Тема 1. Матрицы. Определители.

Составитель

Гайворонская С. А.

Линейная алгебра

Курс лекций

 

 

 

Воронеж

 

 

УДК 004.4

ББК 32.973

 

 

Утверждено научно-методическим советом факультета международных отношений ВГУ от 19.09.2012г., протокол №7.

 

 

Рецензент:

заведующий кафедрой высшей математики и физико-математического моделирования Воронежского государственного технического университета, доктор физико-математических наук, профессор И.Л. Батаронов

 

Гайворонская С. А. Линейная алгебра: курс лекций для студентов факультета международных отношений / С. А. Гайворонская. – Воронеж: ФМО ВГУ, 2012. – 91 с.

 

Пособие подготовлено на кафедре международной экономики и внешнеэкономической деятельности факультета международных отношений Воронежского государственного университета.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся на факультете международных отношений по направлению «Экономика», «Международные отношения», «Регионоведение».

В пособии излагаются все изучаемые темы, предусмотренные программой. Приводится теоретический материал, большое количество примеров решения задач по рассмотренным темам.

Тема 1. Матрицы. Определители.

Матрицы.

Определение. Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей,

где - действительные числа, называемые элементами матрицы, ; , и - соответственно индексы строки и столбца.

Произведение числа строк на число столбцов называют размером матрицы.

Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами А, В.

Часто матрицу записывают в сокращенном виде .

 

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости, например, таблицу распределения ресурсов, усл.ед., по отдельным отраслям экономики

 

Ресурсы	Отрасль экономики
Промышленность	Сельское хозяйство
Энергетические	5,3	4,1
Трудовые	2,8	2,1
Водные	4,8	5,1

 

может быть записана в компактной форме в виде матрицы

В этой записи матричный элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент - сколько водных ресурсов требуется для сельского хозяйства.

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой: .

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом: .

Если число строк матрицы n -го порядка равно числу ее столбцов, т.е. , то матрица называется квадратной n -го порядка.

Например: - квадратная матрица, размером .

 

Упорядоченная совокупность элементов называется главной диагональю квадратной матрицы:

 

 

Квадратная матрица называется диагональной, если ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали, т.е. матрица имеет вид:

.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

- единичная матрица третьего порядка.

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

 

Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

 

Симметрические матрицы - это квадратные матрицы, у которых элементы симметричные относительно главной диагонали равны, т.е. , , .

Например: , , , .

Операции над матрицами.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на действительное число называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число .

Пример.

;

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы, например:

 

 

Сложение матриц

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и : , т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример.

Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определений этих операций.

Пусть , и – матрицы, имеющие одинаковый размер, а и – некоторые действительные числа, тогда:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. , где - нулевая матрица.

7. .

Умножение матриц

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , у которой элемент равен сумме произведений элементов -й строки матрицы и -ого столбца матрицы , т.е. , , .

При этом число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы . В противном случае произведение не определено. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей: , т.е. размер матрицы равен .

Пример.

Найти те произведения матриц и , которые существуют, где ,

Решение.

Рассмотрим произведение матриц и :

 

число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , следовательно произведение определено:

 

Рассмотрим произведение матриц и :

 

Произведение матриц не имеет смысла, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы .

 

 

Пример.

Найти те произведения матриц и , которые существуют, где

,

Решение.

Рассмотрим произведение матриц и :

 

число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , следовательно, произведение определено:

 

.

Рассмотрим произведение матриц и :

 

Произведение матриц не имеет смысла, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы .

 

Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение m матриц, равных А, т.е.

Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

Пример. Найти , где .

Решение.

.

Транспонирование матриц

Данная операция состоит в замене строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка, или, что тоже самое, замене столбцов матрицы на ее строки.

Пусть , тогда транспонированная матрица имеет вид: , например ,

Пример.

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение.

.

Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка.

Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i- строки и j- столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (1). Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

 

Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

 

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка называетсяминор этого элемента, умноженный на , где - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так алгебраическое дополнение элемента обозначается , алгебраическое дополнение элемента обозначается .

Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение.

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

.

 

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

- разложение по элементам i -ой строки, i=1, 2,…,n.

- разложение по элементам j -ого столбца, j=1, 2,…,n.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере определителя третьего порядка. Разложим его по элементам первой строки:

 

 

 

- полученное выражение совпадает с определением определителя третьего порядка. Аналогичный результат получаем при разложении определителя матрицы по любой строке или столбцу.

