Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число

Рассмотрим множество M _mn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами.

Определение 7. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.

Если а_рк и в_рк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А + В, то с_рк = а_рк + в_рк.

Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами:

· Сумма любых двух матриц одинаковой размерности определена и однозначна.

· А + В = В + А для любых матриц А и В из M _mn.

· (А + В) + С = А + (В + С) для любых А, В, С из M _mn.

· Матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль нуля при сложении и называется нулевой матрицей. Её обозначают О (А + О = А).

· Если обозначить - А матрицу, все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А, то А + (- А) = О, т.е. матрица (- А) противоположна матрице А. Итак, каждая матрица имеет противоположную.

Определение 8. Произведением матрицы А на действительное (или комплексное) число l называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на l.

Если а_рк – элементматрицы А, то в матрице В элемент в_рк =l×а_рк.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

· Произведение любой матрицы на любое число определено и однозначно.

· 1× А = А для любой матрицы А из M _mn.

· 0× А = О для любой матрицы А из M _mn.

· (l×g)× А = l×(g× А) для любой матрицы А из M _mn и любых чисел l и g.

· (l + g)× А = l× А + g× А для любой матрицы А из M _mn и любых чисел l и g.

· l×(А + В) = l× А + l× В для любых матриц А и В из M _mn и любого числа l.

· Если А - квадратная матрица n-го порядка, то |l А | = lⁿ×| А |.

 

Простые и двойные суммы

Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.

Определение 9. Сумма вида а₁ + а₂ + … +а_n называется простой суммой и обозначается . Следовательно, = а₁ + а₂ + … +а_n.

Свойства простых сумм:

1⁰. , 2⁰. .

Определение 10. Сумма вида называется двойной суммой и обозначается .

Свойства двойных сумм:

1⁰. = ; 2⁰. = .

 

Умножение матриц

Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой получаются следующим образом: каждый элемент р -ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q- го столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в пересечение р- ой строки и q- го столбца матрицы С, т.е. с_рq = (11).

Размерность матрицы С равна m´ к.

Пример 1.

= .

Пример 2. Произведение матриц не определено.

Но даже если А×В и В×А определены, то они не обязаны быть равны.

Пример 3. А×В = ,

А×В = .

В этом примере А×В и В×А определены, но А×В ¹ В×А. Следовательно, для умножения матриц коммутативный закон не имеет места. Можно проверить:

1⁰. Если (А×В) ×С и А× (В×С) определены, то (А×В) ×С = А× (В×С).

2⁰. Если (А + В)× С определено, то (А + В)× С = А×С + В×С.

3⁰. Если А×В определено, то (l А) ×В = l×(А×В).

 

3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.

Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.

Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.

Доказательство. Пусть А = , В = . Составим

С =

матрицу С и вычислим её определитель двумя способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым n строкам. Получим | С |= | А |×| В |. Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на , 2-ой столбец, умноженный на , …, n- ый столбец,

умноженный на . Тогда в (n +1)-м столбце напервых n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы А×В, а на остальных местах – нули.

С1 =

Продолжая аналогичные преобразования с (n +2)-м и т.д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь скр – элементы произведения А×В. Очевидно, | С1 | = | С |. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лаплас) по последним n строкам. Получим | С | = (-1)^n×(-1)^к×| А × В |, где к = 1 + 2 + …+ n + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1)×n. Так как (2n + 1)×n + n = 2(n + 1), то | С | = | АВ |. Итак, | АВ | = | А |×| В | (12).

Если | А | ¹ 0, то матрица А называется невырожденной, если же | А | = 0, то матрица А вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.

Квадратная матрица Е = называется единичной матрицей. Легко проверить, что Е×А = А×Е для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, | Е | = 1.

Определение 11. Матрица В называется правойобратной для матрицы А, если В×А= Е и левой обратной для А, если А×В = Е.

Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) | В |×| А | = | А |×| В | = 1, т.е. матрица А не может быть вырожденной.

Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А^* следующим образом: алгебраические дополнения элементов к -ой строки матрицы А поставим в к -ый столбец матрицы А^*, т.е. А^* = . Матрица А^* называется присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что

А×А^*= А^*×А = = | А |× Е.

Так как | А | ¹ 0, то матрица В = существует и А×В = В×А = Е, т.е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А^-1. Итак, получили

Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле

А^-1= (13)

Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А = .

Решение. Найдём | А | = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.

Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения. А₁₁ = = 14, А₁₂ = = - 6, А₁₃ = = 3, А₂₁ = = 8, А₂₂ = = 2, А₂₃ = = -1, А₃₁ = = 28, А₃₂ = = 16, А₃₃ = = 11. Используя теорему 8, получим А^-1 = .

