Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование

Совокупность первообразных для функции / (х) или для дифференциала / (х) dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом j/ (х) dx. Таким образом,

J/ (х) dx=F(x) 4- С, если d [/’(х) 4- С] =/ (х) dx.

Здесь / (х)— подынтегральная функция; f(x)dx—подынтегральное выраже­ние; С—произвольная постоянная.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

1°. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

\dF(x) = F(x)+C.

2°. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d\f(x)dx=f(x)dx, =/(*)•

3°. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

I [/(*) +Ф (*)] ^dx=if(^x) ^dx+$ Ф М ^dx-

4°. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выно­сить за знак неопределенного интеграла:

J af (х) dx = a$f (х) dx. ■

5°. Если J f (x)dx=F(x) +С и н=(р (х)— любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

\f(u)du=F(u) + С.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

|йЬс=л:+С;	(11.1)
jc"^+1
x^ndx=------ -+С {пФ-\)\ л+1	(11.2)
Cdx —=ln|jc|+C;	(11.3)
I a^xdx=—l-C; J Ina	(11.4)
$e^xdx=e^x+C;	(11.5)
j" sin jc — cosjc+C;	(11.6)
J cos x dx=sin x+C;	(11.7)
f Л —г^-=tg x+C; J cos X	(11.8)
Г dx -^-5—=-ctgx+C; J sin x	(11.9)

 

 

dx x

= arcsin -+C; (11.12)

y/a*=Z-

 

dx 1 x

j—-j=-arctg -+C. (11.13)

x+a a a

При применении формул (11.3), (11.10) и (11.11) знак абсолютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.

2. Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2) данный интеграл после применения свойств 3° и 4° приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3° и 4° приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Найти следующие интегралы:

1} 2) f6x²dx- 3) $4(x²-x+3)dx;

О 1) На основании свойства 4° постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и, используя формулу (11.1), получим

1 5dx=5 $dx=5x+C.

2) Используя свойство 4° и формулу (11.2), получим

\6х²dx=6 \x²dx=6 ------------------ \-С=2х³ + С.

J J 2+1

Проверка: d(2x³ + C) = 6x²dx. Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

3) Используя свойства 3° и 4° и формулы (11.2) и (11.1), имеем

х³ х² 4

=4 •——4* — + \2х+С=-х³ — 2х² + \2х+С.

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произ­вольную постоянную (Ci — С₂ + С_ъ = С).

4) |2(3x— \)²dx=j (18x² — 12x+2) dx= 18 f x² dx—12 (xdx+2 f dx=6x³ —

6x ² 4" 2x 4" C.

5) J——------ ——dx—j*(x² + 3x4-4)</x=j*x²</x+3Jxtf£x+4Jd!x=^x³4-

xx² + 4x + C. ф

^i,) J*^{_4л; 2)}If-

О Используя формулу (11.2), находим:

Г x"⁴⁺¹ х"³ 1

1) \x-*dx=—--=— + С=- —5+С;

J -4+1 -3 Злг³

Г /JV Г х~^1/2+1 ^

2) 1^7‘г"“^Л‘^ЙТТ’^г*^,"^+с‘²^^+с' *

LjJS; ₂₎J^_; 3

О 1) По формуле (11.3) находим

. 1+С.

J ^х

2) Так как dx=d(l+x), то

hx), ТО

Г dx f</(l4-x)

—— = ————In11 +x 4-С. J 14-x J 14-x

3) Так как xdx=^d(x²+1), то

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение х² + 1>0. #

4. 1) J2 ^Xdx\ 2) J 2^х2xdx; 3) \e~^3x2xdx.

О 1) По формуле (11.4) при я = 2 получим

2^х

2^xdx=—~ 4-С. In 2

2) Так как х</х=(1/2)*/(х²), то

Г Г 1 if 1 2^х2 2^х2-1

j **,*- j 2--<^)=- j 7*^).--- +С=— +С.

3) Так как xdx= — (l/6)d(— Зх²), то

Je“^3x2x<*x= — ^Je^_3x2<i(—Зх²)= — ^е^-3х2 + С. •

5. 1) J sin (ax+b)dx; 2) jcos(5x—3)dx;3) J tg xdx.

О 1) Так как d(ax+b) = adx, то dx=(\/a)d(ax+b). Следовательно,

f 1 If I sin (ax+b)--d(ax + b)=- si J ^a aJ к как (\/5)d(5x—3' J*cos(5x—3)flfx=^ |*^cos (5*

Ilf 1

sin (ax+b)'-d(ax + b)=- sin (ax+b)d(ax+b) = cos (ax b) +C.

