Площадь проекции плоской фигуры

51. Площадь плоского многоугольника равна 150 см². Найдите площадь проекции этого многоугольника на плоскость, состав­ляющую с плоскостью многоугольника угол 60°.

52. Дан треугольник АВС со сторонами я =13 см, 6=14 см, с= 15 см. Через сторону ВС проведена плоскость а под углом 30° к плоскости А АВС. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость а.

53. Найдите площадь плоского многоугольника, если площадь его проекции равна 20 м² и двугранный угол между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции равен 45°.

54. Найдите площадь проекции круга на плоскость, образующую с плоскостью круга угол 30°. Радиус круга равен 2 м.

Трехгранные углы

55. 1) Докажите, что если в трехгранном угле два плоских угла—прямые, то и противоположные им двугранные углы— прямые.

2) Докажите, что если в трехгранном угле два двух­гранных угла—прямые, то противоположные им плоские углы— прямые.

56. Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер от вершины отложен отрезок, дли­на которого равна а, и из конца отрезка опущен перпен­дикуляр на противолежащую грань. Найдите длину этого перпен­дикуляра.

57. Каждый из плоских углов трехгранного угла ра­вен а. Вычислите угол между ребром и противолежащей гранью.

§3. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

58. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведите сечение через середины ребер A₁D₁ и D₁C₁ и вершину А. Вычислите площадь этого сечения, если ребро куба равно а.

59. Из точки О, лежащей вне двух параллельных плоскостей а и р, проведены три луча, пересекающие плоскости аир соответст­венно в точках А, В, С и А_и В_и C_t (ОА<ОА^). Вычислите периметр треугольника А^В^С^ если ОА=т, АА₁ = п, АВ=с, АС=Ь, ВС=а.

60. Точка М лежит вне плоскости прямоугольного треуголь­ника АВС (С=90°); МА1АС, МС1СВ. Докажите, что МА1лт. АВС.

61. Меньшее основание трапеции лежит в плоскости а, которая отстоит от большего основания трапеции на расстоянии 10 см; основания трапеции относятся, как 3:5. Найдите расстояние точки пересечения диагоналей трапеции от плоскости а.

62. В треугольнике АВС угол В—прямой и ВС=а. Из вершины А проведен к плоскости треугольника перпендикуляр AD. Найдите расстояние от точки D до катета ВС, если DC=m.

63. В треугольнике, стороны которого равны 10, 17 и 21 см, из вершины большего угла проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Вычислите расстояние от конца этого перпендику­ляра, лежащего вне плоскости треугольника, до большей стороны треугольника.

64. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 32 см. Из точки D, делящей гипотенузу пополам, проведен к плоскости треугольника перпендикуляр DE, равный 12 см. Вычислите расстоя­ние от точки Е до каждого катета.

65. Через вершину квадрата проведена наклонная к его плоскости, составляющая угол а с каждой из сторон квадрата, проходящих через эту вершину. Найдите угол между этой наклон­ной и диагональю квадрата.

66. Через сторону ромба проведена плоскость, образую­щая с диагоналями углы а и 2а. Вычислите острый угол ромба.

67. Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине а; через основание треугольника проведена плос­кость, образующая с каждой из его боковых сторон угол р. Найдите расстояние этой плоскости от вершины треугольника.

68. Отрезки, заключенные между двумя параллельными плос­костями, относятся, как 2:3, и образуют с плоскостями углы, отношение которых равно 2. Вычислите згги углы.

69. Два равных квадрата имеют общую сторону; их плоскости образуют двугранный угол, равный а. Из общей вершины в каждом из квадратов проведены диагонали. Вычислите угол между этими диагоналями.

70. В одной грани острого двугранного угла проведена прямая под углом 30° к другой грани и под углом 45° к ребру. Вычислите двугранный угол.

71. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их составляют угол 60°. Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые сторо­ны другого взаимно перпендикулярны. Вычислите расстояние между вершинами треугольников.

72. В одной из граней двугранного угла, равного а, проведена прямая, образующая угол Р с ребром двугранного угла. Найдите угол наклона этой прямой к другой грани.

73. В трехгранном угле каждый из плоских углов равен 60°. Через точку А, взятую на одном из ребер угла на расстоянии а от его вершины, проведена плоскость, перпендикулярная этому ребру и пересекающая два других ребра в точках В и С. Найдите периметр треугольника АВС.

74. В трехгранном угле два плоских угла равны 45°, а третий плоский угол содержит 60°. Вычислите двугранный угол, противо­лежащий третьему плоскому углу.

