Двугранные и многогранные углы

Перпендикулярность прямой и плоскости

28. Дан параллелепипед ABCDA^^^D^, причем М лежит на ребре АВ. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходя­щей через точку М и перпендикулярной прямой АВ.

29. Пусть ABCD—параллелограмм, О—точка пересечения его диагоналей; SA = SC, SB=SD, где S—точка вне плоскости парал­лелограмма. Докажите, что SOLiui. ABCD.

Расстояние от точки до плоскости

30. Диагональ куба равна т. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости противолежащей грани.

31. Сторона правильного треугольника равна а, точка М расположена вне плоскости треугольника и отстоит от всех его вершин на расстоянии /. Найдите расстояние от М до плоскости треугольника.

32. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Точка М находится на расстоянии h от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найдите это рас­стояние.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпенди­кулярный им, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых.

Длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых является расстоянием между этими прямыми.

33. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^^D^. Ука­жите общий перпендикуляр прямых: 1) АВ и DD_t; 2) ВС и AA_t; 3) A_lD_l и DC.

34. В кубе ABCDA_iB₁C_iD₁ найдите расстояние между прямыми ВВ_г и АС, если ребро куба равно а.

Теорема о трех перпендикулярах

35. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см проведен перпендикуляр длиной 16 см к плоскости треугольника. Найдите расстояние от концов перпенди­куляра до гипотенузы.

36. Стороны треугольника равны 51, 30 и 27 см. Из вершины меньшего угла треугольника проведен к его плоскости перпенди­куляр длиной 10 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до противолежащей стороны треугольника.

37. Диагонали ромба равны 60 и 80 см. В точке пересечения диагоналей к плоскости ромба проведен перпендикуляр длиной 45 см. Найдите расстояние от этой точки до стороны ромба.

38. Точка М находится на расстоянии 11 см от каждой стороны равнобедренной трапеции с основаниями 16 и 30 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

39. Точка М равноудалена от всех вершин правильного треугольника со стороной а и находится на расстоянии А от плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки М до стороны треугольника.

Угол между наклонной и плоскостью

40. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C_lD₁ найдите углы наклона диагонали AC_t к плоскостям граней, имеющих общую вершину А, если АВ=ВС=а, AA_t = 2a.

41. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные под углом 45° к плоскости, а их проекции составляют между собой угол 120°. Вычислите расстояние между концами наклонных.

42. В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов образует с плоскостью, в которой лежит другой катет, угол 45°. Докажите, что гипотенуза образует с этой плоскостью угол 30°.

43. Наклонная АВ образует с плоскостью а угол 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости а, составляет угол 45° с проекцией

наклонной АВ. Докажите, что В%С=60°.

44. Докажите, что если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 60°.

Двугранные углы

45. На грани двугранного угла в 60° дана точка, удаленная от ребра на расстояние т. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.

46. Внутри двугранного угла 120° дана точка М, удаленная от каждой из граней на расстояние т. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

47. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 12 см, боковая сторона одного треугольника равна 10 см, а боковые стороны другого взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.

48. Отрезок, длина которого равна а, упирается своими концами в грани прямого двугранного угла, образуя с каждым из них угол а. Вычислите проекцию этого отрезка на ребро двугранного угла.

Перпендикулярные плоскости

49. Концы отрезка АВ лежат на двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Длины перпендикуляров, опущенных из точек А и В на линию пересечения плоскостей, соответственно равны а и 6, а расстояние между их основаниями равно с. Вычислите длину отрезка АВ и длины его проекций на данные плоскости.

50. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 4 см; боковое ребро 8 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная основа­нию. Вычислите площадь сечения.