2) Так как (\/5)d(5x—3) = dx, то cos (5л:—3) dx

3) Так как sinx^ = — d(cosx), то

Г fsinxflfx Г d (cosx)

tg х dx= I =— I — — In |cosx| + C. ф

J J cos x J cos x

6. „ fj*; ₂, f ₃₎ f *; 4)

J cos² у J cos² x³ J 2 sin² z J sm² (.

(x²+l)

О 1) По формуле (11.8) находим

dy

2 = 5tgy+C. cos^z у

2) Так как d(x³)=3x² dx, to x²dx=-d(x³). Следовательно,

 

x² dx if d(x³) 1

=-tgx³ + C.

COS^AX^J

 

3) По формуле (11.9) находим

 

dz 1

-CtgZ+C. sin^z z 2

 

4) Так как x</x=(l/2)<i(x²+1), то

 

;^и)^=_Ь‘^8(х2+1)+с- •

I У*^2+4 *•«Ш ^2) 3> Й* О 1) По формуле (11.12) находим

^1 У*^2+4 О 1) По формуле (11.10) получаем х—2

Г dx С dx 1 J х^2—4 J х^2 — 2^2 2*2 2) По формуле (11.11) находим dx

	I;
		=1п \х+^/х^2 + 4 | +С.
		dx 25+4х

 

 

и Г *** [ ^dx if J v"9 —16jc^2 J [~9 7~^4J 4 /-------- X V 16 3) По формуле (11.13) находим dx 1

Найдите следующие интегралы: 9.1) Jtfrfcp; 2) Jx^4dx; 3) Jx^m_1d!x; 4) \x^l~^ndx. 10. 1) J4 t^3dt; 2) \nx^n~^ldx\ J(4m^3 —6m^2—4m+3)</m; 4) |jc^2 + 5^dbc; J3 (2x^2 — l)^2 dx; 2) Jx^3(l+5x)*/x; Jx^4(x— l)d!x; 4) J(2x—1)^3 dx. J(3x ^4-f8x ^5)*/x; 2) J(x ^4—x ^3 —3x ^2 + \)dx. jp ^2)\^Х~Г^;^3) J(5«^3/2-7«^3/4)rf«; |5x4/jTrfx; 5) jx~^2/3dx.

Зч/ф” Г/ 3 2 4 */?" \ j -n ГГ ^3rf<p J q> ’ ' J x+3’ ' J 2—<p’ j jc^2rfjc | JC^2d!x J rr^; 5) J | 5^хй?х; 2) J4^2Mjc; 3) $5^x3x^2dx. j(e^x+2x)dx; 2) f (3^x-e^x-l)dx; ]e^5xdx; 4) fe^2x2xdx; 5) fe~^x3x^2dx. J(sinx—5)dx; 2); 3) Jsin6xiix; J sin (x/4) dx; 5) j x sin x^2 dx. j (4—3 cos x) dx; 2) j cos 4x dx; 3) J cos (x/6) dx;

		2x x arctg —+C. •
		16. 1 17. 1
	18. 1 19. 1 20. 1 21.1

 

 

4) Jcos(2 — 3x)dx; 5) \x²cosx*dx.

ix Г cosxdx „ Г sinxdx __ч Г cosxdx

* J315ГГГГ’ ²⁾Jj^ ³>JsTw

²³' ¹¹ flcos' v^{1 2)} {cos’ 5*' ³⁾ jcos^tt+f.)^{1 5)}j^- ^з>Ы=г

f 2dx __ч Г du __ч Г dx „ f 3dx

Чутз^⁵ Чу!^^{; 4)} Jyi6^'

*»Ji& ®fs& «Й?-

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

Отыскание функции по заданной производной или по дифференциалу— задача неопределенная, так как j/ (х) dx означает множество первообразных функций вида y=F(x) + С, отличающихся друг от друга постоянным сла­гаемым С; С может принимать любые числовые значения, если на перво­образную функцию не наложено никаких начальных условий. Чтобы из мно­жества первообразных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия. Под начальными условиями понимается задание частных значений х и у для первообразной функции y = F(x) 4-С, по которым находится определенное значение С, удовлетворяю­щее этим начальным условиям.

27. Найти функцию, производная которой у' = 3х² — 6*4-2.

О Имеем У = 3х² — 6х+2, или —=3х² —6x4-2, т. е. dy=(3x² — 6х+2)dx.

dx

Находим интегралы от левой и правой частей последнего равенства:

Jdy=J(3x² — 6x4-2) dx; _<у4-С₁=х³ — Зх²4-2x4- С₂.

Полагая С₂ —Сх = С, получим

у=х³ — Зх² 4-2x4-С.

