Основные свойства тригонометрических функций

297. Найти области определения функций: 1) у= 1/sin х; 2) у= = 1/(1 — cos jc); 3) j=tg4x; 4) ^=l/ctgx.

О 1) sin*#0, хФтск;

2) 1— cosx#0, cosx#l, хФ2пк;

2 4хФп/2+пк, хфп/8 + пк/4;

4) ctg*#0, хФк/2 + пк, кроме того, хфпк, следовательно, хфпк/2. #

298. При каких значениях аргумента принимают наибольшее и наименьшее значения функции: 1) >>=2 sin Зх; 2) ^ = (1/2) cos 2x1

О 1) Имеем sin3*=l, Зх=п/2-\-2пк, значит, при х=п/6+2пк/3 функ­ция принимает наибольшее значение, равное 2. Аналогично, sin3x= — 1, Зх= —тс/2 + 2пк, т. е. при х= — п/6 + 2пк/3, функция принимает наименьшее значение, равное —2.

2) Имеем cos2x= 1, 2х=2пк т. е. при х=кк функция принимает наибольшее значение, равное 1/2. Аналогично, cos 2х = — 1, 2х=п(2к+1), т. е. при х=(к/2)(2к+1) функция принимает наименьшее значение, равное -1/2. •

299. Найдите области определения функций: 1) у = 1/sin л:²; 2) у= = tgx/sinx; 3) у=sinx/tgx; 4) у=ctg3x; 5) у=(\ + sinx)/cosx.

300. Найдите области определения функций: 1) ^=tgxctgx;

}> = cosx+ctgx; 3) у= 1 / (sin х+cosx); 4) у= 1 /(sin²x—sinx);

5) }> = ctgx/(sinx—cosx).

301. При каких значениях аргумента принимают наибольшее и наимецьшее значения следующие функции: 1) jy=sin (х— 1); 2) у = = cos(tc/4+x); 3) }>=3sin4x; 4) j; = (l/2)cos5x?

302. Найдите множества значений функций: 1) ^=sin|x|; 2) у= = |sinx|; 3) >>=cos|x|; 4) }> = |cosx|.

303. В каких границах могут изменяться функции: 1) у= 1—sinx;

j = 3 + sinx; 3) у= 2— cosx; 4) }>=5+cosx?

304.Имеют ли наибольшее и наименьшее значения функции: 1) y=tgx; 2)y=|tg*|; 3) y=tg²x?

305. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:

1) j;=4 + sin(x— я/12);.2) у = 6 — sin²x; 3) ^ = 5 — 3|sinx|.

306. Найдите множества значений функций: 1) j;=sin х+cosx;

2) j; = 3sinx+₄/3cosx; 3) }> = sinx—^/зcosx (см. задачу 235).

307. Исследуйте с помощью производной и сформулируйте основные свойства функций: j; = sinx, у = cosx, y = tgx, y = ctgx.

§ 29. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

308. Построить графики функций: 1) >> =,4sinx; 2) j=sin(x+a);

3) ^=sina)x.

О 1) Если А>0, то данная функция имеет те же промежутки возрастания и убывания, что и sinx, наибольшее значение функции равно А, а наименьшее равно —А. График получается растяжением синусоиды >>=sinx в А раз от оси абсцисс. Такое преобразование называется преобразованием амплитуды. На рис. 60 изображены графики функций >>=sinx, у=2sinx, >>=(1/2)sinx.

2) График данной функции получается

y-sin х Рис. 61

 

 

из графика функции у=sinx параллельным переносом начала координат в точку ос; 0). Такое преобразование называется сдвигом фазы. На рис. 61 изображен график функции;; = sin(x—я/4).

3) Наибольшее значение этой функции равно 1, а наименьшее равно — 1; период равен 2 тс/со. Полагая со= 1, ю=2 и со = 1/2, построим графики функций y=sinx, >>=sin2x и >>=sin(x/2).

График функции у = sin2x (период Т—п) может быть получен путем «сжатия» синусоиды у = sinx вдоль оси абсцисс в два раза. Аналогично, график функции >>=sin(х/2) (период Т=4п) может быть получен путем «растяжения» синусоиды у=sinx вдоль оси абсцисс в два раза. Такое преобразование называется преобразованием периода. Графики изображены на рис. 62. ф

 

 

У
	_ у-COS X X'N /fain я
ЪСУ \/7	чУ!/’ \\А ''А'?^5'
XJ \/f	\У_ \J-r-cosZx y*l+cos2x
\ / ЧУ Л /	\j \J y4H0S2x \ /~\ f u= . ^г

309. Построить графики функций:

1) j^sinx+cosx; 2) y=cos²x.

