Перпендикулярность прямых и плоскостей.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

 

 

4.1. Условие перпендикулярности двух прямых на комплексном чертеже

4.2. Условие перпендикулярности прямой к плоскости

4.3. Условие перпендикулярности плоскостей

4.4. Определение длины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций

4.5. Линия наибольшего наклона (ската)

 

 

4.1 Условие перпендикулярности двух прямых на комплексном чертеже

Особый интерес с точки зрения решения задач начертательной геометрии представляют перпендикулярные прямые.

Из классической Евклидовой геометрии известно следующее свойство перпендикулярности двух прямых:

Две прямые перпендикулярны, если угол меду ними составляет 90°.

Кроме того, в начертательной геометрии существует еще одно утверждение на эту тему:

Две прямые перпендикулярны, если одна из них линия уровня.

Для подтверждения этого заключения рассмотрим примеры, приведенные на рис. 4.1.

Предположим что необходимо через точку А провести прямую ℓ, пересекающую горизонталь h прямым углом ℓ h (рис. 4.1.а).

Так как одна из сторон h прямого угла параллельна плоскости π₁, то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения. Поэтому через горизонтальную проекцию А₁ проведем горизонтальную проекцию искомой прямой ℓ₁ h₁. Отметим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой и горизонтали N₁= ℓ₁ ∩ h₁. Найдем по принадлежности фронтальную проекцию точки пересечения N₂. Точки А₂ и N₂ определяют фронтальную проекцию искомой прямой ℓ. Две проекции прямой определяют ее положение в пространстве.

Если вместо горизонтали будет задана фронталь f, то геометрические построения по проведению прямой ℓ f аналогичны рассмотренным с той лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (рис. 4.1.б).

 

а) б)

Рис. 4.1. Примеры построения перпендикулярных прямых: а) ℓ h; б) ℓ f

 

4.2. Условие перпендикулярности прямой к плоскости

Прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и с этой плоскости.

 

Если прямые b и с, принадлежащие плоскости α, расположены произвольно относительно плоскостей проекций, то прямые углы между прямой а и прямыми b и с спроецируются на плоскость проекций с искажениями.

Для того чтобы эти прямые углы спроецировались в натуральную величину, прямые b и с должны быть параллельны плоскостям проекций, т. е. являться соответственно горизонталью и фронталью плоскости α.

Прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна пересекающимся горизонтали h и фронтали f этой плоскости.

При этом прямые углы между прямой а и прямыми h и f на соответствующие плоскости проекций спроецируются без искажений.

Кроме вышесказанного существует теорема:

Для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция − к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

 

 

а) б)

 

Рис. 4.2. Изображение прямых, перпендикулярных к плоскостям заданным:

а) плоскостью фигуры АВС; б) прямыми c, d

 

Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости α, если ее проекции перпендикулярны соответствующим проекциям горизонтали h и фронтали f этой плоскости.

На рис. 4.2 изображены прямые перпендикулярные плоскостям, заданным различными способами.

Если плоскость задана следами, то горизонталью и фронталью плоскости являются ее пересекающиеся следы.

Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости α, если ее проекции перпендикулярны соответствующим пересекающимся следам плоскости (рис. 4.3).

 

Рис.4.3. Изображение прямой а перпендикулярной к плоскости,

заданной следами

 

4.3. Условие перпендикулярности плоскостей

 

Плоскости α и β перпендикулярны, если одна плоскость проходит через перпендикуляр другой плоскости.

На рис. 4.3 показана прямая а перпендикулярная плоскости α, (следовательно, любая плоскость, проходящая через прямую а, будет перпендикулярна плоскости α. На рис. 4.4 изображены две проецирующие плоскости β и γ и произвольная плоскость δ, следы которой проходят через следы прямой а.

 

 

 

Рис. 4.4. Условие перпендикулярности плоскостей

 

На рис. 4.5 изображена прямая b, перпендикулярная плоскости Δ АВС, следовательно, любая плоскость, проходящая через прямую b, будет перпендикулярна плоскости Δ АВС.

 

 

Рис. 4.5. Условие перпендикулярности плоскостей

 

4.4. Определение действительной длины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций

 

 

Рис. 4.6. Определение углов наклона и натуральной величины отрезков

 

На рис. 4.6 показаны в аксонометрической проекции отрезок АВ и его горизонтальная проекция А₁В₁. Проведя прямую ВВ’, параллельную горизонтальной проекции отрезка А₁В₁, получим прямоугольный треугольник Δ АВВ’.

