Касательная и нормаль к кривой

Пусть на кривой y=f(x) дана точка М₀(х₀; у₀), для которой y₀=f(x₀) (рис. 149).

Значение производной функции y=f(x) при х=х₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой y—f{x) в ее точке с абсциссой х₀, т. е.

k=y'(xo)=f'(xo)=4*>

где а—угол между касательной к кривой в точке М₀(х₀; у₀) и положитель­ным направлением оси Ох.

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке М₀ (х₀; у о) имеет вид

У-Уо=ГМ(х-х₀). (19.25)

Нормалью к кривой y=f(x) в данной ее точке М₀(х₀; у₀) называется перпендикуляр к касательной, проведенной через точку касания М₀(х₀; у₀) (рис. 149).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке М₀(х₀; у₀) имеет вид

у-у =- I (х-х₀). (19.26)

/ (*о)

У'

о

 

Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклона кривой в данной ее точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью Ох.

Углом между пересекающимися прямой и кривой называется угол между прямой и касательной к кривой, проведенной через точку их пересечения (рис. 150).

Углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке их пересечения (рис. 151).

122. Найти угол наклона к оси Охкасательной, проведенной к кривой у = sinx в точке х=п/3.

О Найдем производную функции у = sinx при х=п/3:

У=cosx, у' (к/3)=cos (тс/3) = 1/2.

Тангенс угла наклона касательной в точке х=п/3 равен 1/2, т. е. fc=tgoc=l/2, откуда a=arctg (1/2) «26°,6 (рис. 152). ф

123. Под какими углами парабола у = х²+хпересекает ось Ох?

О Найдем точки пересечения параболы у=х² + х с осью Ох. Для этого решим систему уравнений

Гу=х² + х, |”(—1; 0), \у=0 *1(0; 0).

 

Hi

о

Значит, парабола пересекает ось Ох в точках Л(—1;0) и 0(0; 0) (рис. 153). Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках:

/=(*²+*)' = 2*+1; £(—1)=2 (—1)+1 = — 1; *(0) = 2-0 + 1 = 1.

Вычислим углы а_х и а₂, образуемые касательными в точках пересечения параболы с осью Ox: tga_x = — 1, ^ = 135°; tga₂ = l, a₂=45°. •

124. Найти угол, образованный кривой у=\пх при пересечении ее с осью Ох.

О Найдем точку пересечения кривой у=\пх с осью Ох. В этой точке 1пх=0, откуда х= 1 (рис. 154).

Вычислим угловой коэффициент касательной в точке jc= 1:

у'=(\пх)' = 1/х; /(1)=1.

Найдем угол, образуемый касательной в точке пересечения кривой у—\пх с осью Ox: tga=l, a=45°. ф

125. К параболе у=3х² —х в точке jc= — 1 проведены касательная и нормаль. Составить их уравнения.

О Для составления уравнения касательной найдем ординату точки М, через которую проходит касательная, и ее угловой коэффициент.

Найдем ординату точки касания, подставив в уравнение параболы значение х= — 1:

,(-1)=3-(-1)²-(-1)=4; М(-1;4).

Вычислим угловые коэффициенты касательной и нормали: к„,_с=у'={Зх²-хУ = 6х-1; /(—1)=6 (—1)—1 = —7; к_ялрн = 1р.

Подставив в уравнения (19.25) и (19.26) координаты точки М и значения £_кас и к_норм, получим

у—4= — 7(хН-1), или 7x+j+3=0 (уравнение касательной) и

у—4=^(х+1), или х—7у+29 = 0

(уравнение нормали), ф

126. Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу х²/21+у²/24=\ в точке (—3; —4).

О Дифференцируем уравнение эллипса по х, рассматривая у как функ­цию от х:

Ф

2х 2уу' _{Л п Л Л} 8л:

—+—=0, 8х+9уу = 0, откуда у =-—.

27 24 9у

Найдем угловые коэффициенты касательной и нормали в точке (-3; —4);

* 3)- ^8MI- ²» -2

*ac У \ 9 (—4) 3’ ^рм 2

Отсюда получаем

у+4= — (2/3)(х+3), или 2х+37+18=0 (уравнение касательной) и

7+4=(3/2)(х+3), или Зх—27+1=0 (уравнение нормали), ф

127. На параболе у=х²—2х—8 найти точку М, в которой касательная параллельна прямой 4х+7+4=0.

О Определим угловой коэффициент касательной к параболе: к=у' = = (х² — 2х—8)' = 2х—2. Найдем угловой коэффициент данной прямой: 4jc+7+4=0; у= — 4х—4; /:= — 4.

