Вычисление статических моментов плоской фигуры

Статическим моментом материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы точки на расстояние до оси.

Статические моменты S_x и S_y плоской фигуры D с переменной плотностью 5 (х, у) относительно координатных осей Ох и Оу вычисляются по формулам

S_x=JJ yb (х, у) dx dy, S_y=JJ x 8 (x, y) dx dy. (29.20)

D D

Если фигура D является однородной (плотность 5 постоянна), то

S_x=btfydxdy, S_y = b\\xdxdy. (29.21)

D D

58. Найти статические моменты относительно координатных осей фигуры, ограниченной параболой у²=х (у^О) и прямой х=4, если плотность 8 распределения массы в каждой точке равна абсциссе этой точки.

О Согласно условию, 8=х. Область D определяется системой нера­венств 0<х<4, О^у^у/х. Используя формулы (29.20), получим

S_x=^dx J ydy=-j[y²lQ^Xdx=- xdx =4 (куб. ед).;

D ООО О

Vx 4 4

S_y = Qx² dxdy=^x² dx J dy=^\y^^x x² dx—^x⁵'² dx—Ъб- (куб. ед). ф D ООО о

59. Найти статический момент пластинки в форме полукруга х²+y² = R² относительно диаметра, если ее плотность 5=1.

О Согласно формуле (29.20), статический момент относительно оси Ох есть S_x—tfydxdy. Перейдем к полярным координатам; тогда R=r и у =

____ D_

= y/R² — x² -=у/R² — г² cos² ф =rsin ф.

В силу симметрии области D относительно оси Оу возьмем 1/2 этой области, которая определяется системой неравенств 0<ф<тс/2, Следовательно,

Я/2 R я/2

S_x=2 j*J^rsin ф-rdrdq> = 2 j* sinфdq> Jr²<ir=^ J [r³]* sin ф</ф =

D 0 0 0

Я/2

^2R3 f., ^{2R 3} Г 1,2 2R³, r

=— sin ф dip = - — [cos ф^^/2 =— (куб. ед.). * о

60. Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу однородных пластинок (5=1), имеющих формы:

1) прямоугольника 0<лс^4, 0<^<6;

2) треугольника с вершинами О (0; 0), А (6; 0), В (0; 8);

3) полукруга x²+j;² = 16, у^0;

х² у²

4) эллипса — + —= 1, ограниченного положительными полуося­ми Ох и Оу;

5) параболы у=х², х^0, у=4.

61. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами ОА = 3, ОВ—4, причем ее плотность в любой точке пластинки равна расстоянию этой точки от катета О А. Вычислите статические моменты пластинки относительно катетов О А и ОВ.

62. Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу пластинки, ограниченной прямыми х—3у = 0, 2х+3у—18 = 0 и осью Оу, если плотность в любой точке пластинки равна ординате этой точки.

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Координаты центра тяжести (.х_с; у с) плоской фигуры с непрерыв­ной массой и переменной плотностью 5 = 5 (х, >>) вычисляются по фор­мулам

			(29.22)

 

Или в другой форме записи

 

(29.23)

где m—масса фигуры, S_y, S_x—статические моменты относительно осей координат.

Если фигура D является однородной (5 = const) и S—площадь этой фигуры, то координаты центра тяжести находятся по формулам

x_c=-JJ хахау, yc^-^ydxay. (29.24)

D D

В полярной системе координат формулы (29.24) имеют вид

^хс=]; JJ^r2 cos Ф drdq>, JJr² sin ф^г^ф. (29.25)

D D