Практические занятия По математике

Зав. редакцией Е. С. Гридасова Редактор А. М. Суходский Мл. редакторы Г. В. Вятоха, Н. П. Майкова Художественный редактор В. И. Пономаренко Технический редактор А. К. Нестерова Корректор Р. К. Косинова

ИБ № 7816

Изд. № ФМ-952. Сдано в набор 03.03.89. Подл, в печать 16.10.89. Формат 60 x 90Vi6- Бум. офсет. № 2. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Объем 31,0 уел. печ. л. 31,0 уел. кр.-отт. 29,91 уч.-изд. л. Тираж 100000 экз. Зак. № 1028. Цена 1 р. 10 к. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая> Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва,

Валовая, 28.

 

 

2) Решите уравнение

I. Найти производную /' (х).

5) Решите уравнение

_Л. /4я \ /4 я \

2sinl ——х I — sin I 1 = 0.

I вариант

1) Вычислите sin 2a, cos 2a и tg2a, если sina=l/2 и я/2<а<я.

2) Вычислите sin (a/2), cos (a/2) и tg(a/2), если cos a=3/5 и 37i/2<a<2rc.

3) Докажите тождество

2sina+sin2a,a

---------------- =ctg

2 sin a—sin 2a 2

5) Решите уравнение

sin 2x=cos x—cos Зл:.

1. Основные формулы интегрирования. Функция F(x) называется перво­

5) Решите уравнение х⁴—4х² +

57. Найдите частные решения уравнений:

§ 2. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

3) Вычислите сумму членов ряда 3) Вычислите сумму членов ряда

» 2п+1 ” 1

„=1 п²(п+1)² „=1 п(п+ 1)(л+2)

§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ

1. Гармоники. Простейшей периодической функцией является синусои­дальная функция /(jc) = ^4 sin (cojc+ф), где А, ю и ср—постоянные. Она называется простой гармоникой.

Функция f(x) описывает гармонические колебания, которые обусловли­ваются различными причинами. При этом: А—амплитуда колебания (размах колебания); сох+ф—фаза колебания; ф—начальная фаза колебания; со—круговая частота колебания.

I вариант

ограниченной линиями у=cosx, л:=0, У—1/2.

2) Вычислите объем тела, огра­ниченного поверхностями z=2л:+2, у=х², jc=0, у=9, z=0.

3) Вычислите площадь части по­

верхности цилиндра у=х², ограни­

ченного плоскостями z=0, z=6—х—

3) 4) 5) -£=; 6) ^ 33. 1) ^L;

J г²—х¹ ау/а²—х² ау/х²—а² 2х. V^х 1

f(5f-2) f(3f²-l) ^ _^fi_2_vp/2 "V4 n_ -____ • 21 •

\/З^Л y/i^l 2(ax+b)³¹²’ (x²+l)³'²’ x 2x³ з 2x 3 4

’³⁾ (1 _JC²)3/2 ^{; 4) _}(_x4_ 1)3/2 - ³⁵’ 1) (j__lxyi2 ’ ²> ^_(_x2_ 1)3,2; ³)

[1] вариант

₃2х-3_₉х-1 _{+ 3}2х _{= 675}

1) Решите уравнение

log2X-log₂*-2 ^

log₂x+l

[6] Очевидно, что при х-> — 2 функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при х->—2 стремятся к нулю. Сократив дробь на х+2, находим

[7] Умножив обе части данного неравенства на (х—4)² (х+3)², получим неравенство

(х-3)²(х-2)(х+1)(х-4)(х+3)^0,

имеющее два посторонних решения —3 и 4, которые надо исключить из множества решений. Левая часть последнего неравенства обращается в нуль в точках —3, —1, 2, 3 и 4. Таким образом, получаем промежутки знакопостоянства —оо<х<—3, —3<х< —1, — 1<х<2, 2^х<3, 3<х<4 и 4<х< + оо (рис. 22).

И. Найти критические точки функции j=/(x), т. е. точки, в которых /' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

III. Исследовать знак производной /' (х) в промежутках, на которые

найденные критические точки делят область определения функции / (х). При

[11] См. § 4 и 6 гл. 9

cos (a — P) cos p — sin (a — p) sin p

[13] Докажите тождество

tg a tg p+(tg a+tg P) ctg (a + Р) = 1.

