Метод обратной матрицы и метод Крамера.

Рассмотрим частный случай системы (3), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. . Система уравнений имеет вид:

 

(5)

 

Составим квадратную матрицу А порядка этой системы:

 

. (6)

 

В матричной форме система уравнений (5) имеет вид:

 

 

где матрицы и имеют размер . Пусть матрица системы является невырожденной, т.е. существует обратная матрица . Умножив обе части этого уравнения слева на , получаем , используя свойства произведения матриц получаем , откуда и решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

(7)

 

Когда порядок матриц и достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень громоздким.

Другой метод решения системы уравнений (5) основан на теореме Крамера (Габриэль Крамер (1704-1752) швейцарский математик)).

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя переменными

(8)

в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Для решения этой системы исключим переменную , умножив первое уравнение системы на , а второе – на и сложив их. Затем исключим переменную , умножив первое уравнение системы на , а второе – на и также сложив их. В результате получим систему

(9)

 

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначим ; , тогда система (7) примет вид

(10)

Из полученной системы следует, что если определитель системы , то система (8) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

Если определитель системы , а (или ), то система (8) несовместная, так как в этом случае она приводится к виду:

 

Если определитель системы , то система (8) неопределенная, так как в этом случае она приводится к виду:

 

Вернемся к системе линейных уравнений (5). Составим определитель матрицы А:

,

который называется определителем системы. Заменим в этом определителе -й столбец на столбец свободных членов , т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим :

Теорема (правило Крамера). Пусть - определитель матрицы системы , а - определитель, полученный из определителя заменой -ого столбца на столбец свободных членов . Тогда, если , то система линейных уравнений (5) имеет единственное решение, определяемое по формулам

, .

Ранее мы фактически получили формулы Крамера в частном случае при решении системы (8) – системы двух уравнений с двумя переменными.

Пример.

Решить систему уравнений методом Крамера:

.

Решение.

, данная система имеет единственное решение.

 

 

, , .

 

Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому рассмотренные методы представляют, скорее, теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.

Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (3)

 

 

коэффициент при переменной не равен нулю (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, чтобы ).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, -му уравнению системы, исключаем переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго. В результате получаем систему

 

где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после шага 1.

 

Шаг 2. Предположим, что (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, чтобы ).

Умножая второе уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому, …, -му уравнению системы, исключаем переменную из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных , после -го шага получаем систему

(9)

Число нуль в последних уравнениях означает, что их левые части имеют вид:

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (9) равны нулю. В этом случае последние уравнений в системе (9) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая:

- число уравнений системы (9) равно числу переменных, т.е. (в этом случае система (9) имеет треугольный вид;

- , в этом случае система (9) имеет ступенчатый вид.

Переход системы (1) к равносильной системе (9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (9) – о братным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов – расширенной матрицей:

Пример. Решить систему уравнений

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид:

Так как , то умножая первую строку матрицы на числа и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам, исключаем переменную из всех строк, начиная со второй. В полученной матрице , поэтому меняем местами вторую и третью строки матрицы, добиваясь, чтобы элемент . Далее умножаем вторую строку на и прибавляем к третьей строке:

 

Умножаем третью строку на и прибавляем к четвертой строке:

 

В результате матрица системы приведена к треугольному виду. Используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений:

 

 

Откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения ; из третьего уравнения ; из второго уравнения и из первого уравнения , т. е. решение системы .

Пример. Методом Гаусса решить систему уравнений.

Решение: Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво, так как в результате преобразований получено неверное равенство 0= -1, следовательно, данная система несовместна.

 

4.5. Система линейных уравнений с неизвестными

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк, поэтому если строки расширенной матрицы, т.е. уравнения системы (3) линейно независимы, то ранг расширенной матрицы равен числу ее уравнений, т.е. . Если уравнения линейно зависимы, то .

Вопрос о разрешимости системы уравнений (3) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

 

Теорема Кронекера-Капелли (Кронекер Леопольд (1823 – 1891) – немецкий математик, Капели Альфредо (1855 – 1910) – итальянский математик).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

 

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

 

 

Пусть , переменных называют основными, или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные ёёпеременных называются неосновными, или свободными.

Решение системы (3), в котором все неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Так как каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний, то и базисных решений имеется не более

 

Таким образом, совместная система линейных уравнений с переменными имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

Метод Гаусса по сравнению с другими методами имеет следующие достоинства:

- значительно менее трудоемкий;

- позволяет однозначно установить совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);

- дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Пример 1. С помощью метода Гаусса решить систему

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы (для удобства вычислений берем в качестве первой строки коэффициенты второго уравнения, у которого коэффициент при равен единице):

 

,

Один из миноров матрицы системы, например, , следовательно, ранг матрицы системы равен порядку ненулевого минора и равен двум, т.е. .

Рассмотренный минор является базисным минором, составленным из коэффициентов при переменных и , следовательно, за основные переменные берем и . Оставляем в левой части переменные и , остальные неосновные переменные переносим в правые части уравнений. В результате получаем систему:

откуда

 

 

Задавая неосновным переменным произвольные значения находим бесконечное множество решений системы, т.е. общее решение системы:

 

В качестве основных переменных можно было взять другие их группы с отличным от нуля базисным минором. Для каждой такой группы получится «свое» общее решение, но все общие решения равносильны в том смысле, что они определяют равные бесконечные множества частных решений, получаемых из общего при фиксированных значениях неосновных переменных.

Пример 2. Найти все базисные решения системы, приведенной в примере 1.

Решение. Ранг матрицы системы , следовательно одно из уравнений системы, например третье, можно отбросить.

Общее число групп основных переменных не более чем , поэтому возможны следующие группы основных переменных ; ; ; ; ; .

Выясним, могут ли переменные быть основными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных , то могут быть основными переменными. Рассуждая аналогично, находим, что из всех возможных групп основных переменных только переменные не могут быть основными, т.к.

Найдем базисное решение, взяв в качестве основных переменных , а неосновных - . Приравняв неосновные переменные нулю, т.е. , получим систему уравнений в виде:

откуда , т.е. первое базисное решение будет .

Если взять за основные переменные и приравнять нулю соответствующие неосновные переменные , т.е. , то получим второе базисное решение . Аналогично находятся и остальные базисные решения , и .

Замечание. Все базисные переменные системы можно было найти из общего решения, полученного в примере 1, приравнивая соответствующие переменные нулю. Например, при получаем базисное решение , а при или при получаем базисное решение .