ. Кинетическая энергия системы в общем виде запишется в форме

,

Здесь - скорость центра стержня, - вектор угловой скорости стержня, -тензор инерции стержня относительно центра С. Подставив введённые обозначения в формулу для кинетической энергии, получим

Проведя несложные преобразования, запишем кинетическую энергию в виде

Совсем нетрудно получить и выражение для возможной работы сил--момента и силы тяжести .

.

Обобщённые силы будут . Составим уравнения движения с помощью уравнения Лагранжа второго рода:

; обозначим , и , тогда и первое уравнение имеет вид

.

Второе уравнение будет

.

Диссипативная функция.

 

К числу диссипативных сил относятся силы сопротивления дви­жению точек системы, направленные противоположно их скоростям. Мы рассмотрим случай сил сопротивления, представимых в виде

, (4.28)

где — величина скорости точки ; и — положительные функции от обобщенных координат и соответственно от скоростей . По (4.10) и (4.20) (первое тождество Лагранжа) соответствующие этим силам обобщенные силы определяются равенствами

, .

Заметив, что

,

находим

(4.29)

где через Ф обозначена величина, называемая диссипативной функцией

(4.30)

Заметим, что Ф>0, так как подынтегральные функции положи­тельны. Диссипативная функция была введена в классическом труде Релея «Теория звука» для сил сопротивления, пропорциональных первой степени скорости. Здесь это понятие обобщено на силы более общего вида. В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция

(4.31)

будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоро­стей, которую легко выразить через мощность диссипативных сил

(4.32)

Здесь применена теорема Эйлера об однородных функциях. Отметим, что m = 0 соот­ветствует кулонову (сухому) трению, m=1 —силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления.

При составлении обобщенных сил по формуле (4.29) необходимо иметь в виду, что дифференцируются выражения, содержащие модуль обобщенных скоростей. Например, при сопротивлении, пропорцио­нальном четной степени скорости и n =1 (одна степень свободы)

(4.33)

где означает знак функции φ ()= 1, если φ > 0 и =-1, если φ < 0).