Линейные системы с постоянными коэффициентами

Система уравнений вида

, (1)

называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что являются непрерывными функциями на (a,b).

Система дифференциальных уравнений

, (2)

называется однородной. Вводя в рассмотрение векторы и матрицу , уравнения (1),(2) можно представить в векторной форме

, (1')

. (2')

Матрица

, (3)

где - координаты линейно независимых решений (векторов)

...........................

векторного уравнения (2'), называется фундаментальной матрицей этого уравнения. Иногда ее называют матрицей Вронского.

Определитель

,

составленный из частных решений системы (2), называется определителем Вронского. Для того, чтобы матрица (3), где - частные решения системы уравнений (2), была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы при . При этом общее решение векторного уравнения (2') представляется в виде

,

где C - произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет

,

где - какой-нибудь вектор, являющийся частным решением уравнения (1').

Путем исключения неизвестных систему всегда можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией. Этот метод удобен для решений несложных систем.

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Разрешив первое уравнение относительно y и подставив во второе уравнение системы, получаем

.

Корни характеристического уравнения есть . Следовательно, общее решение последнего уравнения будет

.

Подставив значение x в первое уравнение системы, найдем

.

Для решения системы , где x - вектор, A - матрица:

,

надо найти корни характеристического уравнения

.

Каждому простому корню характеристического уравнения соответствует решение , где - произвольная постоянная, - собственный вектор матрицы A, соответствующий этому .

Если для кратного корня имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует решение .

Если для корня кратности k имеется только m линейно независимых собственных векторов, и , то решение, соответствующее этому , можно искать в виде произведений многочлена степени k-m на , т.е. в виде

(4)

Чтобы найти коэффициенты a,b,...,s, надо подставить решение (4) в исходную систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой части уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно a,b,...,s. Надо найти общее решение этой системы, коэффициенты a,b,...,s должны зависеть от k произвольных постоянных, где k - кратность корня .

Найдя для каждого решения указанного вида и сложив их, получим общее решение исходной системы.

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение

, (5)

.

Для простого корня находим собственный вектор , решая систему

находим . Значит собственный вектор есть , и - частное решение исходной системы.

Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При из (5) получаем матрицу

.

Ее порядок n=3, а ранг r=2. число линейно независимых собственных векторов равно . Корень имеет кратность k=2. Так как , то решение надо искать в виде произведения многочлена степени на , т.е. в виде

(6)

Чтобы найти коэффициенты a,b,...., подставляем (6) в исходную систему и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему

Общее решение этой системы есть Таким образом, все неизвестные выражены через c и d. Положив , имеем

Подставив найденные значения a,b,... в (6), и прибавив частное решение, умноженное на , получим общее решение исходной системы:

.

В случае, когда имеются комплексные корни , изложенный способ дает выражение решения через комплексные функции. Если при этом коэффициенты системы вещественны, то можно выразить решение только через вещественные функции. Для этого надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню , являются линейно независимыми решениями.

Пример 3. Решить систему дифференциальных уравнений .

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение

.

Для корня находим собственный вектор :

Можно взять , следовательно, имеет частное решение .

Так как данная система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню , можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения. Так как , то

Общее решение выражается через два найденных линейно независимых решений:

Общее решение системы (2) также можно найти, пользуясь методом Эйлера, который заключается в следующем.

Ищем решение уравнения (2') в виде

,

где - постоянный вектор, - постоянная. Тогда из (2') получаем уравнение , где . Поскольку мы ищем нетривиальное решение, то

.

Это характеристическое уравнение. Пусть - его простые корни. Тогда соответствующие им решения будут

(*)

Векторы , являются решениями уравнений

.

Произвольная линейная комбинация векторов (*)

,

где - постоянные, есть общее решение уравнения (2').

Если же, среди корней характеристического уравнения имеется корень кратности , то соответствующее ему вектор - решение имеет вид

, (**)

где - вектор, удовлетворяющий уравнению .

В этом случае произвольная линейная комбинация векторов (*) и (**) составляет общее решение уравнения (2').

Пример 4. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Согласно методу Эйлера частные решения системы ищем в виде - постоянные.

Подставив предыдущие соотношения в систему, имеем алгебраическую систему

,

из которой в силу не тривиальности искомых решений следует, что определитель

,

или . Корни характеристического уравнения - простые. Следовательно, частные решения, им соответствующие, имеют вид:

Постоянные найдем из системы , . В силу произвольности можем, например, положить, что . Тогда . Таким образом, фундаментальная матрица запишется в виде:

.

Тогда общее решение исходной системы есть .

Чтобы решить систему

не приведенную к нормальному виду, надо составить характеристическое уравнение

и найти его корни. После этого решение отыскивается уже изложенным способом.

Пример 5. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение

.

Для корня находим собственный вектор :

Можно взять , следовательно, общее решение исходной системы выпишется в виде

.

Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами

можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции состоят из сумм и произведений функций . Это делается по тем же правилам, что и для одного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, со следующим изменением. Если , где - многочлен степени , то частное решение неоднородной системы ищется в не виде , а в виде

, (7)

где - многочлены степени m+s с неизвестными коэффициентами, , если - не корень характеристического уравнения, а если - корень, то s можно взять равным кратности этого корня (или, точнее, s на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, на которое умножается в общем решении однородной системы). Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (7) в данную систему и сравнения коэффициентов подобных членов. Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда содержат , а число является корнем характеристического уравнения.