Касательная к параболе и данная прямая параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны: 2х—2= — 4, откуда абсцисса точки касания х = — 1. Ординату точки касания М вычислим из уравнения параболы: 7(1) = (-1)²-2 (—1)—8=—5; М(—1; —5) (рис. 155). *

128. Вычислить острые углы, образуемые при пересечении параболы х²—4у = 0 и прямой х—27+4=0.

О Найдем точки пересечения параболы и прямой; для этого решим

{

х²—47=0, Г(~~2; 1),

2 +4 ' ₀Н (4- 4) * ^^аким °бР^азом’ парабола и

прямая пересекаются в точках А(—2; 1) и В (4; 4) (рис. 156).

Найдем угловой коэффициент данцой прямой: х—2у+4=0; у=(1 /2) х+2, к =1/2. Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках А (—2; 1) и

5(4; 4). Записав уравнение параболы в виде 7 = (1/4)л:², найдем к=у' = (\/2)х. Угловой коэф­фициент касательной в точке А есть А:(—2)=(1/2) *(—2)=-1; угловой коэффициент касательной в точке В равен к (4) = (1/2) *4=2.

Угол между параболой и прямой в точке А найдем как угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k_l= — 1 (угловой коэффициент касательной в точке А) и к₂ = 1/2 (угловой коэффициент прямой):

^1/2-⁽~^1} =3; _Ф1«7ГД ^8Vl 1 +k₂k₁ 1+(1/2)(—1) ^Vl

Аналогично находим угол между парабо­лой и прямой в точке В:

2-1/2 3 tg<P2 =,, „,-,4=7; ф₂~3б°,9. •

х

 

129. Вычислить острые углы, образуемые при пересечении парабол у² = 4х и х²=у/2.

О Найдем точки пересечения парабол; для этого решим систему уравнений

 

Следовательно, параболы пересекаются в точках 0(0; 0) и А (1; 2) (рис. 157).

Угол между двумя пересекающимися параболами найдем как угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения. Вычислим угловые коэффициенты касательных к параболам в точках их пересечения. В точке (0; 0) касательными к параболам служат оси Ох и Оу, следовательно, в этой точке параболы пересекаются под прямым углом. Для нахождения углового коэффициента касательной к параболе у²=4х в точке А перепишем ее уравнение в виде у=2 у/х (перед радикалом берем знак плюс, так как пересечение парабол происходит в I четверти): к=у'=\1у/х; к=у’(1) = 1. Вычислим угловой коэффициент касательной к параболе х²—у/2 в точке А; записав ее уравнение в виде у = 2х², имеем к=у'=4х; к=у’ (1)=4 • 1 —4.

Найдем угол ф между касательными, зная их угловые коэффициенты

130. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе: 1) у= -х²-\-х в точке х=— 2; 2)у=х² — Зх+2 в точке х=3.

131. Найдите угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой: 1) у=х²—2х в точке х — 2; 2) у=х³ в точке х= —2;

3) 7=sin;c в точке х=2п/3; 4)>>=tgx в точках х=я/3, х=п/4.

132. Под какими углами парабола у=х²+2х—8 пересекает ось

0x1

133. Найдите угол, образованный кривой у=sinx при пересече­нии ее с осью Ох в точке 1) х=0; 2) х=к.

134. Под каким углом: 1) кривая у=Igx пересекает ось Ох;

кривая у=е'^/з* пересекает ось Оу1

135. Составьте уравнения касательной и нормали: 1) к параболе 7=х² — 7х+10 в точке х = 4; 2) к кривой у=2х³ в точке х= — 1.

136. Составьте уравнения касательной и нормали: 1) к окружно­сти х²+у² = 25 в точке (—3; 4); 2) к эллипсу х²/100+7²/25 = 1 в точке (—8; 3); 3) к гиперболе х²/16—у²/64= 1 в точке (—5; 6); 4) к параболе у² = 8х в точке (2; —4);

137. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой:

7 = sin3x в точке (я/3; 0); 2) у = sin (х/3) в точке (я; >/3/2);

1) 7=cos3x в точке (я/6; 0).

138. Найдите координаты точки, в которой касательная к параболе y = x²-h3x—10 образует угол 135° с осью Ох.

139. Найдите координаты точки, в которой касательная к кривой 7=sinx (0<х<я/2) образует угол arctg(^/3/2) с осью Ох.

140. На параболе у=— х² + 7х—10 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой х+у—1=0.

141. В какой точке касательная к параболе 7= — х² +4 перпенди­кулярна прямой х—2у + 2 = 0?

142. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении параболы у²—х=0 с прямой х+у—6 = 0.

143. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении парабол: 1)7 = х² и х=у²; 2)у² = 4х и 2х² = 21у.

144. Вычислите острый угол, образованный при пересечении кривой у = lgx и прямой 7=1.