О 1) Преобразуем данную функцию следующим образом:

у=sin х 4- cos х=у/2 sin (х 4- п/4).

График изображен на рис. 63.

2) Запишем данную функцию в ви­де у=cos² х=(1 /2) (1 + cos 2х). Последо­вательность построения графика видна на рис. 64. ф

Постройте графики функций:

310. 1) >>=3sinx; 2) j; = 2cosx; 3) j>=(— l/3)sinx.

311. 1) >>=sin(x—я/6); 2) у=cos(x4-я/3); 3) y=tg(x—я/4).

312. 1) у—cos2x; 2) y=cos(x/3); 3) >> = tg(x/2).

313. 1) y=sinx—cosx; 2) j; = sin²x.

§ 30. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

314. Открытый желоб в сечении имеет форму равнобедренной трапеции (рис. 65), основание и боковые стороны которой равны а. Чему равен угол наклона а стенки желоба к его высоте, проведенной из вершины тупого угла, при наибольшей пропускной способности желоба?

Найдите производные следующих функций:

315. 1) 7 = (l/3)sin³x—sinx; 2) j; = cos(x4-tf)sin(x—a).

316. 1) y= —; 2) y=tg2x—ctg2x; 3) j>=tg²2x+ctg²2x.

tg Зх— 1

317. 1) y=lnctgx; 2) /(x) = lnsin(x/3); вычислите /'(я/2); 3) y= = In cos² X.

318. 1) v = ln / ~^^C0S*; 2) v = lnsin²(x— 1); 3) w=lntg²z².

yj 1 — COS X

319. 1) s = \ne^sin2t; 2) j; = e^sinxcosx; 3) >>=e^tgxcos²x.

320. 1) y=SLTCCOSy/\— x²; 2) w=arcctg-j-^; 3) j;=arctg₄/x4- + arcctg yfx.

! g^x _ с ~ ^x / "

321. 1) j;=arccos_>/l— e^2x\ 2) y= arcsin^^^; 3) y = SLrctgy/e^x— 1.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

Вычислите производные при за- Вычислите производные при за­

данных значениях аргумента: данных значениях аргумента:

1) /(x)=sin²lne^x, /(0); 1) /(.*)=In tg² 2х, /(я/8);

2) f(x)=3 In у/ cos 2х, /' (я/8); 2) /(*)=2 In yiin~2x, /' (я/8);

3) f(x)=arccos y/x, /'(1/2);

4) /(*) = 8 sin²* cos л:, /'(я/4).

5) Точка движется прямолиней­но по закону s=sin²/. Найдите мо­мент времени t, когда ее ускорение равно 1.

3) /(*)=arctg е *, /'(0);

4) /(x)=sin2jc(l+cos2x),/'(я/4).

5) Точка движется прямолиней­но по закону 5=sin²/. Найдите мо­мент времени /, когда ее ускорение равно нулю.

 

Глава 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

Дифференциалом функции y=f(x) (или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции /'(*) на произвольное приращение аргумента Ajc:

dy=f'(x) Ах.

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx — Ах. Поэто­му дифференциал функции равен произведению ее производной на диф­ференциал аргумента:

dy=f'(x)dx. (10.1)

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от диффе­ренциала первого порядка:

d²y=f"(x)dx ², (10.2)

т. е. дифференциал второго порядка функции y=f(x) равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.

1. Найти дифференциалы первого порядка следующих функций: 1) у=(х³-2)⁴; 2) у=у/х²-1; 3) ^lnsin^*.

О Воспользуемся соотношением (10.1):

1) dy=((x³ — 2)*)'dx=4(x³—2)³ • 3x²dx=\2x²(x³ — 2)³ dx;

2)

dy=(In sin у/х)'dx= —cosVx-— ^—dx =^ ф

sin yfx 2 yfx 2 y/x

2. Найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

1) у =In sin² 2х; 2) у = е~^х.

