Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме слагаемых векторов на ту же ось

.

Координатами вектора называют его проекции на координатные оси Ох, Оу, Оz. Записывают или

.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей Ох, Оу, Оz.

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат

.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов a, b, g, образованных этим вектором с осями координат Ох, Оу, Оz:

; ; ;

.

Действия над векторами, заданными

Своими координатами

Пусть даны векторы и . При сложении векторов их одноименные координаты складываются

или .

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число

или .

Два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства

a_х = b_x; a_y = b_y; a_z = b_z .

 

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат

.

Если известны координаты начала А(х₁, у₁, z₁) и конца В(х₂, у₂, z₂) вектора , то его координаты определяются =(х₂ -х₁, у₂ -у₁, z₂ -z₁).

Длину вектора, заданного координатами начала и конца, вычисляют по формуле

.

Пример. Даны векторы = (1; -3; 2) и = (3; 4; -5). Найти векторы:

; , , .

= (1 + 3; -3 + 4; 2 + (-5)) = (4; 1; -3);

= (1 -3; -3 -4; 2 - (-5)) = (-2; -7; 7);

= 2 (1; - 3; 2) -3(3; 4; -5) = (2; -6; 4) - (9; 12; -15) =

= (2 - 9; -6 -12; 4 -(-15)) = (-7; -18; 19);

= 3 (1; -3; 2) + 4 (3; 4; -5) =

= (3; -9; 6) + (12; 16; -20)=(3 + 12; -9 + 16; 6 + (-20)) = (15; 7; -14).

Пример. Даны две точки А(9; -7; -4) и В(-1; 3; 1). Найти координаты и длину вектора .

= (х₂ -х₁, у₂ -у₁, z₂ -z₁) = (-1 -9; 3-(-7); 1 -(-4)) = (-10; 10; 5);

= = 15.

 

Пример. Дан вектор =(-4; 6; 12). Написать разложение вектора по координатным ортам и найти орт вектора .

Разложение вектора по координатным ортам имеет вид .

Длина вектора .

Орт вектора .

Пример. Определить, при каких a и b векторы и коллинеарны.

Запишем условие коллинеарности векторов: , откуда 3a = -12; a = -4; 2b = 3, b = 3/2.

Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если А (4; 2; -1) и В (7; 6; 11).

Найдем координаты вектора = (7 - 4; 6 - 2; 11 + 1) = (3; 4; 12).

Модуль вектора ;

; ; .

Скалярное произведение векторов,

Его свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Обозначается :

или .

Свойства скалярного произведения:

1) - переместительный закон;

2) - распределительный закон;

3) - сочетательный закон;

4) скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т.е. .

5) скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Пусть даны два вектора и . По свойствам 4 и 5 имеем ; .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат

.

Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов и :

.

Косинус угла между двумя векторами определяется по формуле:

.

Проекция вектора на направление, заданное вектором , вычисляется по формуле

.

Пример. Найти длину вектора , если , , угол a между векторами и равен 60°.

По свойству 5:

=

= = 9×9 + 12×3×4×cos60° + 4×16 =

= 81 + 72 + 64 = 217, .

Пример. Найти косинус угла между векторами = (2; -1; -2) и

= (8; -4; 0).

= .

Пример. При каком значении l векторы и взаимно перпендикулярны?

Условие перпендикулярности записывается: или 10l -20 = 0, l = 2.

Пример. Даны векторы , , . Найти , , .

Имеем = (1; -2; 2); = (2; 1; -2); (10; 4; 2). Применим формулу ,

.

.

.

.

.

 

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах (3; -5; 8) и = (-1; 1; - 4).

2. Найти угол между единичными векторами и , если векторы и перпендикулярны.

3. Даны вершины треугольника А(4; 1; 0); В(2; 2; 1) и С(6; 3; 1). Найти проекцию стороны АВ на АС, угол между сторонами АВ и АС.

4. При каком a векторы и взаимно перпендикулярны?

5. Известно, что , . Найти скалярное произведение векторов и , если a = 135°.

6. Даны векторы = (2; -1; 3); = (4; 3; -5), = (7; -2; 6). Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

Если известны точка М₀(х₀, у₀) на прямой l и направляющий вектор = (m, n), параллельный этой прямой, то можно записать каноническое уравнение прямой

.

Если известны точка М₀(х₀, у₀) на прямой l и вектор = (А, В), перпендикулярный к ней, то можно записать уравнение

А(х -х₀) + В(у -у₀) = 0.

Вектор = (А, В), перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Раскрывая скобки и преобразуя, получим общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0.

Если С = 0, то прямая проходит через начало координат, ее уравнение Ах + Ву = 0.

Если А = 0, то прямая параллельна оси Ох, ее уравнение .

Если В = 0, то прямая параллельна оси Оу и .

Если А = С = 0, то у = 0 – ось Ох.

Если В = С = 0, то х = 0 – ось Оу.

Пусть даны уравнения двух прямых и . Тогда прямые

1) совпадают, если ;

2) параллельны, если ;

3) перпендикулярны, если A₁А₂ + B₁В₂ = 0.

Для нахождения точки пересечения прямых решают систему уравнений

 

Уравнение вида у = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где k = tga - тангенс угла наклона прямой, b – координата точки пересечения прямой с осью Oу. Если даны уравнения двух прямых у = k₁x + b₁; у = k₂x + b₂, то

а) угол между прямыми определяется по формуле

;

 

б) если k₁ = k₂, то прямые параллельны;

в) если , то прямые перпендикулярны.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀) с угловым коэффициентом k имеет вид:

.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂):

.