§ 8. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

145. Через центры окружностей х²+7²—12х—67+29 = 0 и х² + +у²+4х+6у+4 = 0 проведена прямая до пересечения с осью Ох. Вычислите угол, образуемый этой прямой с осью Ох.

146. Найдите угол между прямыми, проходящими через центр окружности х²+у² — 4х—167 + 32 = 0 и через фокусы эллипса х²/36 + +7²/20 = 1.

147. Вычислите углы, под которыми видны из центра окружно­сти х²+у² — 6х—12^+36=0 большая и малая оси эллипса х²/36 + +7²/16=1.

148. Окружность х² + у² + 2х—6у—40 = 0 пересекает прямая Зх—7+16 = 0, внутренний отрезок которой служит стороной вписан­ного в окружность прямоугольника. Составьте уравнения сторон этого прямоугольника.

149. Найдите точки пересечения эллипса х²/8+7²/2=1 и окруж­ности х²+7² = 5.

150. В окружность х²+7² = 4 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого имеет координаты (0; 2). Вычислите координаты двух других вершин треугольника.

151. Составьте уравнения прямых, проходящих через фокусы эллипсов х²/25 +7²/16 = 1 и х²/24+7²/49= 1.

152. Вычислите площадь квадрата, вписанного в эллипс х²/36 +

+7²/9= 1.

153. Вычислите площадь прямоугольника, вписанного в эллипс х^[32]/16+у²/12 = 1 так, что две его противоположные стороны прохо­дят через фокусы.

154. Составьте уравнение гиперболы, вершины которой находят­ся в фокусах эллипса x²/20+}>²/8 = 1, а фокусы—в вершинах эллипса.

155. Найдите расстояние от вершины гиперболы jc²/25—4jp²/25 = = 1 до ее асимптоты.

156. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах равносторонней гиперболы х²—у²=\$, если эллипс прохо­дит через точку (5^2; Ау/2).

157. Найдите точки пересечения двух парабол, имеющих общую вершину в начале координат, а фокусы—в точках F_l (3; 0) и

f₂(0; з/8).

158. Окружность х²+у² = 20 пересекает параболу х² = 8у. Со­ставьте уравнение их общей хорды.

159. Из точки О под острым углом к горизонту брошено тело, которое, описав дугу параболы, упало на землю на расстоянии 40 м от точки О. Найдите параметр параболической траектории, если максимальная высота, достигнутая телом, равна 25 м (сопротивле­ние воздуха в расчет не принимать).

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

 

I вариант

1) Составьте уравнение радиуса, проведенного в точку А(—3; 1) окружности: х²+у²—4х+2у—24=0.

2) Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если расстоя­ние между фокусами равно 20, а эксцентриситет равен 5/6.

3) Дана гипербола jc²/81 — —у²/63=1. Найдите ее эксцентри­ситет.

4) Дана парабола у² — 2у +16х+ + 65 = 0. Составьте уравнение ее оси.

5) Дана парабола х² + 6х—\2у—

3 = 0. Составьте уравнение ее директрисы.

II вариант

1) Составьте уравнение каса­тельной, проведенной в точке А(—2; 1) окружности х²+у² — 2х+ +4у—13=0.

2) Дан эллипс х²/625+>>²/400= 1. Найдите его эксцентриситет.

3) Составьте уравнение гипербо­лы с фокусами на оси Ох, зная рас­стояние между фокусами 2с=90 и уравнения ее асимптот у=±(4/3)х.

4) Дана парабола x² + 6x+20y—

51=0. Составьте уравнение ее оси.

5) Дана парабола у² + Ъу+2Ъх+ + 72=0. Составьте уравнение ее директрисы.

 

Глава 20 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1. Простейшие задачи на построение сечения многогранника. Сечением многогранника называется часть секущей плоскости, ограниченной линиями пересечения этой плоскости с поверхностью многогранника. При постро-

ении сечения многогранника необхо­димо найти: 1) положение секущей плоскости; 2) линию пересечения се­кущей плоскости с поверхностью много­гранника.

1. В тетраэдре SABC провести сече­ние плоскостью, проходящей через три точки К,, L, М, лежащие соответственно на ребрах SA, SB и АС (прямые KL и АВ не параллельны; рис. 158).

О Плоскость, проходящую через точки К, L, М, обозначим а. Плос­кость а имеет с плоскостью SAB общие точки К и L; поэтому плоскости SAB и а пересекаются по прямой KL. Отрезок KL—пересечение грани SAB и плоскости а. Аналогично построим отрезок КМ.

Плоскость грани АВС имеет с секущей плоскостью а общую точ­ку М; для построения линии пересечения этих плоскостей достаточ­но найти еще одну их общую точку. Такой точкой является точка D пересечения прямых KL и АВ (точка D лежит в плоскости айв плоскости АВС). Проведя прямую MD, получим точку N на ребре ВС. Отрезки MN и NL—две другие стороны сечения. Итак, сечение MKLN—искомое. #

2. Даны тетраэдр SABC и точки М и N, причем точка М лежит на ребре SC, а точка N—на ребре АВ. Постройте пересечение плоскостей АВМ и SCN.