4) Докажите тождество

[15] sin 20° sin 50° sin 70° = sin 80°.

5) Решите уравнение

>/3sinA:+cosx= 1.

[16] Решите уравнение

sin Зх+sin x=2 sin 2x.

[17] Иногда частотой называют величину со. Она выражает число колебаний, совершаемых точкой Р в течение 271 секунд.

образной для функции/(х) в промежутке а^х^Ь, если в любой точке этого

промежутка ее производная равна / (jc):

F'(x)=f(x)=>dF(x)=f(x)dx, a^x^b.

по дифференциалу / (х) dx есть действие, обратное дифференцированию,—

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной / (х) или

интегрирование.

[24] f(x) dx = f /[ср (и)] Ф' (и) du=f F(u) du.

[25]

[26] Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины и, соответствующей промежутку а^х^Ь изменения независимой переменной х, выполняется по следующей схеме:

[27] у= —х² + 4 и 7 = 0.

О Выполним построение фигуры (рис. 76). Искомая площадь заключена между параболой у—— х²+4 и осью Ох.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая 7=0, найдем х=±2. Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу,и полученный результат удвоим:

[28] Так как плотность воды равна 1000 кг/м³, то вес воды в объеме 1 м³ составляет 9,807 • 1000=9807 Н. Поэтому вес dP слоя воды в объеме dV равен 9807яг² <йс.

[29] Извлеките корень yjl+2/^/3.

+ 16 = 0.

[31] /Ч9у = 0; 2) -^-2^+5у = 0; 3) /'+4/ + 7>> = 0.

[32] Скрещивающиеся прямые. Чтобы найти расстояние между скрещи­вающимися прямыми а и Ь, достаточно через прямую b провести плоскость осЦд и из любой точки А прямой а провести к плоскости а перпендикуляр AA_t (рис. 159).

1. Необходимый признак сходимости ряда. Ряд £ и_п может сходиться

и= 1

только при условии > что его общий член и_п при неограниченном увеличении номера п стремится к нулю: lim и_п =0.

п-юо

оо

Если lim и_п ф 0, то ряд ]Г и_п расходится—это достаточный признак

^п~*^со п — 1

расходимости ряда.

2. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами,

а) Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого,

[34] Найдите формулу общего чле- 2) Найдите формулу общего чле­на ряда: на ряда:

3 5 5 9 13

а) i+-+-+...; ^а)Т⁺2⁺Т⁺-^:

5 8 __ч 4 7 10

^б)5⁺7⁺9⁺-' ^б)2⁺⁴⁺12⁺- •

[35] 1 / 1 \ 1 1

=-2n sin 2nn-\—- cos2nn — I 0+—cosO)=0+——=0. n n \ n²) n² n²

1) Вычислите площадь фигуры,

— у, х = 0, у— 4.

[39] 4) ^—^7', 5) 6) 70. 1) Х! = -5; х₂=4; 2) x_t=2,5; х₂ = 5;

а+5 За+l 4—х 5у+2

3) х-2\ 4) лг! = —0,75; х₂ = 1; 5) ^=-3,5; у₂=-1; 6) z, = -4; z₂ =9; 7) x_t =

= —3; х₂=2/3; 8) *i = 5; х₂=6. 71. 1) x_U2= ±1; х_ЗА= ±2; 2) х_1-2= ±3; х₃,₄ =

= ±5; 3) дс1,₂= ±1/3; х_зл= ±2; 4) х_и2= ±1/2; х₃,₄= ±4. 72. 1) (х—2)(x+2)x

х(2х—1)(2х+1); 2) (x-2)(x+2)(x-ll)(;c+ll). 73. 1) *i = -3; х₂=2; х₃ = 5;

[40] ----- -; 3) lg. j) _nsS4_; 2) лЗ*6. 19. 3 628 800. 20. 12!

(л+1)! (и-5)!

[41] я5. 2. я/². 3. 20я см². 4. (яа/2)(я+2#sin(cp/2))sin^_2(cp/2). 5. 32Я^/3/3.

6. 9 см. 7. 12яя². 8. у/М² + k²N². 9. QKy/3. 10. 0,5яя cos²(a/2)sin^-2(cp/2) х

xcos^_1a. 11. я*²^^^,^^{71 см2}* ^(4у/3 + 1)/6. 14. nr²sin х 490