Пример 6. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Для однородной системы находим корни характеристического уравнения

Тогда общее решение запишется в виде

.

В исходной системе для функций числа соответственно равны 3, 3+i, 3+i. Поэтому надо отдельно найти частные решения систем

(8)

(9)

Для системы (8) . Согласно (7), частное решение можно искать в виде

Для системы (9) . Частное решение имеет вид

Отыскав значения коэффициентов a,b,..., общее решение исходной системы запишется в виде

Решение неоднородной системы (7) можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение однородной системы с теми же коэффициентами. Для этого в формуле общего решения надо заменить произвольные постоянные на неизвестные функции . Полученные выражения для надо подставить в данную неоднородную систему, и из этой системы найти .

Пример 7. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Легко найти (хотя бы методом исключения) общее решение соответствующей однородной системы

Для определения общего решения неоднородной системы, согласно методу вариации произвольных постоянных, считаем некоторыми дифференцируемыми функциями. Эти функции найдем из системы уравнений, которая получается в результате подстановки значений x и y в неоднородную систему. Таким образом, мы имеем:

Отсюда находим , где - произвольные постоянные. Подставляя найденные в общее решение однородной системы, имеем общее решение неоднородной системы:

где - произвольные постоянные.

Другой метод решения системы уравнений (2') основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.

Экспонентой матрицы A называется сумма ряда

, (10)

где E - единичная матрица. Свойства матричной экспоненты:

a) если AB=BA, то ;

b) если , то ;

c) матрица является решением матричной задачи Коши: , т.е. является фундаментальной матрицей системы (2').

Из свойства c) следует, что решение x(t) системы (2'), удовлетворяющее условию , определяется выражением . Следовательно, задача нахождения решений системы уравнений (2') эквивалентна задаче отыскания матрицы по матрице A.

Для вычисления матрицы удобно представить матрицу A в виде , где - жорданова форма матрицы A, так как . Так как J - клетка Жордана:

,

то, представив J в виде , где

,

находим, что . Матрицу легко найти с помощью ряда (10), поскольку , где r - размер клетки J, а значит, в нем отличны от нуля только первые r членов.

Пример 8. Вычислить , если

1) 2) .

Решение.

1) По определению матричной экспоненты имеем

Вычислим матрицы :

;

;

.

Отсюда видно, что

Поэтому

.

2) Собственные числа данной матрицы . Найдем такую невырожденную матрицу

,

чтобы , где

.

Для определения матрицы T получаем уравнение

или

.

Отсюда . Одно из решений полученных уравнений есть , поэтому в качестве Tможно взять матрицу

.

Нетрудно убедится, что обратная матрица к матрице T имеет вид

.

Таким образом, справедливо равенство

.

Учитывая равенство , имеем

.

Пример 9. Решить систему дифференциальных уравнений

,

вычислив матрицу .

Решение.

Собственными числами матрицы A являются . Найдем такую матрицу

,

чтобы

.

Отсюда . Одно из решений полученных уравнений есть . Поэтому

.

Учитывая равенство , находим

.

Таким образом, любое решение x(t) данной системы уравнений, проходящее при t=0 через точку , запишем в виде

.

Нелинейные системы

Система дифференциальных уравнений вида

(1)

где - неизвестные функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Существует два основных метода интегрирования систем (1).

1. Метод исключения. Состоит в сведении системы (1) к одному уравнению n -го порядка или к одному уравнению m - го () порядка и к системе m независимых уравнений. Такое сведение достигается путем дифференцирования одного из уравнений системы (1) и последующего использования всех уравнений этой же системы.

Пример 1. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений

.

Решение.

Представим данную систему в виде

,

получаем

.

Третье уравнение системы интегрируется независимо от остальных, и его общее решение имеет вид: . К первым двум применяется метод исключения, в результате чего имеем:

. (2)

Интегрируя последнее уравнение, находим . Подставив x в первое соотношение (2), получим .

Исключая из полученных соотношений параметр t, получаем два независимых первых интеграла исходной системы

.

2. Подбор интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, которое является следствием системы уравнений (1) и интегрируется в квадратурах; например, имеет вид

,

где есть решения системы (10). Функция , которая тождественно равна постоянной при подстановке в нее решений системы (1), называется первым интегралом системы (1).

Если имеется k первых независимых интегралов

(3)

(интегралы называются независимыми, если между функциями не существует связи вида ), то из системы (13) можно выразить k неизвестных функций через остальные. Подставив их в систему (11), придем к задаче об интегрировании системы уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если k=n, то все неизвестные функции определяются из системы интегралов (3). Аналитическая форма проверки независимости интегралов имеет вид

,

где - какие-нибудь k - функций из числа неизвестных.

Иногда нахождение интегрируемых комбинаций облегчается с помощью так называемой симметричной формы записи системы уравнений (1):

,

где .

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение.

Пользуясь свойством пропорции, имеем

, (4)

, (5)

. (6)

Из соотношений (4) получаем

.

Из второго соотношения (5)

.

Соотношение (6) дает еще одну интегрируемую комбинацию:

.

В итоге после интегрирования полученных комбинаций получаем три первых интегралов исходной системы

.

Очевидно, что эти интегралы линейно независимы.