75. В трехгранном угле каждый из плоских углов равен а. Найдите двугранные углы.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

 

I вариант

1) Из центра круга, описанного около прямоугольного треугольника с острым углом 30°, восставлен к его плоскости перпендикуляр, длина ко­торого равна 6 см. Конец перпенди­куляра, лежащий вне плоскости тре­угольника, удален от большего ка­тета на 10 см. Вычислите гипотенузу треугольника.

2) Два равнобедренных тре­угольника АВС и ACD имеют общее

основание АС, двугранный угол АС равен 60°, а угол, образованный сто­роной ВС с плоскостью ADC, равен 45°. Сторона ВС равна 6 см. Вычис­лите площадь треугольника АВС.

II вариант

1) На плоскости дан прямо­угольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см. В простран­стве дана точка, удаленная от каж­дой вершины треугольника на 10 см. Вычислите расстояние данной точки от плоскости.

2) Основание АС равнобедрен­ного треугольника АВС лежит в плоскости а, а вершина В удалена от плоскости а на 3^/2 см. Вычислите площадь треугольника АВС, если АС= 18 см и плоскость треуголь­ника АВС наклонена к плоскости а под углом 45°.

Глава 21 ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Векторы в пространстве. В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Так же определяют основные понятия для векторов в пространстве: модуль вектора, направление вектора, равенство векторов.

Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, или лежащие в этой плоскости, называются компланарными.

Три вектора, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, считаются компланарными.

Любой вектор а пространства можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам а, Б к с:

3=xa+yb+zc. (21.1)

2. Прямоугольная система координат в пространстве. Пусть в прост­ранстве задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов i, J и к, отложенных от некоторого начала—точки О (рис. 161). Такую тройку векторов называют прямоугольным базисом^ в пространстве. Совокупность начала О и прямоугольного базиса (f, j, 1с) называют прямоугольной системой координат в пространстве.

Разложение вектора а в базисе (£ J, Щ имеет вид

а=хТ+ yj+- zk. (21.2)

Координаты точки М—числа х, у, z (рис. 162) в данной систе­ме координат—называются координатами вектора ОМ=а.

Если ОМ=а=(х; у; z), то пишут М(х; у; z). Число х называют абсцис­сой, у—ординатой и z—аппликатой точки М или вектора ОМ=а. Начало О векторов называется началом координат. Оси, определяемые векторами /, j, к, называются координатными осями, а плоскости, проходящие через каждые две координатные оси,—координатными плоскостями. Пространст­во, в котором задана система координат, называют координатным прост­ранством.

Координатные плоскости делят все не принадлежащие им точки пространства на восемь областей—октантов.

Точки, лежащие на координатных плоскостях, имеют одну из координат, равную нулю. Точки, лежащие на осях координат, имеют две координаты, равные нулю. Начало координат имеет все три координаты, равные нулю.

Знаки координат точек в пространстве представлены в таблице:

Координаты	Октант
I		III	IV	V	VI	VII	VIII
Абсцисса	+	_	_	+	+	—	—	+
Ордината	+	+	—	—	+	+	—	—
Аппликата	+	+	+	+	—	—	—	—

 

 

Рис. 161

Если все координаты вектора а отличны от нуля, то этот вектор можно изобразить как диагональ прямоугольного параллелепипеда, числовые значения длин ребер которого равны [х\, [у|, \z\ (рис. 162).

В заданном прямоугольном базисе (Т, j, к) каждая тройка чисел (х; у; z) определяет единственный вектор, для которого эти числа являются координатами.

По определению прямоугольного базиса имеем

T'j=7 'k=J */с=О, Г²=/²=£² = 1.

Если началом вектора а является точка А (х_А; у_А; z_A), концом—точка В(х_в; у_в; z_B), то вектор а=АВ имеет координаты, равные разностям соответствующих координат точек В и А:

а=АВ =(х_в—х_А; у_в—у£ ^zb~^za)> (21-3)

и записывается в виде

а=АВ = (х_в-х_л)?+ {у _B-y_A)J+ (z _в - г_л) £ (21.4)

3. Правила действий над векторами, заданными своими координатами.

Если в базисе (£ j, Щ заданы векторы a=(x₁;y₁;z₁) и 8=(х₂; у₂; z₂), то:

координаты суммы двух (или более) векторов равны суммам соответст­вующих координат слагаемых, т. е. a+S=(x ₁ + х₂; у_±+у₂; z₁+z₂);

координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов, т. е. a—b=(x₁—x₂;y₁—y₂;z₁—z₂);

координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число: та= ={тх_х; туmzJ.