О Воспользуемся соотношением (10.2):

1 1 8

у'——^—-2sin2xcos2A:-2=4ctg2x; у" = —4 •., ■ -2=—.; sin² 2* sin² 2х sm 2х

»2 п_А 2 ^МХ2 1 2

d у—у dx — — -r^rr-dx, sin^ 2х

1) у'=—е ^х; у"— е ^х\ d²y=y"dx² = e ^Xdx². ф

3. Найдите дифференциалы первого порядка следующих функ- ций: 1)>>=(1-х²)⁵; 2) у=(ах² + Ь)^г; 3) y=_s/4-2x¹\ 4) y=l/y/2x-l;

j=lncos²x; 6) j;=ln(l/_N/x); 7) j>=arccos;*:²; 8) y=arcctg(l/x).

4. Найдите дифференциалы второго порядка следующих функ­ций: 1) у = lncos²*; 2) у = \ntg2x; 3) у=а^Ъх\ 4) j> = arccosx; 5) у= = arctgx².

§ 2. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ

Рассмотрим функцию у=/(х). Предположим, что величина х получена непосредственным измерением или в результате приближенного вычисления. Тогда при нахождении величины х мы допускаем не зависящую от нас погрешность А*.

Пусть х—приближенное значение аргумента (измеряемой величины),

Ах—абсолютная погрешность величины х,---------- относительная погрешность

л;

величины х, а х+Ах—истинное значение измеряемой величины (Ад: может быть как положительным, так и отрицательным числом).

Тогда х определяет приближенное значение функции /(х), а х+Ах—ее истинное значение /(х+Ах), откуда следует, что абсолютная погрешность функции

1I = 1/(х +Ах)—/(х) |.

При малых значениях Ах (близких к нулю) величину Ау можно приближенно заменить дифференциалом dy:

Ay=f(x+Ax)—f(x)&f'(x)dx=dy.

Выгода замены приращения функции Ау ее дифференциалом dy состоит в том, что dy зависит от Ах линейно, а Ау представляет собой обычно более сложную зависимость от Ах.

Полагая Ay&dy, получим выражение для относительной погрешности 8 величины у:

 

5. Сравнить относительные погрешности при вычислении площа­ди круга радиуса г=125см, считая, что абсолютная погрешность равна: 1) приращению площади круга; 2) дифференциалу площади круга.

О 1) Находим приращение AS площади круга и относительную

№ 2 ^

погрешность — при вычислении площади круга S=nr^z. Будем считать, что

S

погрешность при измерении радиуса не превышает +0,5 см. Имеем

A.S=7i(r+Ar)² —71г² = я(2гАг+(Аг²))=я(2 • 125 *0,5+0,25)= 125,25л;

AS 125,25л

—=------ ^=0,008016*0,8%.

S 71 • 125

dS

2) Найдем дифференциал dS и относительную погрешность — при

S

вычислении площади круга:

dS 2nrAr dr

dS=2nrAr=2n • 125 *0,5= 125л; —=---------- =-=2 ■—.

S nr² г

Значит, относительная погрешность при вычислении площади круга равна удвоенной относительной погрешности, полученной при измерении радиуса:

dS dr 0,5

Т 7 Тй

Итак, видим, что во втором случае вычисление было значительно проще и выполнено без ущерба для точности вычисления.

Определим относительную погрешность приближения при замене приращения AS дифференциалом dS:

AS-dS 0,25 к

AS—dS= 125,25л -125тс=0,25л:; ———==0,002 = 0,2%.

dS 125те

Относительная погрешность приближения составила всего 0,2%. ф

6. Найдите относительную погрешность при вычислении длины окружности, если г = 50 см, Дг = 0,5 см.

7. Найдите относительную погрешность при вычислении вели­чины, заданной уравнением у=х³, если х — 2 и Ах=0,01.

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛОВОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть дана функция y=f(x); приращение этой функции Ay=f(x+Ax)— —/(jc), ее дифференциал dy=f'(x)dx. При достаточно малых (близких к нулю) приращениях аргумента Ах будем считать, что Ay&dy, т. е. что приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.

Заменив приращение функции ее дифференциалом, получим

/' (х) dx «/(х+Ах) —/(х),

откуда

/(х+Ах)«/(х)+/'(х)Ах. (10.3)

Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.

8. Найти приближенное значение приращения функции у= = 2jc ³ + 5 при х = 2 и Ад: = 0,001.

