Разложение вектора в ортогональном базисе.

Рассмотрим базис пространства , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

 

, , , . (24)

 

Ортогональные базисы хорошо представимы на плоскости и в пространстве.

Рассмотрим разложение произвольного вектора в ортогональном базисе (24). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

(25)

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор . В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем

.

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (24) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (25) на другие базисные векторы, получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора :

(26)

Соотношения (26) имеют смысл, при .

Выделим особый случай ортогонального базиса, когда все векторы в (24) имеют единичную длину или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным, и координаты разложения (26) имеют наиболее простой вид:

 

 

 

4.5. Оператор линейного преобразования

Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть в векторном пространстве имеются два базиса: и , . Представим каждый из векторов базиса в виде разложения по базису :

(27)

Матрица , составленная из коэффициентов разложения векторов базиса в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису . Матрица имеет вид:

(28)

 

Матрица является невырожденной, так как в противном случае ее строки были бы линейно зависимыми, что противоречило бы линейной независимости векторов базиса . Нетрудно видеть, что матрицей обратного перехода от базиса к базису является обратная матрица .

Пусть произвольный вектор имеет координаты и в базисах и , т.е.

(29)

 

Найдем связь между координатами вектора в базисах и . Подставим в правую часть равенства (29) координаты разложения (27) векторов базиса в базисе . В силу единственности разложения вектора в базисе получаем:

(30)

 

Система (30) представляет собой формулы пересчета координат вектора при переходе от базиса к базису .

В матричной форме система соотношений (14) представима в виде

(31)

где , - векторы-столбцы координат вектора в базисах и , - транспонированная матрица . Аналогично пересчет координат вектора при переходе от базиса к базису определяется уравнением

(32)

где - транспонированная матрица .

Пример. Векторы , , и заданы в базисе . Представить вектор в виде разложения по базису .

Решение. Первоначально убедимся, что векторы линейно независимы и образуют базис в пространстве , для чего вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:

 

.

Связь между базисами выражается следующей системой уравнений:

 

 

Матрица перехода от базиса к базису , составленная из коэффициентов разложения векторов в базисе , имеет вид:

.

Находим обратную матрицу и затем транспонированную матрицу :

, .

По формуле получаем координаты вектора в базисе :

.

Это означает, что вектор представляется в виде линейной комбинации векторов :

Линейные операторы

Определение. Отображение линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением (гомоморфизмом или морфизмом), если для любых элементов и любого числа a справедливы равенства

, (33)

(34)

Свойство (33) называется аддитивностью линейного отображения, а свойство (34) – однородностью этого отображения. В таком случае говорят, что задан линейный оператор , действующий из в .

Будем говорить, что является образом элемента .

Определение. Линейное отображение пространства в себя (т.е. когда пространства и совпадают) называется линейным оператором на линейном пространстве .

Пусть - некоторый базис в векторном пространстве . Тогда разложение произвольного вектора по этому базису имеет вид:

.

Применим линейный оператор к вектору . В силу свойств линейности (33) и (34) получаем:

(35)

Поскольку также является вектором из , его можно разложить по базису . Пусть

(36)

Подставляя формулы (36) в (35), получаем:

 

 

Группируя коэффициенты при базисных векторах , получаем:

(37)

Пусть вектор имеет в том же базисе разложение

(38)

Тогда в силу единственности разложения вектора в данном базисе получаем путем приравнивания коэффициентов при базисных векторах в разложениях (36) и (37):

(39)

 

Матрица , составленная из коэффициентов при , называется матрицей оператора в базисе . При этом ранг матрицы называется рангом оператора . Как следует из формул (39), связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме:

или (40)

где , .

Таким образом, каждому линейному оператору в некотором базисе пространства соответствует матрица , по которой можно пересчитывать любой вектор в его образ в этом же базисе. Иными словами, любой линейный оператор можно задать в некотором базисе соответствующей матрицей.

Если матрицы является вырожденной, то оператор называется вырожденным.

Пример. В пространстве линейный оператор задан в базисе матрицей

.

Найти образ вектора .

Решение. По формуле (40) получаем

Таким образом, .

 

Для разных базисов матрицы одного и того же оператора будут разными. Связь между ними определяется теоремой.

Теорема. Пусть линейный оператор задан матрицами и соответственно в базисах и . Тогда справедлива формула

(41)

где - матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство. Линейным оператором вектор пространства переводится в вектор этого же пространства, т.е. для обоих базисов справедливы равенства

, (42)

Поскольку - матрица перехода от базиса к базису , то имеем:

, (43)

 

Умножив равенство слева на матрицу , получим

 

 

или с учетом равенства , получим

 

 

Подставляя выражение , имеем

 

Умножая последнее равенство слева на матрицу , получаем окончательную формулу

 

.

Сравнивая последнее выражение с (левые части равны, следовательно, равны и правые части):

Умножим обе части равенства на справа, и учитывая, что , получаем:

,

получаем доказываемую связь между матрицами и .

 

Пример. В пространстве линейный оператор задан в базисе матрицей

.

Найти матрицу оператора в базисе , , .

Решение. Матрица перехода имеет вид

, а обратная к ней матрица .

Следовательно, по формуле (41) получаем:

 

.