 

Свойства определителей

 

1. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

2. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число.

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.

Пример.

, но

 

 

3. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

4. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

5. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

6. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

7. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.

при .

9. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , - матрицы -го порядка, тогда .

Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если , то .

11. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1-10, чтобы преобразованная матрица имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а затем найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

 

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка

 

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме одного обращались в нуль. Для этого умножим, например, элементы третьего столбца на (-4) и прибавим их к первому столбцу:

Далее умножим элементы третьего столбца на 2 и прибавим их ко второму столбцу, далее применим к полученному определителю четвертого порядка теорему Лапласа:

 

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника или используя теорему Лапласа, но можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы второй строки (кроме одного). Для этого умножим элементы третьего столбца на (-13) и на 4 и прибавим соответственно к первому и второму столбцам:

 

при вычислении определителя второго порядка используем свойство определителя: за знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца (вынесем из первого столбца число 8, а из второго столбца число 18):

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .

 

Теорема. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. чтобы

 

Пусть дана невырожденная матрица :

,

 

тогда обратной к матрице является следующая матрица:

 

 

где - алгебраические дополнения соответственно элементов ; .

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Пусть дана матрица размером .

В матрице А вычеркиванием каких-либо строк или столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы . Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначается или . Из определения следует:

1. Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. .

2. тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. матрица А – нулевая матрица.

3. Для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. .

Пример. Вычислить ранг матрицы

Решение.

Матрица имеет четвертый порядок, поэтому . Однако , т.к. матрица содержит нулевой столбец, поэтому . Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют определители равные нулю, т.е. . Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют определители равные нулю. Таким образом, . Поскольку матрица содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то .

 

Пример. Вычислить ранг матрицы.

Решение. Для матрицы ранг . Проверим, равен ли ранг трем. Для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего четыре, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):

; ;

;

Поскольку все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы .

Так как существует ненулевой минор второго порядка, например, , то ранг

 

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

- отбрасывание нулевой строки (столбца);

- умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число не равное нулю;

- изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

- прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

- транспонирование матрицы.

 

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

 

Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.

С помощью эквивалентных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если она имеет следующий вид:

где .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как имеется минор -го порядка, не равный нулю:

Пример. Найти ранг матрицы

Решение.

1. Если , то перестановкой строк или столбцов добиваемся того, чтобы . В данном примере поменяем местами первую и вторую строки матрицы.

 

2. Если , то, умножая элементы первой строки на подходящие числа и прибавляя соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца (кроме ) равнялись нулю. В нашем примере умножим первую строку на и прибавим к третьей строке, затем умножим первую строку на и прибавим к четвертой строке (во второй строке элемент , поэтому вторая строка не меняется):

 

 

3. Если в полученной матрице , то умножая элементы второй строки на подходящие числа и прибавляя к третьей и четвертой строкам, добьемся того, чтобы все элементы второго столбца (кроме ) равнялись нулю. В нашем примере умножим вторую строку на и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на и прибавим к четвертой строке:

 

 

 

Если в процессе преобразования получаются строки (столбцы), целиком состоящие из нулей, то эти строки (столбцы) отбрасываем.

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка не равные нулю, например, , поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно и исходной матрицы равен двум .

 

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица размера :

 

В матрице обозначим ее строки следующим образом:

.

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если .

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

;

.

 

Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

,

где - любые числа.

 

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке

 

(2)

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Если линейная комбинация строк (2) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

 

Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Строки и столбцы матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

 

Теорема. Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).

 

 

Пример.

Решить систему уравнений методом Крамера:

.

Решение.

, данная система имеет единственное решение.

 

 

, , .

 

Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому рассмотренные методы представляют, скорее, теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.

Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (3)

 

 

коэффициент при переменной не равен нулю (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, чтобы ).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, -му уравнению системы, исключаем переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго. В результате получаем систему

 

где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после шага 1.

 

Шаг 2. Предположим, что (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, чтобы ).

Умножая второе уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому, …, -му уравнению системы, исключаем переменную из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных , после -го шага получаем систему

(9)

Число нуль в последних уравнениях означает, что их левые части имеют вид:

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (9) равны нулю. В этом случае последние уравнений в системе (9) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая:

- число уравнений системы (9) равно числу переменных, т.е. (в этом случае система (9) имеет треугольный вид;

- , в этом случае система (9) имеет ступенчатый вид.