Измените порядок интегри- и х—4.

3) Измените порядок интегриро­вания в двойном интеграле

- - ²

4 з^ + з

fdy J /(•*> у) dx.

1 1

у

§ 4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х и у к полярным г и ф (см. гл. 14, § 1) выполняется по формуле

>/) =JJy(r e°s Ф, r sin tp)r dr d<p, (29.10)

D D

где x=rcosq>, y—rsinф, rdrdq> = dS—дифференциал площади.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению повторного интеграла по г и ф в заданной области D.

Если область D (рис. 208) ограничена лучами, образующими с полярной ОСЬЮ углы ф! И ф₂, И кривыми Г = гДф) И Г = Г₂ (ф) (где Ф1<Ф₂, г₁<г₂), то двойной интеграл вычисляется^по формуле

ИЛ*> y)dxdy= J d(p J f(r cos ф, r sin ф) r dr. (29. 11)

D 9l ^(ф)

Если область D ограничена линией r=r (ф) и начало координат лежит внутри области D (рис. 209), то

ИЛ*> y)^dxdy⁼$²o^nd(?\ о^Ф> Л^г cos ф, г sin ф) г dr.

26. Вычислить двойной интеграл jjrsincprfrtftp, если область

D

D—круговой сектор, ограниченный линиями г=а, ф = тс/2 и ф = я.

 

 

Рис. 211

 

О Построим сектор ОАВ с центром в полюсе О (рис. 210). Имеем повторный интеграл

Я а

jjrsin<pdr*/<p= J Jrsin<prfr.

D я/2 0

Вычислим внутренний интеграл, считая sincp постоянным:

Г • л Г^г2 • Т *² •

Jrsincpdr= ysm<p =—вшф.

а² С а²_г а² а²

— sin9^=-_T[cos9]'₂=-—(-1-0)=—. •

Я/2

27. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной интеграл Я (^x+y)dxdy, если область D ограничена

D

линиями х²+у²=1, х²+у² = 4₉ у^О.

О Построим область D (рис. 211). Применив формулы перехода к полярным координатам, получим x=r coscp, >>=г sin ср; тогда

JJ (x+y)dxdy=\]{r cos ф+z sin ф) г dr dtp.

D D

Область D в полярной системе координат запишем в виде системы неравенств О^ф^тг, 1^г<2. Поэтому

Я, 2

JJ (x+y)dxdy=\dy\ г² (cos ф + sin ф) dr.

D о 1

Вычислим внутренний интеграл, считая совф + втф постоянным:

J г² (cos ф 4- sin ф) dr=(cos ф + sin ф) J = (cos ф + sin ф)0—^^ (cos ф + sin ф).

Вычислим внешний интеграл:

28. Преобразовать к полярным коорди- натам и вычислить двойной интеграл

Я ->/x²+y²dxdy, если область D ограничена

D

частью окружности х²+у² = \6, х^О, у>0.

О Построим область D (рис. 212). Полагая x=rcoscp, y=rsin<p, получим

у/х² +у²=у/г² cos²<p + г² sin²<p =

=у/г² (cos² ф + sin² ф)=г.

Область D в полярных координатах определяется системой неравенств 0<ф<71/2, О^г^ф. Согласно формуле (29.11), находим

Я/2 4 я/2 4

JJ 'y/xF+у²dxdy= j* dy^rrdr= J dy Jr²</r=

0 0

я/2

=4 ^#

0 0

29. Вычислите повторные интегралы:

2я 2 а я/2 6 я 3

1) J Лр J г²?Йг; 2) j dy\r² cosy dr; 3) \dy J г² sin ф dr;

0 0 я/6 3 0 1

я/3 2 я/6 2 cos ф

4) j d<p $ г³ cosy dr; 5) J dy J r cosy dr.

1 ~ я/6 2

30. Вычислите двойные интегралы:

1) \\r²dydr, D—область, ограниченная окружностями г=1 и

D

г=3;

2) Jjr³flfcpdr, область D задана системой неравенств я/4^ф<я/3,

D

2<г<4;

3) {j sin 2фй?ф dr, область D задана системой неравенств

D

я/6<ф<я/2, 1<г<3.

31. Вычислите двойные интегралы, предварительно преобразовав их к полярным координатам:

круговое кольцо между окружностями х +

 

dxdy, D—область, ограниченная окруж-

D

ностью х²+у²^\6.