Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов

Пусть даны два линейных пространства L_n и L_m над полем Р. Пусть в L_n зафиксированы базисы е = (е ₁, е₂, …, е_n) и е¹ = (е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹), а в пространстве L_m – базисы

f = (f₁, f₂, …, f_m) и f¹ = (f₁¹, f₂¹, …, f_m¹). Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор, А – его матрица в паре базисов е и f и А¹ – матрица этого же оператора в паре базисов е¹ и f¹. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹, а Q – матрица перехода от f к f¹. Тогда е¹ = е ×Т,

f¹ = f ×Q, j (е) = f ×А, j (е¹) = f¹ ×А¹. Отсюда j (е ×Т) = (f ×Q) ×А¹, j (е)× Т = f × (Q ×А¹). Так как Т – матрица перехода, то она невырожденная, следовательно, существует матрица Т^–1. Из последнего равенства получаем, что j (е) = (f × (Q ×А¹))× Т^–1 = f × (Q ×А¹ × Т^–1). Но j (е) = f ×А. Следовательно, А = Q ×А¹ × Т^–1, или А¹ = Т ×А×Q^–1 (34)

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅. Пусть линейный оператор j: L ₃ ® L₅ задан по правилу j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃) = х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃. Составить матрицу оператора j и найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. Для составления матрицы оператора достаточно найти координаты образов базисных элементов пространства L ₃ в базисе f пространства L₅. По данному правилу получим j (е₁) = 1× а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), j (е₂) = 1× а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), j (е₃) = 1× а₃ = (1, 1, 2, 2, 0). Составим матрицу, столбцами которой являются координаты найденных векторов.

А =

Координаты вектора j (с)можно найти по формуле (33), а именно, х^1 = А × х.

× = .

Итак, j (с) = (5, 23, 0, 24, -7) в пространстве L₅. (Сравните с решением этого же примера в пункте 6.1.)

 

6.5. Линейные преобразования линейного пространства

Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.

j: L ® L

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразованиях, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве L_n зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, …, е_n), то матрица А линейного

преобразования j: Ln® Ln имеет вид А = , столбцы которой – координаты образов

(35) базисных векторов в базисе е (формулы (35).

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j (е) = е ×А.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х¹ = А × х.

4. Если в пространстве L_n зафиксированы два базиса е = (е ₁, е₂, …, е_n) и е¹ = (е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹) и Т – матрица перехода от е к е¹, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А¹ = Т ×А×Т^–1 (36).

Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С^–1×А×С.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства L_n над полем Р в L_n существуют такие базисы е и е¹, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Зафиксируем в L_n какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С^–1 может быть матрицей перехода. Пусть е¹ = е ×С^–1. Тогда преобразование j в базисе е¹ будет иметь матрицу С^–1×А× (С^–1)^–1 = С^–1×А×С = В.

7. dim (j (L_n)) + dim (Kerj) = n.

8. Множество всех линейных преобразований пространства L_n есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство L_n.

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства L_n называется линейным пространством, сопряжённым пространству L_n.

Пространство, сопряжённое L_n, обозначается L_n^*.

9. Пространство L_n^* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (L_n^*) = n ².

 

6.6. Невырожденные линейные преобразования

Пусть L _n – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j: L _n ® L_n – линейное преобразование. Если А –матрица этого преобразования в некотором базисе е, то в любом другом базисе j задаётся матрицей, подобной А, т.е. матрицей вида А¹ = Т×А×Т^–1. Так как матрица Т невырожденная, то rang (A¹) = rang (A).

Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства.

Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется невырожденным, если его ранг равен размерности пространства.

Теорема 36. Линейное преобразование j линейного пространства L_n является невырожденным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1) j (L_n) = L_n; 2) Ker(j) = 0; 3) j – взаимнооднозначное отображение L_n на себя;

4) при преобразовании j различные векторы имеют различные образы.

 

6.7. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Пусть L _n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j: L _n ® L_n – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j (а) = l× а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значением преобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $ l Î Р: j (а) = l× а. Перепишем это равенство в координатах, получим А× х = l× х. Отсюда А× х – (lЕ) × х = О, или (А –lЕ)× х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)× х = О (37). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (37) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(38)	преобразования j Û (х1, х2, …, хn) – ненулевое решение системы (38), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (38) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её
(39)	определитель равен нулю, т.е. имеет место равенство (39). Уравнение (39) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. (Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l₀ Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l₀ система (38) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l₀ будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С^–1×А×С – lЕ | = | С^–1×А×С – С^–1 × (lЕ)× С | = | С^–1× (А – lЕ)× С | = | С^–1 || А – lЕ || С | = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j: L _n ® L_n, действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если l₀ – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j: L₄ ® L₄ (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е ₁, е₂, е₃, е₄) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

(*)

, [(1 – l)² – 1]×[(1– l)×(3 – l) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 – l)² – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l₁ = 0, l₂ = 2.

2) (1– l)×(3 – l) – 6 = 0, l² – 4 l – 3 = 0, l₃ = , l₄ = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0.

Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₄ = , х₃ = . Если х₁ = 3 С, то х₂ = –3 С, х₃ = 13 С, х₄ = – 11 С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3 С, – 3 С, 13 С, –11 С).

2) При l = 2.

Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₃ = , х₄ = Если х₁ = 7 С, то х₂ = 7 С, х₃ = –15 С, х₄ = –11 С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7 С, 7 С, –15 С, –11 С).

3) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, ).
4) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, (1 ) С).

Свойства собственных векторов.

1⁰. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a× а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а) = l а, то j (a а) = aj (а) = a (l а) = l (a а).

2⁰. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j: L_n ® L_n, принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в L_n.

Пусть а и в два собственных вектора и j (а) = l а, j (в) = l в. Тогда j (a а + b в) = aj (а) + bj (в) = a (l а) + b (l в) = l (a а + b в).

3⁰. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j (а) = l а, j (в) = l₁ в, l ¹ l₁. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = a а. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j (в) = j (a а). Отсюда l₁ в = a(l а), l₁(a а) = a(l а), a (l₁ – l) а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l₁ – l ¹ 0, а ¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

4⁰. Если в базисе е = (е₁, е₂,..., е_к, …, е_n) вектор е_к – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и а_кк = l.

 

6.8.Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет в базисе е = (е₁, е₂,..., е_n) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования j.

Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисе е – диагональная. Тогда j (е_к) = l_к для любого к = 1, 2, …, n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..

Ü Пусть все базисные векторы –собственные. Тогда j (е_к) = l_к. Следовательно, в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и а_кк = l_к. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица n -го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, то в L_n существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р. Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ

 

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2. Определители 2-го и 3-го порядка.

3. Перестановки: определение, свойства.

4. Подстановки: определение, свойства.

5. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю.

6. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится.

7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю.

8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

9. Теоремы Лапласа и Крамера.

10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

13. Обратная матрица.

14. Решение матричных уравнений.

15. Определение и примеры линейных пространств.

16. Арифметическое линейное пространство.

17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.

18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.

19. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.

20. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.

21. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

22. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

23. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

24. Изоморфизм линейных пространств.