О Имеем Ay&dy = 6x²dx=6 *2² 0,001 =0,024. Точное значение при­ращения

А_у = 2 (х+Ах)³ + 5 — 2х ³ — 5 = 6х ² Ах+6х (Ах)² + 2 (Ах)³ =

= 6 • 4 • 0,001 + 6 • 2 • 0,000001 + 2 • 0,000000001 =0,024012002. ф

9. На сколько увеличится при нагревании объем шара радиуса R, если его радиус удлинился на величину АЛ?

О Объем шара вычисляется по формуле V=(4/3)тс/?³. Считая прира­щение AR аргумента R малым, заменим приращение объема шара его дифференциалом: AV&dV. Следовательно, для вычисления приращения объема шара достаточно найти дифференциал функции K=(4/3)tlK³, т. е. dV=4nR²dR. •

10. Найти приближенное значение функции /(jc) = 5jc³ —2х+3 при

х = 2,01.

О Полагая х=2 и Ах = 0,01, получим

/(х)=/(2)=5 *2³ —2 *2+3 = 39;

/' (х)Ах=/ (2) * 0,01 = (5х³ —2х+3)'Ах=(15х² —2)Ах=(15 *2²—2)0,01 =0,58.

По формуле (10.3) находим /(2,01) = 39+0,58 = 39,58.

Найдем точное значение функции: /(2,01) = 5 • (2,01)³—2*2,01 +3 = = 39,583005. •

11. Найдите приближенные значения приращений функций:

у=Зх² + 5х+1 при х = 3 и Ах = 0,001; 2) у=х^ъ +х— 1 при х—2 и Ах = 0,01; 3) у=\пх при 10 и Ах = 0,01.

12. На сколько увеличится при нагревании объем куба с ребром 10 см, если удлинение ребра равно 0,02 см?

13. Найдите приближенные значения функций: 1) /(х) = 2х² —

—х+1 при х = 2,01; 2) /(х)=х² + Зх+1 при х=3,02; 3) /(*) = = (1/3)х³+(1/2)х² —2х+4 при х= 1,1.

§ 4. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Применяя формулу (10.3), легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений. Ниже рассмотрим формулы, имеющие практическое значение в приближенных вычислениях.

Формула для приближенного вычисления степеней:

(х+Ах)"«х"+ях" ¹Ах.

Частные случаи формулы (10.4):

1) п — 2, (х + Ах)²«х² + 2хАх; 2) п — 3, (х+Ах)³«х³ + Зх²Ах; 3) jc= 1, (1 +Ах)"«1 +пАх.

Формула для приближенного вычисления корней:

\/ х+Ах&п/х-\ ---------..

пух^{п 1}

Частные случаи формулы (10.5):

п — 2, у/х+Ах&у/х+ ^{Х 1}

 

^/1+Дх«1+—.

п

Формула для приближенного вычисления обратных величин:

_!_~1 ^Ах х+Ах х х²

1—Ах; 3) х = 1 и Ах<0,

1 1 Ах

1 + Ах

 

 

1 + Ах.

Формулы для приближенного вычисления синусов и тангенсов малых углов:

sin Ах* Ах; tgAx*Ax.

14. Найти приближенные значения: 1) (4,012)²; 2) УйООб;

1/1,004.

О 1) Полагая в соотношении (10.4) х=4, Ах=0,012, получим (4,012)² = =(4+0,012)²*4²+2-4 0,012=16,096*16,1 (точный ответ 16,096144)

1) Полагая в соотношении (10.5) х=1, Ах=0,006, получим у/1,006 = =,/1+0,006* 1+0,006/2= 1,003.

2) Полагая в соотношении (10.6) х=1, Ах = 0,004, получим 1/(1+0,004) = = 1-0,004 = 0,996. ф

15. Вычислить sin 12'.

О Так как 12'=0,0035 рад, то sin 0,0035=0,0035. По таблице натураль­ных значений синуса находим sin 12'= 0,0035. ф

16. Найдите приближенные значения степеней: 1) (9,Об)²; 2) (1,012)³;

2) (9,95)³; 4) (1,005)¹⁰; 5) (0,975)⁴.

17. Найдите приближенные значения корней: 1) \/1,012;

1) У25Л6; 3) У^84; 4) /КН; 5) ^9^5; 6) i°/W

18. Найдите приближенные значеййя величин: 1) 1/0,99; 2) 1/9,93;

2) 1/(1,004)².

19. Вычислите: 1) sin42'; 2) sin2°06', 3) tgl°12'; 4) tg3°18'.