4. Условие коллинеарности двух векторов. Условие коллинеарности двух векторов а=(х 1, у±, z^) и S=(x₂; у₂; z₂) имеет вид

х_х=тх₂, yi=my₂, г_х=тг₂. (21.5)

Если т> 0, то векторы а и b имеют одинаковое направление; если т< О, то направления векторов противоположны.

5. Длина вектора. Длина вектора а (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле

| a\ = \AB\=yJ(x_B-x^+{y_B-y^²+(z_B~z^². (21.6)

Длина радиус-вектора а вычисляется по формуле

\а \=y/x²+y²+z². (21.7)

6. Деление отрезка в данном отношении. Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=Х, то координаты точки С находятся по формулам

	хА+Ххва 1 +Х ’		Ул + ^Ув. 1 + X		Za~\~ Xzb 1+Я,

При X— 1 получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:

,,.ь±а_;!с.ь±ь. о,.,,

7. Направляющие косинусы вектора. Углы, образуемые радиус-вектором а с координатными осями Ох, Оу, Oz, вычисляются по формулам

хх у у z

COSа = -=г-= - =, COSp = _r=r- = --- г. =, COSy = -=r- =

1^Д1 y/x²+y² + z² \^а\ у]х² +у² + z² \^а\

(21.10)

_n/jc²+j>²+z²

Косинусы углов, вычисляемые по этим формулам, называются направ­ляющими косинусами вектора а.

Для направляющих косинусов вектора имеет место соотношение

cos² a+cos² Р+cos² у= 1. (21.11)

1. Отрезок АВ, где А (7; 2; —3), В(—5; 0; 4), разделен точкой С в отношении Х = АС:СВ= 1:5. Найти координаты точки С.

О Подставляя в соотношения (21.8) значения х_А = 1, у_А = 2, z_A — —3, Xjg — — 5, у_в=0, z_B== 4 и Я. = 1/5, получим:

7+(1/5)(—5) 2+(1/5)• 0 5 — 3+(1/5)-4 11

^с 1 + 1/5 ’ ^Ус 1 + 1/5 3’ ^с 1 + 1/5 6'

Таким образом, С (5; 5/3; —11/6). ф

2. Найти косинусы углов, которые вектор а=7—2/+ 2к образует с базисными векторами.

О По формуле (21.6) находим длину вектора а:

\<i I=>/¹²+(—2)² + 2² = 3.

По формулам (21.10) находим косинусы углов, образованных данным вектором с базисными векторами: cos a =1/3, cos р=—2/3, cos у = 2/3. ф

3. Дан параллелепипед ABCDA^^^D^. Отложите: 1) от точки

А вектор CD; 2) от точки B_t вектор АВ; 3) от точки С вектор AA_V

4^ Дан тетраэдр ABCD. Найдите^сумму векторов: 1) ВС + CD +

+ DA; 2) AD + DC+CB; 3) AB+i&+CD+DA.

5. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_V Найдите сумму векто- ров: 1) ВС+СС₁ + С₁В₁; 2) СВ+В^^AD^+D^; 3) АС_Х + •\~D±A -\-BD± -\-D±D; 4) D±C -j-AA^ +C5+QC.

6. Дана призма АВСА^В^С^. Найдите сумму векторов:

1) АВ+ВВ_Х + В^С; 2) АС? + С^В +ВА^; 3) АВ+ВС+СС_Х + -\-CiBi -\-В₁А₁.

7. Пусть М—середина отрезка АВ и О—произвольная точка пространства. Докажите, что выполняется равенство ОМ= = (ОА + ОВ)/2.

8. Дан тетраэдр ABCD^ От точки В отложите_вектор, противо­положный вектору: 1) AD; 2) CD; 3) АВ; 4) АС.

9. Вне плоскости треугольника АВС взята точка О. Отложите от точки О векторы: 1) ОВ—ОА; 2) —ОС—ОВ;^3) ОА — ОВ + ОС.

10. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что AD + BC=BD + AC.

11. Дан параллелограмм ABCD и вне его произвольная точка О. Докажите, что OA + OC=OB+OD.

12. Пусть М—точка пересечения медиан треугольника АВС и О—произвольная ^гочка_пространства. Докажите, что выполняется равенство ОМ=(ОА + ОВ+ОС)/3.

