Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

(1)

где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни . Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

,

где произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней . Для каждой пары комплексно сопряженных корней в формулу общего решения включаются слагаемые

,

если эти корни простые, и слагаемые

,

если каждый из корней имеет кратность k. Здесь - многочлены степени k-1.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

.

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

,

.

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
0 - корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k

Здесь -многочлены степени s, а - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть - решения уравнений

,

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

.

Пример 2. Решить уравнение , удовлетворяющее условиям .

Решение.

Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение имеет корни , то общим решением соответствующего однородного уравнения является функция:

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида . Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения уравнений

(*)

(**)

соответственно.

Определим частное решение уравнения (*). Правая часть представляет собой произведение многочлена первой степени и . Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем , следовательно, частное решение будем искать в виде:

,

где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:

откуда , а значит

.

Правая часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение уравнения (**) ищем в виде ():

.

Подставляя в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:

Откуда . Поэтому . Согласно принципу суперпозиции, частное решение первоначального уравнения имеет вид:

,

а его общее решение определяется функцией:

.

Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия , получим:

откуда . Значит решение поставленной задачи Коши есть

.

Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде

.

Функции определяются из системы

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение . Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть , решениями которого являются . Тогда общим решением однородного уравнения будет функция . Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде

.

Функции определяются из системы

Решая систему, находим

.

Тогда функция

определяет общее решение исходного уравнения.

 

 

Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Уравнение Эйлера. Это уравнение вида

,

где . Заменой (при ) уравнение сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде . Для нахождения r получают характеристическое уравнение. Простому корню характеристического уравнения соответствует решение , а m - кратному корню - m линейно независимых решений вида . Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни кратности , то уравнение Эйлера имеет линейно независимых решений вида

,

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Решение будем искать в виде , для нахождения r получаем характеристическое уравнение

,

решая которое, находим . В итоге получаем общее решение исходного уравнения

.

2. Уравнение Лагранжа. Это уравнение вида

,

где . Заменой уравнение Лагранжа сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Решение будем искать в виде , для нахождения r получаем характеристическое уравнение

,

решая которое, находим . В итоге получаем общее решение исходного уравнения

.

3. Уравнение Чебышева. Это уравнение вида

.

Заменой (при ) уравнение Чебышева сводится к уравнению

.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

Заменой исходное уравнение сводится к

.

Решая которое, и переходя к старым переменным получаем общее решение данного уравнения

.