Мы нашли общее выражение функций, имеющих своей производной / = 3х² — 6x4-2. В дальнейшем при интегрировании подобных выражений постоянную интегрирования будем писать только в правой части, ф

28. Найти функцию, производная которой у' = 2х—3, если при х=2 эта функция принимает значение, равное 6.

dy

О Имеем у' = 2х—3, или —=2х—3, т. е. dy=(2x—3)dx. Интегрируя обе dx

части последнего равенства, находим

Jdy=j(2x—3)dx; у=х² — Зх4-С.

Вычислим С при заданных значениях х=2 и у = 6. Подставив в выражение для функции эти значения, получим 6 = 2² — 3-2+С, откуда С= 8.

Итак, функция, удовлетворяющая заданным начальным условиям, имеет вид у=х²-Зх+8. ф

29. Найти J (cosx—sinx) dx, если при х=п/2 значение первооб­разной функции равно 6.

О Имеем J (cos х—sin x)dx=f cos xdx—Jsinxdx=sin x+cosx+C. Вычис­лим С при заданных начальных условиях: 6 = sin (я/2) + cos (я/2) + С, откуда С=5. Следовательно, первообразная функция >>=sinx+cosx+5. ф

30. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент каса­тельной в каждой ее точке (х; у) равен 2х.

dy

О Согласно условию, к—2х. Известно, что fc=tga=—; следовательно,

dy ^dX

—=2х, т. е. dy = 2хdx. Интегрируя, получим idy=(2xdx; у=х² + С.

dx

Мы нашли совокупность (семейство) кривых, для которых угловой коэффициент касательной в любой точке равен 2х. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=0 получим параболу у — х² с вершиной в начале координат, при С— 1—параболу у=х² +1 с вершиной в точке (0; 1), при С= —2—параболу у—х² —2 с вершиной в точке (0; —2) и т. д. (рис. 66). ф

31. Составить уравнение линии, ес­ли угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен у/х.

у

О Согласно условию, к=~; так как

х

dy dy у к=—, то —=—, откуда, разделив перемен­ах dx х, dy dx

ные, имеем —=—. Интегрируя, находим

у х

№

Произвольную постоянную полагаем равной In С для удобства упроще­ний. Потенцируя, получим у = Сх—уравнение семейств прямых, проходящих через начало координат, ф

32. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (0; 1), у которой касательная в любой точке кривой имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания.

dy dy

О Согласно условию, имеем к=—=у, т. е. —=dx. Интегрируя, получим

dx у

1п^=х+С.

Из начальных условий находим In 1=0+С, т. е. С=0; следовательно, у=е^х. ф

33. Найдите функцию: 1) производная которой у' = 4х³ —2х-+3;

дифференциал которой dy = (2x + 6)dx.

34. Найдите функцию: 1) производная которой у' = 2х—5, если при х= — 3 эта функция принимает значение, равное 28; 2) обращаю­щуюся в нуль при х = 0, если / = Зх²-4х+5; 3) производная которой у' = 3е^х + 2х, если при л:=0 эта функция принимает значение, равное 8.

35. Найдите: 1) J(sinx+3cosx)dx, если при х=я первообразная функция равна 4; 2) J(cosx—e^x+2x)dx, если при х = 0 первообраз­ная функция равна 3.

36. Найдите уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (х; у) равен: 1) — Зх; 2) х+2.

37. Составьте уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен: 1) — у/х; 2) х/у; 3) —х/у.

38. Найдите уравнение кривой, проходящей через начало коорди­нат, если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен х/3.

39. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М(\; 4), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен Зх² — 2х.

40. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку А(—1; 3), если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен утроенному квадрату абсциссы точки касания.

41. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(0; е), если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке равен у.

§ 3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

42. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону v — 3t² — 2t. Найти закон ее движения.

О Известно, что скорость прямолинейного движения точки равна

ds

производной от пути s по времени t, т. е. v=—=3t² — 2t, откуда ds = (3t² —

at

— 2t)dt. Интегрируя, находим

j(3/² — 2t)dt; s—t³ — t² + C. ф

43. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону v = 3t²+4. Найти закон движения s, если за время t = 2 с точка прошла 20 м.

ds

О Так как v=—=3/²+4, то ds=(3t²+4)dt. Интегрируя, получим dt

\ds=\(3t²+4)dt; s=t³+4t+C.

Используя начальные условия, найдем 20 = 2³ + 4 *2 +С, т. е. С=4. Итак, закон движения точки имеет вид s=f³ + 4/+4. ф

44. Найти закон движения свободно падающего тела при пос­тоянном ускорении g, если в начальный момент движения тело находилось в покое.

