Взаимное расположение геометрических элементов. Основные позиционные задачи

 

 

3.1. Определение позиционных задач

3.2. Метод конкурирующих точек

3.3. Прямая и точка

3.4. Взаимное положение прямых

3.5. Прямая и точка в плоскости

3.6. Взаимное положение прямой и плоскости

3.7. Пересечение плоскостей

3.8. Пересечение прямой плоскостью

 

 

3.1. Определение позиционных задач

 

Позиционными задачами называются такие задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга.

 

3.2. Метод конкурирующих точек

 

Метод конкурирующих точек используется в начертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометрических фигур.

Конкурирующими точками на- зываются такие точки пространства, у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции.

На рис. 3.1 показаны конкури- рующие точки А и В (совпадают горизонтальные проекции А₁≡В₁) и C и D (совпадают фронтальные про- екции С₂≡D₂).

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаим- ной видимости точек по их несов- падающим проекциям.

Рис. 3.1. Конкурирующие точки

Точка В находится выше точки А относительно плоскости π₁ (Z_B>Z_A), поэтому на плоскости π₁ видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу S).

На плоскости π₂ видна точка D, т. К. она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π₂, Y_D>Y_C) и закрывает невидимую точку С.

Методом конкурирующих точек пользуются при определении видимости пересекающихся геометрических фигур.

 

3.3. Прямая и точка

 

Из инвариантного свойства 3 следует, что проекции точки К (К₁, К₂ и К₃) принадлежащие прямой а, должны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой т. е. Если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.

Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К₁, К₂ и К₃), принадлежащие прямой АВ (А₁В₁, А₂В_2, А₃В₃), делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ (рис. 3.2).

 

 

Рис. 3.2. Изображение принадлежности точек А, В, К прямой а

 

Точки А и В, принадлежащие прямой а, и точки C, D и E, которые лежат вне этой прямой показаны на рис. 3.3.

 

 

 

 

Рис. 3.3. Пример рассмотрения принадлежности точек прямой

 

3.4. Взаимное положение прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.

 

1. Пересекающиеся прямые

 

Пересекающимися прямыми называются такие которые имеют одну общую точку.

 

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).

 

 

Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые

 

2. Параллельные прямые

 

На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).

Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

 

Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых

 

3. Скрещивающиеся прямые

 

Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.

На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. 6. Скрещивающиеся прямые

 

3.5. Прямая и точка в плоскости

Прямая АВ принадлежит плоскости α, если две ее точки А и В принадлежат этой плоскости α. (∆КLM) Справедливо и обратное утверждение: если точки А и В принадлежат плоскости α,((∆КLM) то пряма АВ, проходящая через эти точки, принадлежит плоскости α:

Прямые АВ и CD, принадлежащие разным плоскостям показаны на рис. 3. 7. Прямая АВ принадлежит плоской фигуре LKM, потому что на проекциях прямой и плоской фигуры имеются две общих точки. Прямая CD принадлежит плоскости, заданной параллельными прямыми с и d, т. к. она проходит через точки С и D, расположенные на этих прямых.

 

Прямая принадлежит плоскости, если ее следы принадлежат одновременно следам плоскости.

Справедливо и обратное утверждение: если следы прямой принадлежат следам плоскости, то эта прямая принадлежит плоскости.

Кроме того, существует еще одно свойство, определяющее взаимное положение точки и плоскости: точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 3.7).

 

 

а) б)

 

Рис. 3.7. Изображение прямых, принадлежащих плоскостям

 

3.6. Взаимное положение прямой и плоскости

Рассмотрим два случая взаимного положения прямой и плоскости: прямая параллельная и перпендикулярная плоскости.

 

1. Прямая параллельная плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой b, принадлежащей этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости:

1) если имеет две общих точки;

2) если имеет одну общую точку и параллельна прямой, принадлежащей плоскости.

Прямые, параллельные плоскостям, заданным различными способами показаны на рис. 3.8.

2. Прямая перпендикулярная плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна

двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Подробно перпендикулярность прямых рассмотрена в лекции № 4.

 

 

а) б)

 

 

Рис. 3.8. Прямые, параллельные плоскостям, заданным: а) плоскостью тре-

угольника АВС; б) двумя пересекающимися прямыми а∩b)

 

3.7. Пересечение плоскостей

 

Линия пересечения двух плоскостей – прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α ׀׀ π₁, f⁰_α ׀׀Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π₁, (рис. 3.9. а) т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π₂ и будет совпадать с фронталь ю пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

 

а) б)

 

 

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а) горизонтального уровня; б) фронтального уровня

 

 

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а т. к. прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 11).

 

 

Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью

 

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эти точки представлены проекциями M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π₂ рассмо- трены две точки NÎEF и

Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

1ÎАВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N рас- положена ближе к наблюда- телю (Y_N>Y₁), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К₁) закрыта плоскостью DEF на плоскости π₂ (ее проекция К₂1₂ показана штриховой линией). Аналогично установлена видимость на плоскости π₁.

 

 

Лекция 4