Подпространства линейных пространств

Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Теорема 14. Непустое множество элементов В Ì L является линейным подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в₁ и в₂ из В и любого lÎ Р выполняются условия: в₁ + в₂ Î В и l× в₁ Î В.

Доказательство. Þ Если В – линейное подпространство, то условия теоремы, очевидно, выполнены.

Ü Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в Î В. Тогда (–1)× в = – в принадлежит В. Итак, в В для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и в + (– в) тоже принадлежит В, т.е. 0 Î В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно. Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.

Примеры линейных подпространств.

1. Пусть а₁, а₂, …, а_к – любая система векторов из L. Множество всех линейных комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида a₁ а₁ + a₂ а₂ + … + a_к а_к) называется линейной оболочкой данной системы векторов и обозначается á а₁, а₂, …, а_к ñ, или L (а₁, а₂, …, а_к). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы а₁, а₂, …, а_к. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.

2. Множество многочленов степени не выше к (к £ n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.

3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.

5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка n.

Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L.

Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех возможных элементов вида а + в, где а Î А, в Î В. (Обозначение А + В)

Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство. Пусть а₁ + в₁ и а₂ + в₂ – любыедва элемента из А + В. Тогда (а₁ + в₁) + (а₂ + в₂) = (а₁ + а₂) + (в₁ + в₂) Î А + В, так как а₁ + а₂ Î А, в₁ + в₂ Î В. Кроме того l×(а + в) = l× а + l× в Î А + В, так как l× а Î А, l× в Î В. Следовательно, по теореме 14 сумма А + В является линейным подпространством в L.

Теорема 16. Пересечение линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство проведите самостоятельно.

Теорема 17. Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме размерностей слагаемых минус размерность их пересечения.

Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства пространства L. Пусть D = А Ç В. Выберем базис d = (d₁, d₂, …, d _к) в подпространстве D и дополним его векторами е = (е_1, е₂, …, е_m)и f = (f₁, f₂ …, f_s) так, чтобы система (е_1, е₂, …, е_m, d₁, d₂, …, d _к) была базисом в подпространстве А, а система (d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) была базисом в В. Покажем, что система (е_1, е₂, …, е_m, d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) является базисом в подпространстве С. Если с Î С, то с = а + в. Так как а Î А, то а есть линейная комбинация векторов систем е и d. Так как в Î В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f. Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f. Остаётся показать, что система векторов (е_1, е₂, …, е_m , d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) линейно независима. Для этого рассмотрим a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_m е_m + b₁ d₁ + b₂ d₂ +... + b_к d_к + g₁ f₁ + g₂ f₂ + … + g_s f_s = 0. Вектор а = a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_m е_m + b₁ d₁ + b₂ d₂ +... + b_к d_к лежит в подпространстве А. Но в то же время а = – g₁ f₁ – g₂ f₂ – … – g_s f_s. Следовательно, а Î В. Итак, а Î D. Если бы а не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f. Следовательно, – g₁ f₁ – g₂ f₂ – … – g_s f_s = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то g₁= g₂= …= g_s = 0. Но тогда a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_m е_m + b₁ d₁ + b₂ d₂ +... + b_к d_к = 0. Так как система векторов (е, d) линейно независима, то отсюда следует, что a₁ = a₂ = … = a_m = b₁ = b₂ = … = b_к = 0. Итак, система (е_1, е₂, …, е_m, d₁, d₂, …, d _к, f₁, f₂ …, f_s) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D.

Изоморфизм линейных пространств

Определение 24. Два линейных пространства L и L¹ над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L¹, что для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия: j(а + в) = j(а) + j(в), j(l а) = lj(а).

Отображение j называется изоморфизмом.

Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.

Определение 25. Два линейных пространства L и L¹ над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L¹, что для любых векторов а и в из L и любых элементов l, m Î Р выполняется условие: j(l а + m в) = lj(а) + mj(в).

Свойства изоморфизма.

1. j(0) = 0¹, где 0 и 0¹ – нулевые вектора в пространствах L и L¹ соответственно.

2. Если а₁, а₂, …, а_к – любая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, …, j(а_к) = а_к¹, то j(a₁ а₁ + a₂ а₂ + … + a_к а_к) = a₁ а₁¹ + a₂ а₂¹ + … + a_к а_к¹.

3. Если а₁, а₂, …, а_к –линейно независимая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, …, j(а_к) = а_к¹, то система векторов а₁¹, а₂¹, …, а_к¹ – линейно независима в L¹.

4. Если а₁, а₂, …, а_к –линейно зависимая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, …, j(а_к) = а_к¹, то система векторов а₁¹, а₂¹, …, а_к¹ – линейно зависима в L¹.

5. Если L – n- мерное линейное пространство, то L¹ – тоже n -мерное линейное пространство.

6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L¹.

Примеры изоморфных пространств.

1. Арифметическое линейное пространство А_n над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.

2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n² над полем Р.

 

V. РАНГ МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранг матрицы

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m ´ n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m- мерныйвектор из m -мерного арифметического пространства А_m. Тогда система столбцов матрицы будет системой m- мерныхвекторов а₁ = (а₁₁, а₂₁, …, а_m1), а₂ = (а₁₂, а₂₂, …, а_m2), …, а_n = (а_1n, а_2n, …, а_mn).

Определение 26. Столбцевым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n -мерный вектор из n- мерного арифметического пространства А_n.

Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а₁, …, а_к, а_к+1, …, а_n. Векторы а₁, …, а_к линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым

а1, …, ак, ак+1, …, аn А =	столбцом с номером к +1, к + 2, …, n и любой строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то это будет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, …, n и любом р, равном 1, 2, …, m.
= 0.	Разложим по последней строке, получим Так как М ¹ 0, то .

Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения А_р1, …, А_рк не меняются при изменении номера строки р. Следовательно, а_s = а₁ – … – а_к. Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы А^Т. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и А^Т один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к- го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от b.

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А₁ = . Из миноров второго порядка только один не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М₁ = При b = 0 матрица А₁ имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М₁ ¹ 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М₁ можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М₂ = . Так как , то М₂ ¹ 0. В матрице А₁ миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A₁ = 3.

Итак, при b = 0 rang A, при b ¹ 0 rang A = 3.

Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.