Метод интегрирующего множителя.

Умножим обе части уравнение (1) на функцию , где определяется по формуле (4). Учитывая, что , уравнение (1) перепишется в виде

.

Интегрируя последнее уравнение, получим

,

где - произвольная постоянная.

Общее определение интегрирующего множителя вместе с некоторыми методами интегрирования, основанными на этом понятии имеется, например, в учебниках[1,3].

Пример 3. Решить задачу Коши , .

Решение.

Перепишем уравнение в нормальной форме

. (5)

Для полученного уравнения интегрирующий множитель ищем в виде , где вычисляется по формуле

,

следовательно, . Умножив уравнение (5) на , получим

,

интегрируя последнее уравнение находим

.

В итоге получаем ответ .

Иногда уравнение можно сделать линейным, поменяв местами функцию y и независимое переменное x. Затем решать любым выше изложенным способом относительно x.

Пример 4. Решить уравнение .

Данное уравнение является линейным относительно функции x=x(y), т.е.

.

Общим решением однородного уравнения является функция

.

Полагая C=C(y) и подставляя в неоднородное уравнение, для функции C(y) получаем дифференциальное уравнение

,

следовательно,

,

где - постоянная интегрирования. Итак, решением исходного неоднородного уравнения является функция

.

Некоторые дифференциальные уравнения могут быть сведены к линейным путем замены переменных. К таким уравнениям относятся:

a) уравнение Бернулли

Уравнение вида

(6)

называется уравнением Бернулли.

Пусть функции определены на интервале . При всегда является решением. Для ненулевых решений уравнение Бернулли сводится к линейному заменой

.

Линейное уравнение имеет вид

.

Уравнение Бернулли также можно решать другим способом, а именно, сделав замену в уравнении (6)

,

находим

.

Возьмем в качестве какое-нибудь решение уравнения

.

Для определения тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Разделим данное уравнение на , получим

,

сделаем замену

,

тогда

.

Решая, полученное уравнение одним из выше изложенным способом, находим решение исходного уравнения

,

где - произвольная постоянная.

Решим уравнение , вторым способом. Делая в уравнении замену , находим

.

Функция должна удовлетворять уравнению .

Положим, например, . Уравнение для определения функции примет вид

,

откуда,

.

Перейдя к старым переменным, получаем решением исходного уравнения являются функции

.

b) уравнение Риккати

Уравнение вида

называется уравнением Риккати.

Уравнение Риккати интегрируются в квадратурах лишь в некоторых частных случаях - например, если - постоянны, то переменные разделяются; при с=0 получается уравнение Бернулли. Если удается угадать некоторое частное решение уравнение Риккати, то заменой

оно сводится к уравнению Бернулли. Частное решение удобно подбирать по виду функции с(x).

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

.

Найдем частное решение методом неопределенных коэффициентов, исходя из вида правой части предположим, что функция

удовлетворяет уравнению Риккати. Тогда должно выполняться равенство

,

которое возможно при . Следовательно, функция

является частным решением уравнения Риккати. Чтобы найти общее решение сделаем замену

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение Бернулли с показателем n=2:

.

Далее, полагая

,

приводим уравнение Бернулли к линейному неоднородному уравнению

,

решением которого является функция

.

Перейдя к старым переменным, находим

.

При делении на z было потеряно решение

.

Итак, решением исходного уравнения являются функции

.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Уравнение

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

.

Теорема.

Если функции непрерывны в некоторой односвязной области , то условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом функции .

Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (1), то все решения этого уравнения имеют вид , где - произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию нужно воспользоваться равенствами

. (2)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y:

, (3)

где - произвольная дифференцируемая функция. Функция , такая что . Дифференцируя (3) по y, с учетом второго равенства из (2) получаем уравнение для определения :

.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Так как

во всех точках полуплоскости , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию такую, что

. (4)

Проинтегрировав первое равенство из (4) по x, получим:

.

Для нахождения продифференцируем по y полученное соотношение и подставим во второе равенство (4):

.

Тогда откуда, . Значит .

Решение данного уравнения запишется в виде:

.

Для интегрирования уравнений вида (1) иногда применяют метод, состоящий в выделении полных дифференциалов из разных групп слагаемых, стоящих в левой части уравнения. Для выделения полных дифференциалов используют формулы:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Заметим, что в правой части уравнения стоит функция, зависящая от частного , а в левой - выражение, похожее на дифференциал частного. Поэтому, разделив обе части данного уравнения на , получим:

.

Обозначим . Тогда полученное уравнение можно записать в виде:

.

Разделяя переменные, будем иметь:

.

Проинтегрировав, ответ запишем в виде:

.

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида (1) является уравнением в полных дифференциалах. Всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию , называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если интегрирующий множитель уравнения (1), уравнение

является уравнением в полных дифференциалах:

,

т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения

. (5)

Найти функцию из уравнения (5) в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение (5) значительно упрощается.

Случай 1. Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е. , то из (5) имеем

.

Случай 2. Если уравнение (1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е. , то

.

Случай 3. Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель вида , где - известная функция, то

.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель . Поскольку выражение

не зависит от y, то уравнение для определения примет вид

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим общее решение:

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде . Пусть , тогда уравнение для нахождения примет вид

,

интегрируя, которое находим

.

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема.

Если - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что

.

Тогда , где - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Пусть - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

.

Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции

являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции так, чтобы выполнялось равенство

,

то интегрирующим множителем для уравнения

,

очевидно, является функция

.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Для отыскания интегрирующего множителя воспользуемся методом разделения уравнения на два:

.

Нетрудно установить, что интегрирующие множители этих уравнений. а также их интегралы имеют вид:

,

Согласно указанному методу, интегрирующий множитель данного уравнения ищем из соотношения

.

Отсюда

.

Полагая здесь , получаем

,

или

.

Пусть . Тогда

.

Следовательно,

.

Заметим, что для аналогично можно найти

.

В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем ответ

.