Если однородная плоская фигура имеет ось симметрии или точку симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или в этой точке.

63. Вычислить координаты центра тяжести однородной фигуры (8=1), ограниченной кривой у² — 4х и прямой х—4 (рис. 221).

О Фигура симметрична относительно оси Ох; поэтому центр тяжести лежит на оси Ох и у_с = 0. Абсциссу центра тяжести найдем по формуле

(29.24). Область D определяется системой неравенств 0^х^4, —2у/х^у<:

^ 2 у/~х.

ь

Площадь фигуры D найдем по формуле S=\ f (x)dx; имеем

Следовательно,

x_r=— \ [xdxdy——\ xdx Г dy= —ГГ уЛ^2>/х-xdx= — \4*/xdx=2,4.

SjJ 64J J_ 64)^1П-^ 64J ^V

D 0 -2^x 0 0

Итак, центр тяжести фигуры—точка С (2,4; 0). ф

64. Найти координаты центра тяжести прямоугольного тре­угольника ОАВ, катеты которого равны 2 и 4. Плотность в каждой точке треугольника численно равна абсциссе этой точки (рис. 222).

О Гипотенуза треугольника проходит через точки (2; 0) и (0; 4); следовательно, ее уравнение имеет вид у—— 2x4-4. Область!) опреде­ляется системой неравенств 0<x<2, 2х+4; переменная плотность Ь(х, у) = х.

Для вычисления координат центра тяжести последовательно применим формулы (29.19), (29.20) и (29.23). Имеем

Х 2 2

m — ^b(x,y)dxdy=^xdx J dy=^\y\%~^2xxdx= J*(4— 2x)xdx—^, d ooo о

X 2

S_x=^yb(x,y)dxdy=^xdx J

g

\6x+4x²)xdx=-₉

4 — 2x 2 2

S_y=Qxb(x, y)dxdy=^x²dx J dy=^\y\o~^2x x² dx— J(4^— 2x)x²dx—^ d ooo о

Тогда x_c=S_y/m= 1, y_c=S_x/m = 1 и, следовательно, C(l; 1)—центр тяжести треугольника, ф

65. Вычислить координаты центра тяжести сектора однородного круга (5=1), расположенного симметрично относительно оси Ох (рис. 223). Радиус круга равен 4, а центральный угол равен я/3.

О Перейдем к полярным координатам. Площадь кругового сектора вычислим по формуле S=-R²<p, где <р выражается в радианах, т. е. 5=-х

..я

х16 -=у (кв. ед.).

Область D в полярных координатах определяется системой неравенств —я/6<(р<я/6, 0<г<4. Так как фигура симметрична относительно оси Ох, то у_с=0. Теперь, используя формулу (29.25), находим

— я/6

Следовательно, С (8/тс; 0)—центр тяжести фигуры, ф

66. Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки (8=1), ограниченной линиями:

1) прямой 4л: + —12 = 0 и осями координат;

2) параболами у—х² и х=у²;

3) параболой у=х² и прямой х—у+2=0;

4) параболами у=х², у=^х² и прямыми jc=0, х=2;

5) полуволной синусоиды у = sinx (у^0),

67. Найдите координаты центра тяжести треугольной пластинки, ограниченной прямыми у—х, у = 4 и осью Оу, если плотность распределения массы в каждой точке пластинки численно равна абсциссе этой точки.

68. Найдите координаты центра тяжести треугольной пластинки,

ограниченной прямыми у=^х, у = 6— ^х и осью Оу. Плотность в

каждой точке этой пластинки численно равна абсциссе этой точки. Найдите координаты центра тяжести при условии, что пластинка является однородной (8=1).

69. Вычислите координаты центра тяжести пластинки, ограни­ченной прямыми у — х, х= 1 и осью Ох, если плотность распределе­ния массы в каждой точке пластинки равна квадрату ее расстояния от начала координат.

70. Вычислите координаты центра тяжести сектора однородного круга (8=1), расположенного симметрично относительно оси Ох. Радиус круга равен 6, а центральный угол равен п/2.