Поскольку заданная поверхность спроектирована на плоскость xoz, для вычисления площади поверхности применим формулу (29. 18). Из уравнения

цилиндра получим y = J 16—х² (у^О). Находим частные производные —=

ох

2* * ду

-=0. Тогда

2у/\6—х² у/\6—х² dz *■ 11

п {-гПт \ ^V П П

у/\6 — Х²

D (xOz) ^v 0 0

-Пж?-ьь]: -fe-

О о

Для вычисления интеграла применим подстановку 16—x² = t и оконча­тельно получим 5=64 (кв. ед.) ф

47. Вычислить площадь части поверхности цилиндра x²+z² = 9, вырезанной цилиндром х²+у² = 9 (рис. 219).

О Искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров х²+у² = 9 и x²+z²=9. В эти уравнения поверхностей входят квадраты переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I октанте.

Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга х²+у² = 9, заключенного между положительными полуосями Ох и Оу, и определяется системой неравенств О^х^З, O^j^^/9—х².

Из уравнения x²+z² = 9 имеем z=у/9—х². Далее, находим частные

Dz х dz

производные — =------, —=0, откуда

dx у/9-х² dy

Следовательно.

з у/9-х^[37] з 3

⁵'^[38]1^л 1 ^=?‘^,''*²⁴1[^=?]Г^гг-²⁴1^л-^72<"'^еа|'*

О о

48. Вычислите площади:

1) треугольника, который образуется в пересечений плоскости 3x+2y+4z= 12 с координатными плоскостями;

2) части поверхности цилиндра x²+z² = 16, вырезанной цилинд­ром х²+у² = 16;

3) части поверхности цилиндра х²+у²=Я², отсеченной плоскос­тями z = 0, z = 8. (Спроектируйте поверхность на плоскость yOz и для вычисления интеграла примените формулу (29.17));

4) части поверхности цилиндра х²+у² =4, заключенной между плоскостями z=0, z=2x, у=0, х=0 (спроектируйте поверхность на плоскость xOz и для вычисления интеграла примените формулу (29.18)).

49. Вычислите площади (при вычислении интеграла используйте полярные координаты):

1) части поверхности полусферы x²+y²+z² = 16 (z^O), вырезан­ной цилиндром х²+у² =4;

2) части поверхности параболоида x²+z² = 2y, расположенной в

октанте и ограниченной плоскостью у=4 (спроектируйте поверх­ность на плоскость xOz и для вычисления интеграла примените формулу (29.18));

3) части боковой поверхности, ограниченной конусом z²=x²+y² и плоскостью z=6;

4) части поверхности, вырезаемой на полусфере x²+y²+z²=4 (z>0) цилиндром х²+у² — 2у = 0 и ограниченной плоскостью *=0 (плоскостью yOz);

5) части поверхности конуса x²+y²—z² = 0 (z^O), заключенной внутри цилиндра х²+у²—4х=0.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

 

I вариант

1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой у=6/х и прямой х+у—7=0.

2) Вычислите объем тела, огра­ниченного поверхностями z=8—x—y, дс=0, у=х², у=4, z=0.

3) Вычислите площадь части по­верхности цилиндра у=х² + 2, огра­ниченного плоскостями z=0, z=8 — —х—у, jc=0, у=6.

 

§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССЫ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Если D—часть плоскости хОу, которую занимает материальная фигура с переменной плотностью 5 (jc, у), то масса т фигуры D вычисляется по формуле

т=jj 8 (л:, у) dx dy. (29.19)

D

50. Вычислить массу материальной пластинки, имеющей форму равнобедрен­ного прямоугольного треугольника, гипо­тенуза которого равна а. Поверхностная плотность этой пластинки в каждой ее точке пропорциональна сумме расстояний до катетов. Коэффициент пропорциональ­ности равен к.

О Совместим вершину прямого угла треугольника с началом координат так, чтобы катеты совпали с положительными направлениями координатных осей. Из треугольника ОАВ (рис. 220) находим х²+х² = а², т. е. х=а/у/2; следовательно, вершины треугольника имеют координаты: A (а/у/2; 0),

В (0; a/J2). Уравнение гипотенузы есть у= — х+ Область D запишем в

У²

виде системы неравенств О^х^а/у/2, 0^у^—х+а/у/2; переменная плот­ность есть 8 (jc, у)=к(х+у).

Согласно формуле (29.19), получим _а_ ^а

У2 ' У2

m = JJm*, y)dxdy = Qk(x+y)dxdy = k J dx J (x+j>) dy—

=*/[*>+у] о ^=*/(т4*²)^Л=^12^^#

О 0

51. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если поверхност­ная плотность 8 материала пластинки в каждой точке М (х; у) пропорциональна расстоянию точки М от центра круга.

О Совместим начало прямоугольной системы координат с центром круга. Координаты любой точки круга удовлетворяют соотношению x²+y² = R². Расстояние точки М(х; у) до начала координат вычисляется по формуле d=y/x²+y², поэтому 8 (х, у) = ку/х²+у², где к—коэффициент пропорциональности.

Согласно формуле (29.19), имеем JJ к у/х²+у² dxdy, где D—круг

D

х² +у² = R². Вычислим интеграл в полярной системе координат. Здесь переменная плотность Ь=ку/х² +у² =ку/r² =кг; область D запишется в виде системы неравенств 0<ф<2я, 0<r<R. Тогда

п R 2п R

= J ^krrdr=k Jt/ф ^r² dr=-knR²

52. Найдите массу треугольной пластинки, ограниченной прямы-

1 1

ми у=--х+6, У⁼^^{х и осью если} плотность Ь(х₉у)

распределения массы в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

53. Найдите массу квадратной пластинки со стороной а=4, плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до одной из вершин квадрата. Коэффициент пропорциональности равен к.

54. Материальная пластинка имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 2у/2. Найдите массу пластинки, если ее плотность в каждой точке численно равна расстоянию этой точки до катета.

55. Найдите массу пластинки, ограниченной параболой у=х² и прямой у=9, если плотность 5 (х, у) распределения массы в каждой точке численно равна ординате этой точки.

56. Найдите массу круглой пластинки, если поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна квадрату ее расстояния от центра пластинки. Коэффициент пропорциональности равен к. (Для вычисления интеграла воспользуйтесь полярными координатами.)

57. Найдите массу кругового кольца, радиусы которого Ri = 2 и /?₂ = 6, а поверхностная плотность в каждой точке кольца обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца. Коэффициент пропорциональности равен к. (Для вычисления интег­рала воспользуйтесь полярными координатами.)