Тема 6. Уравнение поверхности и линии

Пусть в прямоугольной системе координат координаты , и связаны некоторым уравнением

(73)

Будем говорить, что соотношение (73) является уравнением поверхности в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки , принадлежащей , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей или множество точек, лежащих на двух поверхностях одновременно. Поэтому система двух уравнений типа (73)

(74)

Называют уравнением линии в пространстве, если этим уравнениям удовлетворяют только координаты точек, лежащих на линии .

 

Плоскость в пространстве

Определение. Уравнение вида

(75)

Называется общим уравнением плоскости в системе координат . Вектор перпендикулярен плоскости (75); он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку , то такая плоскость может быть задана уравнением

(76)

Пример. Составить уравнение плоскости с перпендикулярным вектором , проходящей через точку .

Решение. Согласно формуле (76) имеем:

, или

 

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении плоскостей в пространстве. Пусть две плоскости заданы уравнениями

и (77)

Угол между плоскостями в пространстве. При любом положении двух плоскостей угол между ними равен углу φ между их нормальными векторами и . Следовательно по формуле , получаем, что угол φ между плоскостями (77) определяется по формуле

 

(78)

Второй (смежный) угол равен .

Условие параллельности плоскостей. Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, и наоборот. В этом случае из формулы ( и коллинеарны в том и только в том случае, если их координаты пропорциональны:

) получаем условие параллельности плоскостей, заданных уравнениями (77):

(7)

Условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости (77) перпендикулярны, то перпендикулярны между собой и их нормальные векторы. Так как , из формулы (78) получаем условие перпендикулярности двух плоскостей:

(79)

Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость задана уравнением (75). Тогда расстояние от точки до этой плоскости определяется по формуле:

 

(80)

 

6.2. Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе

(81)

 

При решении задач чаще используется другой вид уравнений прямой.

Если прямая параллельна вектору , называемому направляющим вектором, и проходит через точку , то ее уравнение может быть получено из условия коллинеарности двух векторов и , где произвольная точка прямой. Тогда искомое уравнение прямой будет иметь вид:

 

(82)

Уравнения (82) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

 

Если прямая задана уравнениями общего вида (81), то переход к каноническим уравнениям осуществляется с помощью вычисления координат направляющего вектора из коэффициентов уравнения (81) как соответствующих определителей второго порядка:

 

(83)

Пример. Найти уравнение прямой, заданной уравнениями общего вида

Решение. Сначала определим какую-либо точку , через которую проходит эта прямая. Положим , тогда из данных уравнений получаем систему для определения и :

откуда , . Координаты направляющего вектора находим по формуле (83):

, ,

По формуле (82) находим каноническое уравнение прямой:

.

 

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и имеет вид

(84)

Угол между прямыми. Угол между прямыми в пространстве равен углу j между их направляющими векторами: и , т.е. вычисляется по формуле (78):

 

(85)

Условие параллельности прямых. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Поэтому из формулы следует:

(86)

 

Условие перпендикулярности прямых. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны. Из формулы (85) следует искомое условие:

(87)

Расстояние от точки до прямой. Пусть дана прямая, проходящая через точку и заданная каноническим уравнением (82), а также точка , находящаяся вне этой прямой. Тогда расстояние от точки до заданной прямой вычисляется по формуле:

(88)