3. Дан куб ABCDA^B^C^D^ причем К лежит на ребре АА_и L—на ребре СС_г и М—на ребре DC. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, L, М.

4. В кубе ABCDA₁B_lC_lD₁ постройте сечение плоскостью, проходящей через: 1) вершины Л₁₉ В и D; 2) середины ре­бер, выходящих из одной вершины; 3) диагональ основания BD и вершину А_х; 4) три точки, лежащие на ребрах АА_и СС_Х и ВС.

5. В тетраэдре SABC постройте сечение плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ребрах SA, АС и ВС.

6. В тетраэдре SABC постройте сечение плоскостью, проходящей через вершину S и точки М и N, лежащие соответственно на ребрах АВ и АС.

7. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер BS и CS. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно а.

8. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через ребро SA и точку пересечения медиан грани АС В. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно а.

9. На модели куба укажите его ребра, лежащие на скрещивающихся прямых.

10. Через данную точку проведите пря­мую, скрещивающуюся с данной прямой.

11. Сколько пар ребер, лежащих на скрещивающихся прямых, имеет тетраэдр?

12. Найдите расстояние между скрещи­вающимися диагоналями двух соседних гра­ней куба с ребром а.

3. Параллельные прямые

13. Концы данного отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 и 44 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

14. Отрезок длиной 15 см пересекает плоскость, концы его отстоят от плоскости на 3 и 6 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

15. Отрезок пересекает плоскость; концы его отстоят от плоскости на 3 и 12 см. Найдите расстояние середины этого отрезка от плоскости.

4. Параллельность прямой и плоскости

16. Дан тетраэдр SABC, причем М лежит на ребре AS и TV на ребре АС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и N и параллельной прямой АВ.

О Анализ. Предположим, что сечение построено (рис. 160). Пересече­ние плоскости сечения с гранью ASC получим, соединив точки М и N. По условию, прямая АВ параллельна плоскости сечения, поэтому грани АВС и ABS пересекают плоскость сечения по отрезкам PN и MQ, параллельным прямой АВ.

Построение. 1) NP\\AB, Р лежит на ребре ВС; 2) MQ\\AB, Q лежит на ребре SB. Четырехугольник NMQP—искомое сечение.

Доказательство. Плоскость NMQP параллельна прямой АВ, так как MQ\\AB.

Исследование. Задача имеет единственное решение, так как ребро ВС пересекает плоскость сечения в единственной точке Р и через точки М, N, Р проходит единственная плоскость.

Мы применили общую схему решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование).

17. 1) Даны точка А и прямая а, причем А не лежит на прямой а. Проведите через точку А прямую, параллельную данной плоскости.

2) Даны точка А и прямая а, причем А не лежит на прямой а. Проведите через точку А плоскость, параллельную прямой а.

18. Дано а\\Ь. Проведите через прямую а плоскость, параллель­ную прямой Ь.

19. Проведите через данную точку отрезок так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна длине отрезка.

20. В кубе ABCDA_iB_lC₁D_l проведите сечение через: 1) ребра АВ и DiQ; 2) ребро AD и середину ребра ВВ_г; 3) середину ребер AD и DC параллельно ребру DD_X; 4) середину ребра CC_t параллельно ребрам АВ и A^D^.

21. В тетраэдре SABC проведите сече­ние через середину ребра АС параллельно ребрам АВ и CS.

22. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через середину

С ребер BS и CS и внутреннюю точку D ребра АС.

23. Дан параллелепипед ABCDA^^C^D^. Постройте точку пересечения прямой AC_t с плоскостью, проходящей через ребра DC и A_tB_v

5. Параллельные плоскости

24. Через точку грани ASB тетраэдра SABC проведите сечение, параллельное: 1) плоскости грани АВС; 2) плоскости грани ASB.

25. Через точку на боковой грани призмы проведите сечение, параллельное: 1) плоскости основания призмы; 2) плоскости данного диагонального сечения призмы.

26. Две прямые, проведенные из точки S, пересекают три параллельные плоскости соответственно в точках А_и А₂, А₃ и В_и В₂, В_ъ. Известно, что A_tA₂ = 4 см, В₂В_Ъ = 9 см, A₂A₃ = B_tB₂. Вычис­лите A_tA₃ и B_tB₃.

27. В тетраэдре SABC проведены сечения А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂, плоскости которых параллельны грани АВС. Известно, что SB₁=A₁A₂ = 6 см, С₁С₂ = В₂В= 12 см, SA_i=4 см. Вычислите SA, SB, SC.

§2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.