Длина отрезка АВ равна гипотенузе этого треугольника, катетами которого являются горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ и разность координат z точек А и В (Δz = z_A- z_B).

Как известно, угол наклона прямой к плоскости равен углу между этой прямой АВ и ее проекцией на плоскость (А₁В₁).

Следовательно, угол Δ АВВ’, лежащий против катета Δz, равен углу наклона отрезка АВ и горизонтальной плоскости проекций π₁ (угол α°).

 

 

Рис. 4.7. Определение углов наклона и натуральной величины отрезков

 

Аналогично рассуждая (рис. 4.7), можно показать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А₂В₂ и разность координат Y точек А и В (ΔY =Y_A- Y_B).

Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π₂ (угол β°).

По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А₃В₃ и разность координат Х (Δ Х = Х_А – Х_В) точек А и В. Угол γ° этого треугольника,

 

 

лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π_3.

На рис. 4.8 показан пример определения длины отрезка АВ и углов наклона его к плоскостям проекций.

 

 

Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций

 

4.5. Линия наибольшего наклона (ската)

 

Линией наибольшего ската плоскости γ называется прямая g, принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее линиям уровня: горизонтали h и фронтали f (рис.4.9). На комплексном чертеже горизонтальная проекция линии наибольшего наклона перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости, а фронтальная − фронтальной проекции фронтали.

 

 

Главным свойством этой линии является то, что она образует с горизонтальной плоскостью проекций π₁ угол α°, равный углу наклона плоскости γ к плоскости π_1.

Это свойство линии наибольшего наклона (ската) используется для определения углов наклона плоскостей к плоскостям проекций.

 

ЛЕКЦИЯ 5

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

5. 1. Необходимость преобразований комплексного чертежа

5.2. Задачи на преобразование комплексного чертежа

5.3. Пути осуществления преобразования комплексного чертежа

 

5.1. Необходимость преобразований комплексного чертежа.

Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций.

Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскостям проекций произвольное, или частное положение.

В первом случае, как правило, получаются проекции, неудобные для решения задач. Решение задачи значительно упрощается, когда мы имеем дело с частным расположением геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры при ортогональном проецировании следует считать:

1) положение, перпендикулярное к плоскости проекций – при решении позиционных задач;

2) положение, параллельное плоскости проекций – для решения метрических задач.

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно привести фигуру к частному положению.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять изменением взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:

1) перемещением в пространстве проецируемой фигуры, по отношению к плоскости проекций.

2) выбором новой плоскости проекций, по отношению к проецируемой фигуре.

Первый путь лежит в основе плоскопараллельного перемещения; второй – составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций.

 

5.2. Задачи на преобразование комплексного чертежа

Все метрические и позиционные задачи можно свести к одной из следующих четырех задач.

Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы.

б)

а)

Рис. 5.1. Изображение преобразования прямой общего положения в прямую положения уровня: а) в пространстве; б) на комплексном чертеже

Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П₁, или П₂ новой плоскостью проекций П₄, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П₂ новой плоскостью П₄ П₁ и параллельной прямой АВ.
Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.1), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа:
1) провести новую ось проекций х₁₄ параллельно А₁В₁ на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х₁₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П₄ проведена непосредственно через прямую АВ, ось х₁₄ = А₁В₁;
2) выбрать на прямой две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂);
3) построить проекции точек А и В на плоскости П₄;
4) Рис. 5.1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня

 

прямая А₄В₄ является проекцией прямой АВ на плоскость П₄. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является фронталью,

Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П₄ в истинную величину, т.е. | А₄В₄ | = | АB |, a- величина угла наклона прямой АВ к плоскости П₁.

Рис. 5.2

3адача 2. Преобразовать линию общего положения АВ в проецирующую прямую. Решение.

Рис. 5.2

Для решения задачи заменяем плоскость П₂ исходной системы П₂/П₁ плоскостью П₄ // А₁В₁, при этом плоскость П₄ будет перпендикулярна П₁
так как АВ // П₄ и образует с ней новую систему плоскостей проекций П₁/П₄.
Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х₁₄ // А₁В₁; 2) построим проекции точек А и В на плоскости П₄, взяв координаты точек из плоскости П₂. 3) Заменим плоскость П₁ на новую П₅, которая будет П₄ и А₄В₄. Для этого проводим новую ось проекций х_4,5. Так как расстояния точек А и В до плоскости П₄ одинаковы, то проекции их на плоскости П₅ совпадут, А₅ ≡ В₅. Прямая АВ (А₅В₅) в новой системе плоскостей проекций заняла проецирующее положение и является горизонтально проецирующей. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П₅ перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.

Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис.5.2 показано преобразование прямой АВ общего положения в горизонтально проецирующую.

 

Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость П₁ или П₂ исходной системы П₂/П₁ новой плоскостью П₄, перпендикулярной плоскости (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.

 

На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 5.3) путем преобразования горизонтали h(h₁,h₂), принадлежащей плоскости , во фронтально- проецирующую прямую. Все построения, выполненные на комплексном чертеже, выполнены на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ плоскость является фронтально проецирующей ( 4), и поэтому ее проекция на П₄ вырождается в прямую линию ₄ (С₄, А₄, В₄).
- величина угла наклона плоскости к плоскости П₁.
Задача №4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций (плоскостью уровня) новой системы.

Рис. 5.4. Решение 4-й задачи на преобразование плоскости

Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П₄, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 5.4 показано преобразование плоскости ∆(АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 5.5). Заменим плоскость П₁ новой плоскостью проекций П₄, параллельной

плоскости Г (∆АВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П₂. В новой системе плоскостей проекций П₂/П₄ плоскость Г (АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня.
Построения на комплексном чертеже:

1) проводим новую ось проекций х₂₄ параллельно А₂С₂ на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х₂₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна Г (АВС). Ось х₂₄ совпадает с прямой (А₂С₂), если плоскость П₄ совмещается с плоскостью Г (АВС);

2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П₄;

Рис. 5.5. Решение четвертой задачи на преобразование комплексного чертежа

3) треугольник А₄В₄С₄ является проекцией треугольника АВС на плоскость П₄.
Примечание.
Так как плоскость треугольника АВС параллельна П_4, значит отображение этого треугольника на П₄ будет в натуральную величину.

В данном курсе лекций рассматривается только способ замены плоскостей проекций.

ЛЕКЦИЯ 6

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

6.1. Общие положения

6.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
6.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними
6.4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам

6.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Метрическими (от греческих слов metron (греч.) – мера, metreo –мерю) называют задачи, решение которых связано с измерением расстояний и углов и других метрических характеристик. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру (см. аксиомы параллельного проецирования).
Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа.

Наиболее сложные задачи, при решении которых используют как метрические, так и позиционные свойства геометрических фигур, называют комплексными.
Рассмотрим три группы метрических задач. К первой относятся задачи, в которых требуется найти расстояние между двумя геометрическими фигурами; ко второй - задачи на определение действительных величин плоских фигур и углов; к третьей группе принадлежат задачи, связанные с построением в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

6.2. ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ
МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ

Искомое расстояние во всех задачах этой группы измеряется длиной отрезка, заключенного между заданными геометрическими фигурами и перпендикулярного к одной из них (задачи 1 и 4) или одновременно к обеим (задачи 2, 3 и 5). Этот отрезок проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, которая будет перпендикулярна одной (задачи 1, 3 и 4) или обеим (задачи 2 и 5) геометрическим фигурам, между которыми определяется расстояние. Алгоритм решения задач этой группы будет следующим:
1. Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные геометрические фигуры (или одну из них) в положение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций.
2. Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость.
Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует учитывать требования к компактности чертежа, четкость и возможную простоту графических операций.

Рис.6.1. Определение расстояния от точки до прямой

Задача 1. Определение расстояния от точки М до прямой АВ общего положения (рис. 6.1).
Искомое расстояние измеряется длиной отрезка /МN/ перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ. Отрезок [МN] спроецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, перпендикулярную прямой АВ. Составляем алгоритм решения:
1. Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций.
2. Построить проекцию отрезка [МN] на плоскость П₅ АВ, длина которого М₅N₅ определяет искомое расстояние.
Построение. Для преобразования прямой АВ общего положения в проецирующую выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале прямая АВ преобразована в линию уровня, затем ли- ния уровня преобразована в проецирую- щую прямую. Построены проекций М₄ и М₅ точки М в системе П₄/П₅.

 

Отрезок [М₅N₅] является искомым: [М₅N₅] [МN] и /М₅N₅/ = /МN/.
На рис. 6.1 показано построение проекций [М₄N₄], [М₁N₁] и [М₂М₂] отрезка [МN] обратным преобразованием.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b. Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций. Вначале прямые a и b необходимо сделать прямыми уровня. Для этого П₄ необходимо расположить параллельно a₁ и b_1. Затем названные прямые необходимо расположить перпендикулярно П_5. Расстояние между а₅ и b₅ будет натуральной величиной между параллельными прямыми a и b (рис. 6.2).

 

 

	Рис. 6.2. Определение расстояния между параллельными прямыми

 

Рис.6.2

Задача 3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

параллельно П₄, потому что в плоскости П₄ имеется ее натуральная величина.