О Известно, что ускорение а прямолинейно движущегося тела есть

вторая производная пути s по времени t или производная от скорости v по

d²s dv dv

времени t, т. е. а=—-^=—. Так как a=g, то —=g, откуда dv=gdt. dt dt dt

Интегрируя, получим

\dv=\gdt; _V=gt + C_l.

Используя начальные условия t=0, t? = 0, имеем 0=_<g *0 + C₁, т. е. ^=0.

Таким образом, скорость движения тела изменяется по закону v=gt.

_IIU ^ ds ds

Найдем теперь закон движения тела. Так как v=—, то ——gt, или

dt dt

ds=gtdt. Интегрируя, получим

Используя начальные условия /=0, 5=0, имеем 0=g-0^2/2 + C2, С2 = 0. Итак, закон движения падающего тела имеет вид s=gt^2/2. #

 

45. Точка движется прямолинейно с ускорением a = 6t—12. В мо­мент времени / = 0 (начало отсчета) начальная скорость v₀ = 9м/с; расстояние от начала отсчета so = 10 м. Найти: 1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t = 2 с; 3) момент, когда скорость является наименьшей.

dv

О 1) Находим скорость: —=6/—12, или dv = (6t—12) dt. Интегрируя,

dt

получим

\dv = \(6t-\2)dt; v=3t²-\2t+C₁.

Используя начальные условия t — 0, v₀ = 9, имеем 9 = 3 О² —12 0+Ci, т. е. Сi=9. Следовательно, i? = 3r² — 12/Н-9.

ds

Находим закон движения точки: —=3/ — 12/Н-9, или ds=(3t — I2t+9)dt.

dt

Интегрируя, находим

f ds=j (3t² — \2t+9) dt; s=t³ — 6t² + 9t+C₂.

Используя начальные условия /=0, 5₀ = Ю, имеем 10 = О³ — 6 О²+ 9 *0+С₂, т. е. С₂ = 10. Таким образом, s=t³ — 6t² + 9t+10.

2) Найдем a, v и s при /=2: а=6 -2—12=0; v = 3 *2² —12 *2 + 9= —3 (м/с); 5=2³—6 -2²+ 9 -2 +10= 12 (м).

3) Исследуем функцию, определяющую изменение скорости, на макси­мум и минимум:

v = 3t² -\2t-\-9, v' = 6t— 12, 6t— 12=0, t = 2; v" = 6>0.

Следовательно, скорость является наименьшей при t=2 с.- #

46. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону: 1) v = t² — 8f + 2; 2) v = 4t—3t².Найдите закон движения

точки. -

47. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой v = 2t — 3. Найдите закон движения точки, если к моменту начала отсчета она прошла путь 6 м.

48. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой v = 3t²+4t— 1. Найдите закон движения точки, если в начальный момент времени она находилась в начале координат.

49. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой v= 2 cos t. Найдите закон движения, если в момент t=n/6 точка находилась на расстоянии s=4 м от начала отсчета.

50. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Найдите закон движения этого тела (сопротивлением воздуха можно пренебречь).

51. Точка движется прямолинейно с ускорением a=12t² + 6t. Найдите закон движения точки, если в момент t— 1с ее скорость г = 8 м/с, а путь s=6 м.

52. Точка движется прямолинейно с ускорением а=— 6^+18. В момент времени t = 0 (начало отсчета) начальная скорость v₀ = 24 м/с, расстояние от начала отсчета s₀ = 15 м. Найдите: 1) ско­рость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t=2 с; 3) момент, когда скорость является наибольшей.

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подста­новки) заключается в преобразовании интеграла J/ (jc) dx в интеграл \F(u)du, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла j/ (jc) dx заменяем переменную jc новой переменной и с помощью подстановки х=ср (и). Дифференцируя это равенство, получим dx=(p' (u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через и и du, имеем

if М <fc=J/[<p («)] Ч>' (и) du=i F(u) du.

После того как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки г/=\|/ (лг) он приводится к переменной jc.

Найти следующие интегралы:

53. 1) J(3x+2)⁵ dx; 2) }(2x³+l)⁴x²dx;

__ч Г xdx Г х² dx

³>J<?7iF^{; 4)}J^T-

О 1) Введем подстановку 3x4-2 = и. Дифференцируя, имеем 3dx=du, откуда dx=(l/3)du. Подставив в данный интеграл вместо 3x4-2 и dx их выражения, получим

|(3_Л+2)^=1|„^_И=1-1-+С=1«⁶₊С.

Заменив и его выражением через х, находим

(3x+2)⁵fifcc=-^M⁶ + C=-^(3jc+2)⁶ + C.

