Согласно формуле (29.15), получим

j у/1 — х _t

V=Qzdxdy=^dx J (3— х— y)dy= J j^3x— xy —yj dx=

yj 1 x²

П-Xi

1

= I (бл/l — x² — 2x yj 1 —x²)dx.

Первый интеграл вычисляется по формуле

____ у _х

0 — x²dx=-arcsin x+-y/l — х²,

41. Вычислить объем шара радиуса R.

О Из уравнения сферы x²+y²+z² = R² находим z=^/R² — (х²+у²). В

силу симметрии сферы относительно начала координат вычислим 1 /8 объема шара, расположенную в I октанте. Проекция части сферы, принадлежащей I октанту, на плоскость хОу есть 1/4 часть круга х² +y² = R², ограниченная осями Ох и Оу.

Для упрощения вычислений интеграла перейдем к полярным координа­там. Так как x=rcoscp, >>=rsin(p, то x²+y² = r², r=R. Полярный угол изменяется от 0 до тс/2. Область D в полярных координатах запишем в виде системы неравенств 0<ф^я/2, О^г^Л.

Согласно формуле (29.15), получим

о

Вычислим внешний интеграл:

о

 

1 4

Значит, F=8 -nR³=-nR³. # 6 3

42. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=9 — x² —у², х² + у² — 2у = 0, z=0.

О Данное тело есть вертикальный цилиндр, ограниченный сверху параболоидом z=9 —х²—у², сбоку цилиндром x²-hy²—2у=0, снизу кругом х² + у²—2у=0. Так как область интегрирования является кругом, а подын­тегральная функция зависит от х² +у², то перейдем к полярным координа­там. Уравнение окружности примет вид r²cos²9 + r² sin²9 — 2rsin9=0 или т²—2т sin ф = 0, откуда ^=0, r₂ = 2sin9. Полярный угол ф изменяется от 0 до п. Область D запишется в виде системы неравенств О^ф^тг, 0^г^2sinф, а подынтегральная функция примет вид z=9—(х²+>>²)=9—г². Используя формулу (29.15), получим

V=jjzdxdy=jj(9-r²)rdrdq>=jdq> J (9r-r³)<fr=|j^-^S'”’rf(p =

D D 0 0 0

=|[18sin²9-4sin⁴<p]</<p=|^18^{1 c}°^s2?_₄^^] ^^s2(p^ ^dq> =

0 0 я

= J[9“ 9^c°s2cp —1 + 2cos 2ф—сов²2ф]^ф =

я

= jj^8 - 7 cos 2cp - * ^{+ C}°^{S 4<P} j cftp = 7, 5 (куб.ед.). • о

43. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверх­ностями:

1) z = 6, у=х², у=4, х=0, z=0;

2) z = 3 — x—y, х=0, у = х² + \, у = 2, z = 0;

3) z—4—х² —у², х= ±2, у=±2, z = 0;

4) z = 4x+ 1, у=х²₉ х=0, у = 4, z = 0;

5) z = 4 —х², х+>> —4 = 0, х=0, jf = 0, z = 0;

6) z = 2—x, j;² = 9x, >>=3x², z = 0;

7) z=x²+}'², x+>> = 2, x = 0, y=0, z=0;

8) z=x²+y², x=0, x=3, 7 = 0, 7 = 2, z=0.

44. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхно­стями (для вычисления интегралов используйте полярные коорди­наты):

1) z—16 —(х²+у²), z = 0;

2) z = _n/x²+t², х²+>>² = 9, z = 0;

3) z = x²+y², x²+j>² = 4, y=x₉ y — у/ Зх, z = 0; дуга окружности x²+j>² = 4 лежит в I квадранте;

4) z = 6 — х²— у², x²-hy² = 4, z = 0;

5) z = x²+y²₉ x²-h7² + z²=12, z=0;

6) z=12 —x²—7², z = 3.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ

Если поверхность задана уравнением z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (2=0), то площадь S поверхности вычисляется по формуле

^s* Я D⁵**- ^<29-^,б)

D (хОу)

Если поверхность проектируется на плоскость yOz (х=0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной х и формула примет вид

^s= II ^>жщ

D iyOz)

Если поверхность проектируется на плоскость хОу(у= 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной у и формула примет вид

^s‘ II^(29,8>

D ( xOz)

45. Вычислить площадь треугольника, образованного при пересе­чении плоскости x+3y + 2z=6 с координатными плоскостями.

О Найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной пло­скостью:

х у z _л

6 ⁺ 2⁺3⁼¹’

х=6, у—2, z—3 (рис. 217).

Чтобы воспользоваться фор­мулой (29.16), решим уравнение данной плоскости относительно переменной z и найдем частные

1 ^{1 3} производные: z=3--x—-y,

dz 1 dz 3 dx 2’ dy 2

При z=0 имеем x+3y=6,

откуда у = 2—-x; следовательно, в плоскости z=0 область D запишется в виде системы неравенств О^х^б, Тогда

⁵⁼ Я >/¹⁺(4У⁺Н) ^dxdy=\^dx {

D (хОу) о О О

^x^rfx=3_N/l4 (кв. ед.). •

О

46. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х²+у² = 16, заключенной между плоскостями z = 0, z = 4x, у=0.

О Искомая поверхность лежит в I октанте (рис. 218). Проекция поверхности на плоскость xOz (у=0) есть прямоугольный треугольник, в котором ОЛ=х=4 и уравнение гипотенузы О В имеет вид z=4x. Следова­тельно, область D в плоскости xOz определяется системой неравенств 0<;с<4, 0<z<4a:.