Расстояние от точки М₀(х₀, у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 вычисляется по формуле

.

Пусть даны точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂). Координаты точки М, делящей отрезок АВ в заданном отношении вычисляются по формулам

, .

Пример. Даны точка М(3; 4) на прямой l и направляющий вектор =(2; 5) этой прямой. Написать каноническое уравнение прямой.

Уравнение имеет вид .

Пример. Даны точки М₁(4; -2) и М₂ (3; 1). Написать уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и М₂.

Уравнение прямой записывается или , 3х - 12 = -у - 2, 3х + у - 10 = 0.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

А (1; -2) параллельно прямой 3х + 4у – 5 = 0.

Найдем угловой коэффициент данной прямой, выразим

, .

Искомая прямая имеет уравнение .

Подставим координаты точки А в это уравнение: ,

и .

Пример. Определить взаимное расположение прямых х + 2у -3 = 0 и 5х + 10у - 2 = 0.

Имеем . Прямые параллельны.

Пример. Найти расстояние от точки М(-1; 1) до прямой

4х - 3у + 6 = 0.

Искомое расстояние находится по формуле .

.

 

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти проекцию точки А(-1; 2) на прямую 3х - 5у - 21 = 0.

2. Даны вершины параллелограмма А(9; -3), В(4; -2) и С(-7; -5). Найти уравнения диагоналей.

3. Дан треугольник с вершинами А(5; -4), В(-1; 3) и С(-3; -2). Найти:

а) уравнение высоты ВD;

б) уравнение меридианы ВМ;

в) угол между высотой и медианой ВМ.

4. Доказать, что три точки А(3; -5), В(-1; 1) и С(-3; 4) лежат на одной прямой.

5. Стороны треугольника заданы уравнениями: 7х - 6у + 9 = 0;

5х + 2у - 25 = 0; 3х + 10у + 29 = 0. Найти координаты вершин и уравнения высот треугольника.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.

В общем виде уравнение имеет вид:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

1. Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной.

Каноническое уравнение окружности

(х - х₀)² + (у - у₀)² = R²,

где точка С(х₀, у₀) – центр окружности, R – ее радиус.

Пример. Определить вид кривой х² + у² - 6х + 4у – 12 = 0.

Выделим полный квадрат для каждой переменной х и у:

х² - 6х + 9 – 9 + у² + 4у + 4 – 4 – 12 = 0, (х - 3)² + (у + 2)² = 25 – это уравнение окружности с центром в точке С(3; -2) и R = 5.

2. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а). F₁M + F₂M = 2a.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: ,

(b² = a² - c², a > c), F₁(-с; 0) и F₂ (с; 0) – фокусы.

 

Точки А₁ (-а, 0), А₂ (а, 0), В₁ (0, -b), В₂ (0, b) называются вершинами эллипса, отрезки ОА₂ = а, ОВ₂ = b – большая и малая полуоси. Величина называется эксцентриситетом и характеризует вытянутость эллипса.

Пример. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось а = 12 и эксцентриситет e = 0,5.

По определению , , с = 6. Из соотношения b² = а² - с² определим b² = 144 - 36 = 108, тогда уравнение эллипса примет вид

.

3. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная (2а).

|F₁М - F₂М| = 2а.

Каноническое уравнение гиперболы , (b² = c² - a²),

F₁(-с, 0), F₂(с, 0) – фокусы.

 

 

 

Отрезки ОА₂ = а – действительная полуось, ОВ₂ = b – мнимая полуось гиперболы.

- асимптоты гиперболы, - эксцентриситет.

Пример. Найти каноническое уравнение гиперболы, зная уравнения асимптот и расстояние F₁F₂ = 20.

Зная F₁F₂ = 2с = 20, находим с = 10. Из уравнений асимптот и , имеем . Составим систему уравнений:

 

, , а² = 64, b² = 100 – 64 = 36. Уравнение гиперболы примет вид .

 

4. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой, FM = NM.

 

 

 

Каноническое уравнение параболы, симметричной оси Ох,

у² = 2рх (р > 0).

- фокус, - директриса, р – расстояние от фокуса до директрисы.

Уравнение параболы, симметричной оси Оу, имеет вид: х² = 2ру, - фокус, - директриса.

Пример. Найти уравнение параболы, проходящей через точку А(2, 4) и симметричной оси Ох.

В каноническое уравнение у² = 2рх подставим координаты точки А: 16 = 4р, р = 4. Уравнение параболы примет вид у² = 8х.

Примеры для самостоятельной работы

1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная его малую полуось b = 2 и F₁ F₂ = 8.

2. Найти координаты фокусов, полуоси и эксцентриситет гиперболы 9х² - 16у² = 144.

3. Найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки А (2; 1) и В(- 4; ).

4. Определить вид кривой у² - 2х + 4у + 2 = 0.

5. Найти фокус и уравнение директрисы параболы у² = 24х.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

 

Если каждому элементу x X ставится в соответствие определенный элемент y Y по какому-либо закону, то говорят, что на множестве Х задана функция у = f (x).

Множество Х называется областью определения функции, а множество Y – областью её значений.

Существуют следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический, словесный.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные). К алгебраическим относятся: целая рациональная, дробно-рациональная и иррациональная функции.