J 18 18

Проверка: d -^-(Зх+2)⁶ + С =^-(3x-b2)⁵-3dx=(3x+2)⁵dx. 118 I 18

2) Положим 2х³ +1 =и, откуда 6x²dx=du, х² dx=(\/6)du. Таким j*(2x³4- l)⁴x²dx=-j*M⁴dM=-- — + С=—м⁵ + С=—(2х³4-1)⁵ +С.

3) Полагая х² + 1=м, имеем 2xdx=du, xdx=(\/2)du. Значит

-Ч-^^+с--5.^+с-

■+С.

4(х²4-1)²

Положим 5х³4-1 = м, откуда 15x²dx=dM, x²dx=(1/15) dM. Поэтому х² dx 1 Г du 1 1 -

t5FTT⁼T5j7⁼i5^ln“^+c=T5^{ln|5jc +1|+с} •

. 1) ftgkxdx; 2) f—; 3)

J J sm м J cos м

I I sin dx

О 1) Имеем tgfcxdx=---------------- —. Положим cos kx = u, откуда

J J cos kx

iin /ex dx=dw, sin kx dx = — (1/A:) dw. Следовательно,

f 1 fdw 1 1

tg kx dx = —= — — In | г/1 +C= — - In I cos kx | +C.

J k] и k k

 

Г*-. Г._____ J sin м J 2 sin (m/!

2) Так как sin м=2 sin (м/2) cos (м/2), то

du

m/2) cos (m/2)

Разделив и умножив знаменатель на cos (м/2), получим

du

Г *_.i Г_

Jsmu 2jtg(u/:

w/2)cos² (m/2)

Положим tg(M/2) = z; тогда —2 — ~du=dz, т. e. —, ■—-- = 2dz. Таким I 41 //1 / ЛЛС* I^- *

1,, __________

cos² (m/2) 2 ^Z’ ^e* cos² (m/2)

образом,

 

z| 4-С=In | tg (m/2) | +C.

3) Имеем | — |—Положим ^4-m=z, тогда du=dz. По- sin (

этому

О 1) Положим 5х² = и, откуда 10xdx—du, xdx=(l/10)dw. Значит,

 

Г if 13“

^5x2 xdx=— I 3^й du—— -—- +С= J 10 J 10 In 3

 

2) Положим — Зх²4- 1 = w, откуда —6xdx = du, x dx — — (1 /6) du. Таким образом,

^e~^3xl+i xdx= - ^X-^e^u du= ~^e^u+C= - ^Х-е-^3х2+' + C. •

56. 1) [^ф-dx; 2) f-

J v* J^c

cos² 2x²*

О 1) Положим y/x=u, откуда dx/(_sfx)=2du. Следовательно, dx=2 J sin udu= —2 cos u+C= —2 cos yfx+C.

2) Положим 2x² = w, откуда 4xdx=dw, xdx=(\/4)du. Таким образом,

Г 3xdx 3 Г du 3 3

—2~^~2⁼1 —=-tgw-bC=-tg2x" J cos 2д: 4 J cos м 4 4

Г 3^х dx Г cos xdx

‘ ' J \j25—9* ^; ^ JiW7

О 1) Полагая 3^х — щ находим 3^xln3dx=dw, _V/25^9^X =_х/25^«²^. Сле­довательно,

du 1. и 1. 3^х ^

— =—- arcsin - + С=-—— arcsin — 4- С. у/б^-й² 1пЗ 5 In 3 5

(5x^4+3)^J____ 61. 1) jy/4x^3+1 x^2dxr; 2) j*л/с*^4 — l)^3 x^3dx; 3)J yj2sinx— 1 cosxdx (подстановка 2sinx— 1 = w); 4)jy/e*+Te^xdx (подстановка e^x+\=u).

		2) Положим sinx=w, откуда cos xdx=du. Таким образом, Г cos xdx С du 1 и „ 1 sinx _J—r-j-= —^=-^arctg-+C=-^arctg—--+c. • J4+shtx J44-M 2 2 2 2 Найдите следующие интегралы: 58. 1) $p-2x)^3dx; 2) |(5г-1)^4Л; dx Г dz

 

 

V(*^3-D^3 ’

[^eixdx 1V (* cosxdx ’ J e^3x+V ^) J 2sin x+1 ’

sin^2 (я/3 —cp)’

Г dx J xsin^2 lnx

z^/l — ln^2z e^xdx

J» 2) j*xe^-x2Ac; 3) j*e^sinxcosxAt; 4) Jfsin(f^2 — 1)A; 2) Jsin(z/2)A; 3) Jx^3 cosx^4 At; Jcos^/x dX; ^ j*xcos(x^2+l)dx. {y^cos^2V7^: 2) 3)|: dx

Jx^2 sin^2 (1/x)’ f -^gy^- ■ 2) f sin xdx _ч f e^xdx _4 fx^2dx.ч f > Ji+7^1-’ ^4) J:

Щг ^2>Шг ^3'1 j cosxdx: ^ Г e^xdx J yj\ — sinx J

f z^2<fc J T+T^3,. ___________________ Jtg Зхй£х; 2) |ctg dx; 3) Jctg (x/2) dx.