§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО СПОСОБУ СТРОГОГО УЧЕТА ПОГРЕШНОСТЕЙ

При вычислениях нередко возникает необходимость знать границы допущенной погрешности промежуточных вычислений и окончательного результата. Такой способ ведения приближенных вычислений называется способом строгого учета погрешностей. Для этого необходимо знать, как вычисляются границы относительных погрешностей алгебраической суммы, произведения, степени, корня и частного.

20. Доказать, что относительная погрешность произведения не превышает суммы относительных погрешностей ее сомножителей.

О Пусть дана функция y=uv, где м=/(х) и t? = <p(x). Прологарифмируем ее и найдем дифференциал:

In y = lnw + lnt;; — У

Так как абсолютная величина суммы не превышает суммы абсолютных величин слагаемых:

du dv		du		dv
---- 1—		—	+	—
и V		и		V

 

то

	dy = du + dv У   и   V

21. Доказать, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и де­лителя.

О Пусть дана функция y=u/v, где u=f(x) и u = (p(jc). Прологарифми­ровав и взяв дифференциал от функции y=u/v, получим

dy du dv

\ny = \nu—\nv, —=------------.

у и V

Так как абсолютная величина разности не превышает суммы абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого, то dy   du + dv (^и\ , ИЛИ 8 - = du + dv У   и   V \^VJ и   V

 

22. Доказать, что относительная погрешность степени равна относительной погрешности основания, умноженной на показатель степени.

О Пусть дана функция у=х^п. Прологарифмируем ее и найдем дифференциал:

dy dx ту=птх; — =п —.

у х

/ \ ^х

Относительная погрешность равна е(лг")=л—.

Частные случаи: 1) я = 2, е(х²)=2—; 2) л = 3; е(д:³)=3—. •

х х

23. Доказать, что относительная погрешность корня равна относительной погрешности подкоренного числа, деленной на показатель степени корня.

О Пусть дана функция у = \[х. Прологарифмируем ее и найдем дифференциал:

1 dy 1 dx

ln^=-ln jc; —=---------.

n у n x

Относительная погрешность равна s(^/x)=^

Частные случаи: 1) п = 2, 6^/*)=^ —; 2) л = 3, е(1/х)=\—. ф

х 3 х

24. Найти относительную погрешность числа х при вычислении этого числа по его логарифму у = lgx.

О Пусть lg* был вычислен с погрешностью Ау, тогда при нахождении по нему числа х будет допущена погрешность Ajc. Относительная

погрешность числа jc равна —.Так как абсолютная погрешность логарифма

х

Ах

Ау& 0,4343—, то

х

Ах Ау

х 0,4343

Таким образом, относительная погрешность числа л: при вычислении его по его логарифму не зависит от значения числа х, а зависит только от погрешности, с которой был найден логарифм числа х. ф

25. Найти относительную погрешность точности отсчета на логарифмической линейке со шкалой 250 мм.

О Допустим, что при установке визира или отсчета со шкалы наибольшая погрешность составляет 0,1 мм.

Найдем абсолютную погрешность логарифма числа. Вся шкала лога­рифмической линейки длиной 250 мм соответствует числу, логарифм которого равен единице (lg 10 = 1). Следовательно, на 0,1 мм шкалы абсолютная погрешность логарифма числа будет в 250 раз меньше, т. е.

Ajc

А}> = 0,1/250 = 0,004. Так как Ау = 0,4343—, то

Ал: Ау 0,004

х 0,4343 0,4343

т. е. относительная погрешность точности отсчета составляет 0,1% (в любой части шкалы), ф

26. При измерении прямоугольного поля нашли его длину и = 60 м и ширину v = 23 м. Погрешность при измерении длины не превышает 0,3 м, а при измерении ширины 0,2 м. Определить границы погрешности, которую мы допускаем, принимая площадь прямоугольника равной 60 *23 = 1380 м², и относительную погреш­ность, допущенную при вычислении площади.

О Имеем \du\<0,3, |*Л;|<0,2. При наихудших условиях |*й/| = 0,3, \dv\ = 0,2. Найдем абсолютную погрешность произведения:

d(uv) = vdu+udv = 23 • 0,3 + 60 * 0,2 = 18,9 * 19 (м²).

Это наибольшая величина абсолютной погрешности, которую мы можем допустить, принимая площадь участка равной 1380 м². Округляя погрешность в сторону увеличения и принимая ее равной 20 м², найдем границы погрешности при вычислении площади. Таким образом, площадь не превосходит 13804-20= 1400 (м²) и не менее 1380—20= 1360 (м²).

