Свойства арифметических операций над комплексными числами

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

 

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент – сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.,

 

если , то , и

 

, (93)

если , то , и

(94)

Геометрически умножение числа на число означает изменение длины радиуса-вектора (или ) в (или ) раз и его поворот вокруг точки О против часовой стрелки на угол (или ).

Так как в соответствии с формулами (93) и (94) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, то формула Муавра - возведения комплексного числа в натуральную степень , имеет вид:

(95)

 

Пример. Комплексные числа и представить в тригонометрической форме и найти и .

Решение.

1. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа , используя формулу (92): , т.к. , то , т.к. , то , тогда , т.е.

2. Выполним аналогичные действия для комплексного числа : , т.к. , то , т.к. , то , тогда , т.е. .

3. Применяя формулы (93) и (94), получаем:

.

 

Пример. Найти .

Решение.

В примере, решенном ранее, была получена тригонометрическая форма для комплексного числа . Поэтому по формуле Муавра находим:

 

.

 

Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Пусть

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра, получаем

 

или

 

Откуда следует, что

и

 

Итак, , , т.е.

, (96)

где .

При значения корня будут повторяться. Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.

 

Пример. Найти .

Решение.

В примере, решенном ранее, была получена тригонометрическая форма для комплексного числа . Поэтому по формуле (96) имеем:

 

.

 

откуда получаем три значения корня

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки , расположенные на окружности радиуса .

 

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера:

 

(97)

 

тогда показательная форма комплексного числа имеет вид:

(98)

 

Пример. Комплексные числа и представить в показательной форме.

Решение.

Ранее было получено

,

Следовательно, по формуле (98) получим:

, .

 

 

Оглавление

Тема 1. Матрицы. Определители.
1.1. Матрицы.
1.2. Операции над матрицами.
1.3. Определители квадратных матриц.
1.4. Свойства определителей.
Тема 2. Обратная матрица. Ранг матрицы.
2.1. Обратная матрица.
2.2. Ранг матрицы.
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
3.1.Общий вид и свойства системы уравнений.
3.2. Матричная форма системы уравнений.
3.3. Метод обратной матрицы и метод Крамера.
3.4. Метод Гаусса.
3.5. Система линейных уравнений с неизвестными.
3.6. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
3.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Тема 4. Векторы.
4. 1. Векторы на плоскости и в пространстве.
4.1.1. Скаляры и векторы. Операции над векторами.
4.1.2. Скалярное произведение векторов.
4.2. Векторное пространство.
4.2.1. Понятие и основные свойства векторов.
4.2.2. Операции над векторами.
4.2.3. Скалярное произведение векторов.
4.3. Линейная зависимость векторов.
4.3.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
4.3.2. Базис и ранг системы векторов.
4.4. Разложение вектора по базису.
4.4.1. Представление вектора в произвольном базисе.
4.4.2. Разложение вектора в ортогональном базисе.
4.5. Оператор линейного преобразования.
4.5.1. Матрица перехода от одного базиса к другому.
4.5.2. Линейные операторы.
4.5.3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
4.5.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
4.5.5. Диагональная форма матрицы оператора.
4.6. Квадратичные формы.
4.6.1. Основные сведения о квадратичных формах
4.6.2. Преобразование квадратичных форм.
4.6.3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.
4.6.4. Критерий знакоопределенности квадратичной формы.
4.6.5. Линейная модель торговли.
Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости.
5.1. Уравнение линии на плоскости.
5.1.1. Линии первого порядка.
5.2. Линии второго порядка.
5.2.1. Эллипс.
5.2.2. Гипербола.
5.2.3. Парабола.
Тема 6. Аналитическая геометрия в пространстве.
6.1. Плоскость в пространстве.
6.2. Прямая в пространстве.
6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости.
6.4. Поверхности второго порядка.
Тема 7. Комплексные числа.
7.1. Арифметические операции над комплексными числами.
7.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Литература

 

Литература

 

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд.. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2012. – 909 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник.- М.: Высшая школа, 2003.-479 с.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. - М.: ИНФРА-М, 1998. – 464 с.

4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2003.- 304 c.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. Пособие для втузов.- 14-е изд., испр. - М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. – 336 с.

6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: учебник. - ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 224 с.