Jn/(3z^4+2)^3 z^3<fe; 2) J ^/(1 — 3*^2)^4 xfifct.

x(l +ln^2 x)

x^2 dx

		62. 1 63. 1
		dx

 

 

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Интегрируя обе части равенства d(uv) = udv + vdu, получим J d(uv) = $udv + \vdu\ uv=$udv+$vdu,

откуда

\udv = uv—\vdu. (11.14)

С помощью этой формулы вычисление интеграла J udv сводится к вычислению интеграла \vdu, если последний окажется проще исходного.

74. Найти следующие интегралы:

1) JxsinxAr; 2) J—3) j^%₄/x² + a² dx.

О 1) Положим и=х, dv = sin х dx; тогда du= dx, J dt; = J sin x dx:, т. e. v = — cos x. Используя формулу (11.14), получим

J л: sin xdx— —jccosjc+J cos xdx= —xcosx+sinx+C.

, ^dx _J ^dx L [^dx f -_2J

2) Положим u= \nx, dv=—; тогда du =—, \dv= — = x dx= = — v= — По формуле (11.14) получим

X X

fin л:, lnx Cl dx \nx Г ₀, \nx 1

\—dx= -------------- +----------- =---------- + \x~²dx = --------------------- + C.

J x^z X J X X X J XX

3) Положим u=y/x² + a², dv = dx; тогда du—- ^X-^X -, v=x. По форму-

y/x² + a²

ле (11.14) получим

f Jx² + a² dx=xy/x² + a² — f

В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем а² и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

Г Гг- 2"j Гг ----- 2 fx² + a²-a² г— --- _т Г х² + а²

Jx^ + a* dx — x Jx^z + a^z — — - — dx — xjх^л + а.¹ — — -dx+

J^{v V} J ^V ijs+a*

dx

² Г ^Й

+ <Z I —r—

J Jp

Последний интеграл находим по формуле (11.11): f у/х² + а² dx—xyfx² + a² —\у/х² + а² dx+a² In |x+y/x² + a² | +C. Перенеся j yjx² + a² dx из правой части в левую, получим

2\Jx² + a² dx=xy/x² + a² +tf²ln \х+^/х² + а² | + С,

или окончательно

х² + а² dx=^xy/x² + a² + ^-ln| х+у/х² + а² \ +С. #

Найдите следующие интегралы:.75. 1) Jxcosxdx; 2) j(l — х) sinjtdk. 76. 1) 2) yn²xdx.

77. 1) \xe^xdx; 2) |4^-.

J J ^sin x

78. 1) | arcsin xdx; 2) farctgxdx.

79. 1))e^xcosxdx; 2) je^xsinxdx.

80. Проверьте равенства интегрированием по частям:

1) J y/x² —a² dx—\-x у/ х² — a² — ^-ln | х+ y/x² — а² | +С;

2) ^у/а²—х² rfjt=y arcsin^ + ^у/а²—х² +С.

§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

При вычислении интегралов вида j sin²" х dx или j cos²".г dx от четной степени синуса или косинуса используются формулы понижения степени

., 1— cos 2х ₉ 14-cos 2х sinx =--------;, cos х=.

2 2

При вычислении интегралов вида jsin²”⁺¹ xdx или Jcos²ⁿ⁺¹ xdx от нечетной степени синуса или косинуса нужно отделить от нечетной степени один множитель и ввести новую переменную, полагая cos x=t в первом интеграле и sin x=t—во втором.

При вычислении интегралов вида j sin сих cos рлг dx, J sin ax sin px dx и j cos ax cos fixdx применяются формулы

sin ax sin px=^ [cos (a—P) x—cos (a 4- P) x], cos ax cos px=- [cos (a—P) x+cos (a4- p) x],

sin ax cos px=^ [sin (a—p) x+sin (a4- P) x].

Найти следующие интегралы:

81. 1) Jcos² xdx; 2) Jcos*xdx.