13. Дан параллелепипед ABCDA^B^^D^ Укажите, какие из следующих трех векторов компланарны 1) АВ, ВС, DD_t; 2) AA_l9

bJ? ССГ; 3) АВ ВС, СС_Х; 4) Д AD, 5) Д

4^!, СС_Х; 6) B_tB_t, DD^, AA_t; 7) АВ, DC, А_ХВ?.

14. Назовите три упорядоченные пары вершин тетраэдра ABCD, задающие коллинеарные векторы, и по три упорядоченных пары, задающих компланарные и некомпланарные векторы.

15. Дан параллелепипед ABCDA^B^^D^ Разложите по векто­рам р = АВ, q = AD и г=АА₁ векторы: 1) AD_X; 2) АС_Х; 3) AM,

где М—середина ВВ_и 4) AN, где N—середина В±С; 5) АР, где PeD_lC_l и D₁P:PC₁ = 3A.

16. Дан тетраэдр ABCD. Мецианы грани АВС^ пересекаются в точке М. Разложите вектор DA по векторам DB, DC, DM.

17. Дан параллелограмм ABCD и вне его точка М. Разложите по векторам МА=а, МВ=Ь, МС=с векторы: 1) МО, где О—точка пересечения прямых АС и BD; 2) MD; 3) MN, где N—середина отрезка AD.

18. Постройте точки: А(2; 3; 4); В(— 2; —3; —4); С(— 2; — 3; 4); D{2; -3; 4); Е(-2; 3; 4); F(2; 3; -4); G(0; 0; 2); Н(3,0; -4).

19. Назовите координаты вектора 1) 3i+2j—5lc; 2) 2i—к;

0,57+Jlj; 4) 3£; 5) -4/; 6) (Г.

20. Даны векторы: 1) д = 2/+3/ — 5fc; 2) 5= — /—2y+3fc. Запи­шите их координаты.

21. Постройте векторы: 1) а = (2; 3; 4); 2) 5=(2; —3; —4);

с=(3; -1; -4); 4) Я=(-5; -4; 3).

22. Постройте вектор АВ, если: 1) А (2; —3; 4) и /?(— 3; 2; —5);

А(0; -2; 3) и Б(5; 0; -4).

23. Зная координаты точек А (4; —3; 2) и 2?(— 2; 4; —3), ЛГ(0; 5; 1)

и N(—4; 0; —3), найдите координаты векторов АВ^ и MN.

24. Зная координаты векторов а=(2; 3; — 4]^ Ь = (—1; 2; 1) и?=(3; 0; 2), найдите координаты векторов:^ 1) а+Ь; 2) а + с; 3) а+Ь — с; 4) За; 5) — я+2с; 6) 2а + ЗЬ — 2с.

25. Пользуясь условием коллинеарности двух векторов, про­верьте, коллинеарны ли векторы: 1) а = (2/5; —1/3; 4/5) и Ь =

=(3/5₅ -1/2; 6/5);.2) с=(-6; 1/3; 3) и Я={-2- 1/9; -1/3).

26. При каких значениях пир векторы а=(—3;,л; 4) и В =(—2; 4; /?) коллинеарны? ^

27. ^Вычислите^ длину вектора: 1) а = — 7— 2J+ 2к\ 2) 6= = Г+ 2/— з£; 3) с=7—1с; 4) *?=— 3£

28. Вычислите длийу вектора я+5, если: 1) я=(—1; 2; 1),

Н-2; 2; -1); 2) я=(1; -2; 3), В={-lj 2; -3).

29. Вычислите длину вектора Зя+26, если а=(2; 0; 0), 6=(1; 1; -1).

30. Вычислите длину вектора АВ, если ^4(5; 3; 1) и В(4; 5; —1).

31. Найдите периметр треугольника, образованного векторами АВ, ВС и СА, если Л (8; 0; 6), В(8; -4; 6), С(6; -2; 5).

32. Отрезок Л Б задан координатами своих концов А(4; 2; —3) и В (6; —4; —1). Найдите координаты точки С, делящей этот отрезок пополам.

33. Отрезок АВ задан координатами своих концов А(3; —2; —5) и 5(7; 6; — 1). Найдите координаты точки С, делящей его в отношении Х=АС:СВ= 1:3.

34. Найдите точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки А(1\ —4; 5), В(— 1; 8; — 2) и С(—12; —1; 6).

35. Найдите косинусы углов, которые образуют с базисными векторами следующие векторы: 1) а=f-f/-+ к; 2) 5== (4; 3; 0); 3) с = —/— 3fc; 4) 3=31