Подставив это выражение во внешний интеграл, получим 6

{(^Здс+т)^⁼[х⁺т"1⁼₇₈-

Теперь вычислим двойной интеграл по формуле (29.6):

Я (.^x+y)dxdy=[dy\ (дс+^) dx.

D 12

Найдем внутренний интеграл:

J*(jc+^)<fcc=|^y+jc>'J =( 18 + 67 )—(2+2у)=4у+16.

Далее найдем внешний интеграл:

1 (4у +16) dy=[2у² +167] ^=78,

Т. е. получили тот же ответ, ф

18. Вычислить двойной интеграл jj (х² —y)dxdy по облас-

D

ти D, заданной системой неравенств 0<х^3; (рис. 204).

О Область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу; поэтому вычислим этот интеграл двумя способами. Произведем вычисление по формуле (29.7). Пределами внутреннего интегра­ла являются функции у=х² и у=9, составляющие уравнения нижней и верхней границ области D, а пределами внешнего интеграла являются абсциссы jc=0 и х=3. Значит,

tf(x²-y)dxdy=]dx](x²-y)dy

D ⁰ X²

Вычислим внутренний интеграл по переменной у в предположении, что х—постоянная:

\^{x‘-^y)dy-[^x‘^yJl\-

*2

/ 81\ / _A 1 81 = (9x²—— J—I x⁴—— J = 9x²—-x⁴ ——.

Вычислим внешний интеграл:

=-64,8.

Произведем теперь вычисление по формуле (29.8). В этом случае область D выражается системой неравенств 0<^^9, 0 ^ л: ^^/у, т. е. пределами внут­реннего интеграла служат функции х=0 и х=у/у, а пределами внешнего интеграла—ординаты у=0 и у=9. Поэтому

9 у/у 9 9

jj(x²~y)dxdy=jdy j*(x²-j)^=J*^Y-^J dy=^^y^m—y ^3/2 ^jdy=

D ООО О

2 Г 2 2 I⁹

= -\\y^V2dy=-_r-y^bl21 = —64,8. •

3 5

19. Вычислить двойной интеграл JJ-rfjcrfv по области D,

D

заданной линиями х=1, х=4, у=х и у = 2у/х.

О Находим точки пересечения этих линий:

Г*=1; Гх=4,

ij>=2<_s/x, М(\\2)\Ху=2у/х, N(4;-

; 4) (рис. 205).

Область D определяется системой неравенств К* <4, Вычислим двойной интеграл по области D:

4 2 VЗс 4 _ 4

20. Вычислить двойной интеграл jj (x+2y)dxdy по области D,

D

А ⁴

ограниченной линиями у=х, у=4х и у=~.

О Находим точки пересечения этих линий:

у=х,

у=~, М(2; 2); 1 у=-, N(1; 4) (рис. 206).

Область D разобьем на две области D₁ и D₂, которые соответственно определяются системами неравенств 0<х<1, х^у^4х и 1 ^х^2, х^у^4/х. Вычислим двойной интеграл по области D_t:

Х 1

I₁=^(x + 2y)dxdy = ^dx^(x + 2y)dy = ^\xy+y²Y_x^xdx=

 

1 1 = J*(4x² + 16 x²—x²—x²)dx= 18

 

О о

Вычислим двойной интеграл по области D₂:

Ах 2

/₂ = Q(x+2y)dxdy =Jrfx ^(x + 2y)dy=^[ху+у²]** dx=

D₂ 1 x 1

1 2

= x²—x²^dx=J(4+ 16x^-2—2x²)dx=j^4x———^x³ J =7^.

l l

Значит, /=/₁+/₂ = 6+7^=13^. #

21. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле \dx ^Xj ²f(x,y)dy.

О х

О Зная пределы интегрирования, запишем область интегрирования D в виде системы неравенств O^x^l, х² + 2.

Построим линии х=0, х= 1, у=х и у=— х² + 2 (рис. 207). Найдем точку

пересечения линий: s _{Л ч}

\у=-х² + 2, М(\;\).

Область D является простой относи­тельно оси Ох. Рассмотрим область D относительно оси Оу. Через точку Af(l; 1), в которой стыкуются участки верхней ^ границы области D, проведем прямую,

y=-X +2(x-^}f2-y) параллельную оси Ох. Эта прямая делит область D на две области и D₂, М(4*л которые запишем в виде систем неравенств

' ¹ ' О^х^у и \^у^2; О^х^у/2-y.

Тогда, согласно формуле (29.8), получим

¹ -х ² + 2 ¹ У

Х=7 Л fdx f f(x,y)dy=\dy\f(x,y)dx+

Ox 0 0

Рис. 207 +[dy j f(x, y)dx. •

1 0

22. Вычислите повторные интегралы: 1) \dx\{x²+y²)dy; 2) $dx](x+2y)dy; 3) \dy\(x²+y²)dx;

1 Ox 10

2 2x 2 4у 1 y2

4) \dx j -dy; S) \dy \ xydx; 6) J dy J (Зле—2 y)dx.

2 X^х 12 у 0 0

23. Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями: 1) JJxdxdy, ху=4, х+у—5=0; 2) \\x²ydxdy,

D D

х²+у² = 16, х+у —4 = 0; 3)\\ydxdy, у=х², х= —2, х=2, у=4;

D

tytfxtydxdy, у—х, у= l/х, х=2; 5) JJ xydxdy, у= 0, у=4—х²;

D D

6) \\x*dxdy, л: = 0, у=х, у = 6—х².

D

24. Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями, предварительно разбив заданную область на две области:

1) \\xdxdy, у=х², у=2х, у=Зх; 2 ) \\(x+y)dxdy, у=~, у=х, у= 4;

D D ^Х

3 4

3) J \ydxdy, y=jx, у=-х, х>0, у>0, х²+у²=25.

D 4 3

25. Измените порядок интегрирования в двойных интегра­лах:

1) \dx ] fix, y)dy, 2) jdy j f(x, y)dx; 3) fdx f f(x,y)dy;

О у 0 _x2

3 у 4 s/16-Х²

4) \dy ] f(x,y)dx; 5) J A: f f(x,y)dy.

1/y -4 о

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

II вариант

1) Вычислите повторный ин-

2 у²

теграл J dy { (2x+y)dx.

-2 О

2) Вычислите двойной интеграл

JJ ху dx dy, где D—область, ограни- JJ ^jdxdy, где D—область, огра-

D d У

ченная параболами у=х² и х=у². ниченная линиями у=\/х, у=х