Скаляры и векторы. Операции над векторами

Многие характеристики окружающих нас явлений описываются числами, например, вес товара и его стоимость, температура тела, количество мест в салоне самолета. Такие величины называются скалярными, или скалярами. Однако имеются и такие величины, которые требуют для своего описания еще и указания направления, например, скорость и ускорение при движении тела. Такие величины называются векторными, или векторами.

Определение. Направленный отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, называется вектором.

Обозначается вектор символом, куда входят его начало и конец или одной буквой . Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной.

Определение. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

 

Определение. Векторы и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

 

В любой системе координат вектор характеризуется своими координатами: двумя координатами на плоскости и тремя - в пространстве .

Если заданы координаты начала и конца вектора, соответственно и , то координаты этого вектора определяются по формуле:

Длина вектора определяется по формуле:

 

.

Нулевым вектором называется вектор на плоскости и в пространстве.

 

Операции над векторами.

Пусть даны два вектора и .

1. Суммой векторов и называется вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов и :

Для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда вектор будет направлен от начала первого вектора к концу второго.

2. Произведением вектора на число называется вектор , координаты которого соответственно равны .

Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в увеличении длины вектора в λ раз при или ее сокращении в λ раз при . При вектор имеет направление, противоположное вектору ; векторы и коллинеарны.

 

Из определения коллинеарности векторов и из определения произведения вектора на число вытекает, что векторы и коллинеарны в том и только в том случае, если их координаты пропорциональны:

Это соотношение носит название условия коллинеарности двух векторов.

Скалярное произведение векторов

Пусть и - произвольные векторы, а φ – угол между ними.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. - перестановочность сомножителей.

2. - сочетательность относительно умножения на число.

3. - распределительность относительно суммы векторов.

4. - формула скалярного квадрата.

5. , если вектор перпендикулярен вектору ; и обратно, если , то при и векторы и взаимно перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов выражается через их координаты следующим образом: пусть даны векторы и , тогда

Тогда формула для определения угла между векторами имеет вид:

 

 

Векторное пространство

Понятие и основные свойства векторов

 

Приведем обобщение соответствующих понятий на -мерный случай.

Определение. Любой упорядоченный набор из действительных чисел называется -мерным вектором ; числа, составляющие упомянутый набор, называют координатами (компонентами) вектора .

Определение. Совокупность всех -мерных векторов называется - мерным векторным пространством .

Координаты -мерного вектора можно расположить либо в строку - вектор-строка либо в столбец - вектор-столбец.

Определение. Два вектора с одним и тем же числом координат и называются равными, если их соответствующие координаты равны, т.е. .

Определение. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым .

Операции над векторами

Пусть векторы и принадлежат -мерному векторному пространству и .

1. Суммой векторов и называется вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

.

2. Пусть - любое действительное число. Произведением вектора на число будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора на это число: .

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть , и - произвольные векторы -мерного векторного пространства, тогда:

1. - переместительное свойство.

2. - сочетательное свойство.

3. , где λ – действительное число.

4. , где λ и μ – действительные числа.

5. , где λ и μ – действительные числа.

6. .

7. Для любого вектора существует такой вектор , что , .

8. для любого вектора .

 

Определенное -мерное векторное пространство является линейным, поскольку для него выполняются свойства линейности:

1. Для любых двух векторов и из их сумма также принадлежит .

2. Для любого числа λ и вектора вектор .

 

Определение. Пусть U – подмножество линейного пространства . Оно называется линейным подпространством , если для любых векторов и из U и любого числа l выполнены свойства линейности 1 и 2 и и принадлежат подмножеству U.

Например, совокупность всех векторов , таких, что сумма их координат равна нулю , образует линейное подпространство .