2) Задачи 1- 5 можно также решать по следующей схеме: вначале определить метрически искаженные проекции искомого отрезка, а затем способом прямоугольного треугольника определить его действительную величину.

Для решения задачи необходимо одну из заданных прямых преобразовать двойной заменой плоскостей проекций в проецирующую. Из точки этой прямой опустить перпендикуляр на вторую прямую. Этот перпендикуляр и будет расстоянием между заданными прямыми.

Задача 4. Определение расстояния от точки до плоскости.

Решение задачи приведено на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Определение расстояния от точки до плоскости

Для определения расстояния от точки М до плоскости треугольника ∆АВС необходимо плоскость треугольника общего положения ∆АВС преобразовать в плоскость проецирующую. Для этого нужно произвести замену плоскости проекций П₂ на П₄ перпендикулярно h_1. Плоскость ∆АВС преобразуется в линию С₄А₄В₄. На эту же плоскость П₄ спроецируется точка М (М₄). Перпендикуляр из М₄ на линию С₄А₄В₄ будет натуральной величиной расстояния от точки М до плоскости ∆АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П₁ и П₂ по соответствующим линиям связи. расстояния от точки М до плоскости ∆АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П₁ и П₂ по соответствующим линиям связи.

Примечания: 1) Проекция перпендикуляра М₁N₁ в П₁ располагается

параллельно П₄, потому что в плоскости П₄ имеется ее натуральная величина.

2) Задачи 1- 5 можно также решать по следующей схеме: вначале определить метрически искаженные проекции искомого отрезка, а затем способом прямоугольного треугольника определить его действительную величину.

 

6.3. ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И УГЛОВ МЕЖДУ НИМИ

 

Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций.
При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. Наиболее часто при решении задач применяются способы замены плоскостей проекций и вращения вокруг линии уровня. Способ вращения вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа. К задачам данной группы можно отнести:
3адача 1. Определение действительной величины плоской фигуры. Решение задачи дано на рис. 5.4, 5.5, гл. 5.
Задача 2. Определение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми. Задача решается аналогично задаче 1.

Задача 3. Определение вели- чины угла, образованного прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на данную плоскость. Решение задачи приведено на рис. 6.4.

Для определения угла между прямой АВ и плоскостью

S (а || b) необходимо:

1) Определить направление горизонтальной проекции горизонтали h₁ и фронтальной проекции фронтали плоскости

å (а || b).

Рис. 6.4. Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью.

2) Из произвольной точки М, принадлежащей прямой АВ (МÎАВ) провести прямую М₂5₂^ f₂ и М₁5₁^h₁.

3) Определить величину угла y вращением его вокруг горизонтали до положения, параллельного плоскости П_1.

4) Вычислить значение искомого угла j = 90^{° –} y°

Рис. 6.4

Задача 4. Определение величины угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми – сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.

Пример определения угла между двумя плоскостями S (∆АВС) и G (∆АВD) приведен на рис. 6.5.

В задаче необходимо линию пересечения АВ плоскостей S и G преобразовать в прямую уровня, а затем в линию проецирующую

 

	Рис. 6.5. Определение величины угла между двумя пересекающимися плоскостями

6.4. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПО ЗАДАННЫМ

РАЗМЕРАМ

 

Общей схемой решения задач этой группы является:
1) преобразование заданной плоскости общего положения в плоскость уровня;
2) решение в плоскости уровня заданной метрической задачи.

 

Лекция 7

ПОВЕРХНОСТИ

7.1. Понятия и определения

7.2. Линейчатые поверхности
7.3. Поверхности вращения
7.4. Каналовые и циклические поверхности

7.1. Понятия и определения

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующейся на таких основных элементарных геометрических понятиях, как точка и множество. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности:

Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.

Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже закон перемещения линии целесообразно задавать графически в виде совокупности линий и указаний о характере перемещения линии. Эти указания могут быть заданы графически, в частности с помощью направляющей поверхности. В процессе образования поверхностей линия может оставаться неизменной или менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность- кинематической.
Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.
На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.
Подвижная линия называется образующей, неподвижные линии и поверхность – направляющими.

Примером такого способа образования могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» профиля резца.

Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, грейдеры и т. п.), но и рытье траншей, котлованов, проходка траншей, профилирование откосов и многое другое.

Но режущие кромки во многих случаях начинают уступать место производящей поверхности, с которой связано развитие прогрессивных производительных процессов обработки металлов давлением и обкаткой. Геометрическая сущность этих процессов – метод огибания.