О 1) Заменяя cos²x на (14-cos 2x)/2, получим

f. _j [*1 H-cos 2x 1 f If cos xdx= 2 2 °

2) Jcos⁴xdx=J(cos²x)²dx=^ dx=-Jdx+- Jcos2xd!x4-

В последнем интеграле заменим cos^22x на (14-cos4x)/2; тогда получим 1 1 8*^+32^S

■U-

Jcos⁴ x<fa'=-x+ - sin 2ж+ - J”(l +cos4л:)Л=-х+ -sm2x+ — sin4x+C=

1 1

=-x+ -sin2x4- — sin4x+C. #

82. 1) Jtg² xdx; 2) Jt%^Axdx.

О 1) Воспользовавшись соотношением tg²x=—; 1, получим

cos^z x

{^tg2x<fe=J(^k-¹)'^fa=I^"I^dx=tg"“^x+c

Вычислим первый интеграл. Полагая tg х=м, найдем dx/(cos² х) = du и, следовательно,

Использовав результат предыдущего примера, окончательно получим J*tg⁴x</x=^—^-tgx+x+C. ф

83. 1) J sin³ xdx; 2) Jtg³xdx.

О 1) | sin³ x dx=J sin² x sin x dx⁼J (1 — cos² x) sin x dx.

Положим cos x=u; тогда—sin xdx=du и, следовательно,

(* Г I/³ COS³ X sin³ xdx= — (1 —u²)du=—u+ — +C= — cosxH-- h C.

2) Jtg³^=Jtg^tgx^=J

Г _{w ч} fsinxdx 1 _

= tgxd(tgx) — ------------- =-tg²x4-ln|cosx| + C. ф

J J cos x 2

84. 1) J sin5xsin3xrfx; 2) J cos 4x cos x dx; 3) J sin 7x cos 3x dx.

f if 1/1 1 \

О 1) sin 5x sin 3xdx=- (cos 2x—cos 8x) t/x=— I — sin 2x— - sin 8x I 4- C=

1 1

=- sin 2x------ sin 8x4- C.

3 16

f if 1/1 1 \

2) cos4xcosxdx=- (cos3x4-cos5x)dx=-l -sin 3x4- -sin5x I 4-C=

=\ sin ЗхН- jt sin 5x4- C.

⁶ 10

f If 1/1 1 \

3) sin 7xcos 3xdx=- (sin4x+sin lOx) dx=-I — -cos4x— ^^cos Ю* I 4-

4- C= — ^cos4x—— cos 10x4-C. ф

⁸ 20

Найдите следующие интегралы:

85. 1) j* sin² xdx; 2) J sin⁴ xdx.

86. 1) Jetg²xdx; 2) J ctg⁴ xdx.

87. 1) Jcos³ xdx; 2) J sin⁵ xdx;

3) Jcos⁵ xdx:; 4) J ctg³ xdx.

88. 1) J sin 3x sin x dx; 2) J cos 5x cos 3x dx; 3) J sin 4x cos 3x dx.

§ 7. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

89. Найдите функцию, производная которой / = sin2x—хе^3х24-1.

90. Найдите, _{если при х}=п\2 значение первообразной

J cosx4-e

функции равно 2.

91. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку

А (я/3; 2), если угловой коэффициент касательной к кривой в каж­дой ее точке равен cos (х/2). 92. Скорость прямолинейного движения точки задана форму­лой t; = sin2f. Найдите закон движения точки, если в момент t = n/6 она находилась на расстоянии 0,75 м от начала отсчета.

93. Точка движется прямолинейно с ускорением а=(—6f+24) м/с². В момент времени /=1 с ее скорость v= 15 м/с, а пройденный путь

= 20 м. Найдите: 1) закон изменения скорости точки; 2) закон движения точки; 3) ускорение, скорость и путь в момент /=3 с; 4) мо­мент времени, когда скорость точки будет наибольшей. Найдите следующие интег

тегралы: 95. e^cosx^/e

Г sinxd!x Г cosxdx >• I--------------. 97. I =—.

J 1—cosx J 9+sin х

8. J sin² x cos² xdx. 99. J sin 5x cos xdx.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

I вариант

Найдите интегралы:

J ху/х

3) •

J Sin X COS X

4) Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (—2; 8), если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен 2х—4.

5)Скорость прямолинейного движения точки v = 3t² + 6t—4. Най­дите закон движения точки, если за время г=2с она прошла путь 8 м.

II вариант

Найдите интегралы:

„ Г-Д-У^-%

J ху/х

2) Jbb⁺?b

3) J(4sin² х cos х—cos x) dx.

4) Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (п/3; 1/2), если угловой коэффициент касатель­ной к кривой в каждой ее точке ра­вен sinx.

5) Точка движется прямолиней­но с ускорением a = 6/+ 6. Найдите закон движения точки, если 5=0 в момент времени / = 0, а в момент времени t=3 с скорость г=40 м/с.

