Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Рассмотрим квадратные матрицы размера или, что то же самое, матрицы порядка .

При умножении матрицы порядка на -мерный вектор в произведении получается -мерный вектор:

Для любой матрицы существует набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число.

 

Определение. Число называется собственным значением матрицы порядка , если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство

(44)

При этом называется собственным вектором матрицы .

Уравнение (44) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде:

(45)

где и - соответственно единичная матрица и нулевой вектор.

Если - элементы матрицы , то характеристическая матрица согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц имеет вид:

(46)

Множество всех собственных значений матрицы называется ее спектром. Система собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям матрицы , является линейно независимой. Иными словами, если матрица порядка имеет различных собственных значений, то ее собственные векторы образуют базис в пространстве .

 

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора (или матрицы ), если найдется такое число , что

(47)

Число называется собственным значением (числом) оператора (или матрицы ), соответствующий вектору (Собственные векторы и собственные значения в литературе называют также характеристическими векторами и значениями (корнями)).

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом.

Равенство (47) можно записать в матричной форме

 

(48)

 

где вектор представлен в виде вектора-столбца, или в развернутом виде

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

 

или в матричном виде

Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение . Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

 

(49)

 

Определитель является многочленом -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение (49) – характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Действительно, преобразуем характеристический многочлен , полученный в новом базисе , если известна матрица перехода от старого базиса к новому. С учетом соотношений получаем

.

Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, получаем

, т.е.

независимо от выбора базиса.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Откуда собственные значения линейного оператора , . Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение

или ,

Откуда находим . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично можно убедиться, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Свойства собственных значений матрицы

линейного оператора .

1. Произведение собственных значений матрицы равно ее определителю

.

2. Число отличных от нуля собственных значений матрицы равно ее рангу.

3. Все собственные значения матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

4. Если - собственное значение невырожденной матрицы , то - собственное значение обратной матрицы .

5. Если l - собственное значение матрицы , - собственное значение матрицы , где - натуральное число.