 

Решение матричных уравнений

Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).

Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А - либо вырожденная, либо прямоугольная.

1) Если А – квадратная и| А | ¹ 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А^-1×В и Х = В×А^-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.

2) А – квадратная матрица, но | А | = 0, либо А - прямоугольная матрица. Если матрица А имеет размерность m´n, а матрица В – размерность р´к, то, при m ¹ р уравнение (14) не имеет решения, а при n ¹ к не имеет решения уравнение (15). Если же m = р, то в уравнении (14) матрица Х должна иметь к столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь р строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.

Пример 5. Найдите матрицу Х, если А×Х = В, где А = , В = .

Из примера 5 следует, что матрица А имеет обратную, поэтому Х = А^-1×В. Используя найденную в примере 5 матрицу А^-1, получим Х = × = = .

Пример 6. Найдите матрицу Х, если Х×А = В, где А = , В = . Так как | А | = 0, то для А обратной матрицы нет.По правилам умножения матриц, в матрице В столько строк, сколько их в матрице Х, и столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается ограничения: в матрице Х должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений. Пусть Х = . Тогда Х×А = . Полученная матрица равна матрице В тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы равны. Получим три системы уравнений. Эти системы не имеют решений, следовательно, не имеет решения и данное матричное уравнение.

 

IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Алгебраические операции

Пусть дано некоторое множество М. Будем говорить, что на множестве М задана внутренняя алгебраическая операция, если задан закон (правило), по которому каждой упорядоченной паре элементов а и в из М ставится в соответствие вполне определённый элемент с. Если при этом для любой пары элементов а, в из М соответствующий элемент с всегда тоже принадлежит М, то М замкнуто относительноданной операции.

Пусть даны два множества М и К. Будем говорить, что на множестве М задана внешняя алгебраическая операция, если задан закон, по которому для каждой пары элементов а Î М, в Î К ставится в соответствие вполне определённый элемент с Î М.

Сложение и умножение действительных чисел – примеры внутренних алгебраических операций на множестве действительных чисел. Умножение вектора на действительное число – пример внешней алгебраической операции на множестве векторов трёхмерного евклидова пространства.

Пусть на множестве элементов Р определены две внутренние алгебраические операции: сложение и умножение: при сложении каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Î Р (с = а + в); при умножении тоже каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Î Р (с = а×в).

Определение 12. Множество элементов Р называется полем, если на нём заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим требованиям (аксиомам):

1. Р замкнуто относительно обеих операций;

2. а + в = в + а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон для сложения);

3. (а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);

4. $ 0 Î Р такой, что а + 0 = а для любого а Î Р;

5. для любого а Î Р существует (- а) Î Р такой, что а + (- а) = 0;

6. а×в = в×а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон);

7. (а×в) ×с = а× (в×с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);

8. $ е Î Р такой, что е×а = а для любого а Î Р (е называетсяединицей и обозначается 1);

9. для любого а Î Р существует а^-1 Î Р такой, что а×а^-1 = е (а^-1 – обратный элемент для а);

10. (а + в) ×с = а×с + в×с для любых элементов а, в и с из Р.

Примерами полей являются множество рациональных чисел (R), множество действительных чисел (Q), множество комплексных чисел (С).

 

4.2. Определение и примеры линейных пространств

Пусть даны множество элементов L и поле Р. Элементы из L будем называть векторами. В качестве поля Р будем использовать поле действительных (иногда – комплексных) чисел. Векторы будем обозначать а, в, …; элементы из Р - a, b, l, …

Определение 13. Множество элементов L называется линейным (векторным) пространством над полем Р, если на L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение их на элементы поля Р, удовлетворяющие следующим условиям:

1. L замкнуто относительно обеих операций;

2. а + в = в + а для любых а и в из L.;

3. (а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а,в и с из L;

4. $ 0 Î L такой, что а + 0 = а для любого а Î L;

5. для любого а Î L существует (- а) Î L такой, что а + (- а) = 0;

6. 1× а = а для любого а Î L;

7. (a×b)× а = a×(b× а) для любого а Î L и любых a, b Î Р;

8. (a + b)× а = a× а + b× а для любого а Î L и любых a, b Î Р;

9. a×(а + в) = a× а + a× в для любых а и в из L и любого a Î Р (дистрибутивный закон).

Примеры: I. L = í 0 ý, Р – любое поле.

II. Множество всех коллинеарных геометрических векторов.

III. Множество всех компланарных геометрических векторов.

IV. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

V. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами.

VI. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами.

VII. Множество всех действительных непрерывных на отрезке [ ав ] функций.