Относительную погрешность вычислим по формуле е(ш?) =

, _ч 0,3 0,2 1 2 ^{v ;} 60 23 200 230

Итак, относительная погрешность не превышает 1,4%. ф

27. Для нахождения плотности тела определены его масса m_t= 484 г и масса вытесненной им воды т₂ = 62 г. Абсолютные погрешности Ат_х =0,5 г и А/и₂ = 0,4г. Найти относительную по­грешность при вычислении плотности тела.

О Так как у=т₁/т₂, то

=^^ «0,00103 +0,00645=0,00748 «0,7%. •

28. Найти относительную погрешность, допущенную при из­мерении объема куба, если ребро равно 12,5 см. Абсолютная погрешность Ах = 0,05 см.

О Полагая dx=0,05 см, имеем

Ф>з^=з,^^0,012=1,2%..

29. Найти относительную погрешность, допущенную при вы­числении длины стороны квадрата, если площадь квадрата равна 37,7 см². Абсолютная погрешность Ад:=0,05 см.

О Обозначив длину стороны квадрата через у и площадь через _f х, получим: у=у/х=у/37,1 dx=0,05;

, >----- _ч 1 0,05 0,05

е(Уз7/7)=-000663 *0,1%. •

30. При измерении площади параллелограмма нашли его ос­нование а=70 см (Да = 0,4 см) и высоту h = 48 см (АЛ = 0,3 см). Определите относительную погрешность, допущенную при вычисле­нии площади параллелограмма.

31. Даны два приближенных числа 82,6 и 64,8. Найдите относительную погрешность их частного.

32. Найдите относительную погрешность, допущенную при измерении площади квадратной комнаты, если взято округленное значение стороны, равное 6,4 м (абсолютную погрешность принять равной 0,05 м).

33. Найдите относительную погрешность, допускаемую при вычислении длины стороны квадрата, если площадь квадрата равна 68,5 см².

§ 6. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

34. Найдите дифференциалы первого порядка следующих функ­ций:

1) у = е^х sinx; 2) у = а^хе^х; 3) y^e^x-Jlx\

4) у=(е^х-е *)^[18]; 5) У=-р—_}\ 6) У=-^г-

35. Вычислите приближенные значения приращенйй функции:

1) у—sin2д: при х=к/6 и Дл:=0,02; 2) у = 1пх² при х = 20 и Дх=0,01; 3) j = arcsinx при х = у/з/2 и Дх=0,02.

36. Вычислите приближенные значения функций: 1) f(x) = x^[19] + +x²+x+l при х = 0,001; 2) f (х) = х*—\ при х= — 3,3; 3) /(*) = = х/_ч/х^[20] + 3 при jc= 1,1.

37. Найдите относительную погрешность при вычислении ве­личины, заданной уравнением: 1) у=х² при х=10 и Дл: = 0,01;

2) у = х³ при х = 3 и Дх=0,02.

38. Составьте формулы для вычисления относительных погреш­ностей функций: 1) у = sin²3x; 2) y=tg²x.

39. Составьте формулы для вычисления относительных погреш­ностей функций: 1) y = e^sin2x; 2) у = З^у/х.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

 

I вариант

1) Вычислите дифференциал функ­ции >>=lncos^[21]x при х=п/4 и </х=0,01.

2) Вычислите относительную по­грешность функции F=(4/3)nR³ при Я=300 и dR=0,3.

3) Найдите приближенное значе­ние приращения функции у — х^ъ—х²

при х=2 и Ах=0,01.

4) Найдите приближенное значе­ние функции/(лг)=лг³ — лг²-Ьлг—3 при x=3,03.

5) Вычислите приближенное зна­чение величины 1/0,998.

II вариант

1) Вычислите дифференциал функ­ции jh=In tg 2хг при jc=7с/8 и dx—0,03.

2) Вычислите относительную по­грешность функции у=х³ при х=750 и dx=0,5.

3) Найдите приближенное значе­ние приращения функции у=2^/х +4 при х = 25 и Ал: = 0,01.

4) Найдите приближенное значе­ние функции f(x) = Зх^[22]—х² + 5х—1 при jc=3,02.

5) Вычислите приближенное зна­чение величины (1,02)^[23].

 

Глава 11 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

)