 

Глава 12 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция /(х) определена на отрезке а^х^Ь. Разобьем этот отре­зок на п частей точками а<х₀<х₁<х₂<...<х„ = Ь, выберем на каждом эле­ментарном отрезке х_л_!<х<х_л произвольную точку £_к и обозначим через

Ах_к длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке а^х^Ь называется сумма вида

£ /(ддх^дуд*, +/(УДх₂ +...+/(уЛх„. fc= 1

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке а^х^Ь называ­ется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: ь

f(x)dx= lim £ /(У Ах_к

max Ajc_k—*0 к = 1

Для любой функции /(х), непрерывной на отрезке а^х^Ь, всегда

ь

существует определенный интеграл J f(x)dx.

а

Для вычисления определенного интеграла от функции /(х) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл ^(х), служит формула Ньютона — Лейбница:

 

f(x)dx=F(x)

 

т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вычислить следующие определенные интегралы:

13 2

1) J xdx; 2) J х² dx; 3) J (х² + 2х+ 1) dx.

о 2 -i

О По формуле Ньютона—Лейбница получаем:

1

1 1 1 =;(1²-о²И;

о

³ 1,., 19

=;(3³-2W;

3) |(^+2x+1)^=^³+x²+xJ²_i=^-2³ + 242J-^(-1)³

-1

+(-1)Ч(-1)]=9. •

1 е

1. 1) | e^xdx; 2)

I -1 /*-

i -i ^[24] г^2"^1 =e —e =e —=-

1

N/2

2. 1) Jcos xdx:; 2) j*

i, I^n/2. ^n • ^n * 1 1 О 1) cos x dx=sin x\ =sin-—sin—= 1 — -=-; ^1 U 2 6 2 2

/6 ф

я/6

я/3

js?r -(f - ')-³

я/4

V3/2 1

¹ ■> J Ж? ²⁾ Ji

-1

V3/2

[ dx. I^². Уз. *

, = arcsin x = arcsin arcsin (— 1)=-

J ^я ’ ^{1 1 V} ■

f dx

²⁾ Jtt?-"¹⁸*

_л 71 _Л Я

= arctg 1—arctg 0=—0=-. ф о 4 4

 

Вычислите следующие определенные интегралы:

2 3

5. 1) \x²dx 2) fx³dx; 3) fx⁴dx.

Oil

з о

6. 1) j (4x> — 3x² + 2x+l )dx; 2) J (x³-+2x)dx:.

-2-1 1 1/2 4

7. 1) | J; 2) jj; 3)

1/2 1/3 0

8 27

8. 1) [\fPdx-, 2)

^4> Ы*-

9. 1) \e^2xdx; 2) \e^3xdx.

о

¹⁰- ■> jr^{: 2}> \h -^{3) 4>} fx+r

я/3 я/4 я/2

и. l) J sinxrfx; 2) J cos xdx; 3) J (cos x — sin x) dx.

О —я/4 —я/2

я/4 я/4 я

12. 1) f cos2 xdx; 2) J sin4.xdx; 3) Jcos(x/2 )dx.

о

я/4

 

* ~ ^ ч Г 4dx

1) —;

J cos^x

я/3 я/4 14. 1) 1-1---------------- Л-W; 2) (—5=—sinxW J \cos^zx swrxy J \cos^zx J V3 Гdx J-\/4-*^2 V 2

\/l-^^2 J s/9-х^2 J_^/4

	1/2
		VI		5^3

 

16.

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной

ъ

(способом подстановки) определенный интеграл {/(х) dx преобразуется с

а

помощью подстановки и=\|/(х) или х=ср (и) в определенный интеграл относительно новой переменной и. При этом старые пределы интегрирова­ния а и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования а и Р, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: а=\|/(я), Р = \(/(б).

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений а=ф(а) и & = ф(р) относительно аир.

Таким образом, имеем

17. Вычислить определенные интегралы:

2 1 V3/3

1) j*(2x-lfdx\ 2) J—==; 3) j*(2x³+l)^[25]x²dx; 4) J _

V2/3

О 1) Введем новую переменную интегрирования с помощью подста­новки 2х— 1=и. Дифференцируя, имеем 2dx=du, откуда dx=(\/2)du. Нахо­дим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 2х—\=и значения х=2 и х=3, соответственно получим м_н = 2*2—1=3, и_в = 2-3 —1 = 5. Следовательно,

3 5

’=^(5^4-3^4)=68.

|(2х-1)³Лс=^

2) Положим 5х— 1=м; тогда 5dx=du, dx = (l/5)du. Вычисляем новые пределы интегриров